王天林, 郭長青, 漆發(fā)輝, 許 鋒, 盧小緬,方孟孟
(1. 南華大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 衡陽 421001;2. 南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001;3. 貴州師范大學(xué) 大數(shù)據(jù)與計算機科學(xué)學(xué)院,貴陽 550025;4. 悉地國際設(shè)計顧問(深圳)有限公司,廣東 深圳 518000)
輸流管在機械化工氣力輸送系統(tǒng)[1]、航空航天液壓系統(tǒng)[2]、核工業(yè)冷卻系統(tǒng)[3]以及石油與天然氣的運輸[4-5]等諸多領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。輸流管系統(tǒng)的耦合振動(管道的結(jié)構(gòu)振動、流體的壓力脈動等)極易導(dǎo)致管道薄弱部位發(fā)生裂紋,繼而破裂,造成嚴重的管道安全事故,導(dǎo)致巨大的經(jīng)濟損失,如11·22青島輸油管道爆炸事件。因此,國內(nèi)外眾多學(xué)者[6-9]對輸流管的振動穩(wěn)定性問題開展了持續(xù)性研究。輸流管運用于實際工程中,管道內(nèi)部會因動力裝置(如,泵、壓縮機等)的工作而產(chǎn)生脈動內(nèi)流,導(dǎo)致輸流管發(fā)生振動。輸流管服役期間可能會遭遇約束松動、受工作環(huán)境限制而使輸流管與障礙物相鄰近等問題,導(dǎo)致輸流管在振動過程中管道局部與約束發(fā)生碰撞,而碰撞振動可能會降低管道系統(tǒng)的穩(wěn)定性、縮短管道的使用壽命。目前,輸流管與對稱約束的碰撞振動研究已較為成熟,單邊約束碰撞振動研究也取得了豐厚的成果,但是單邊約束與輸流管的碰撞振動研究還較為少見,因此,很有必要針對該問題開展相應(yīng)的研究工作。
輸流管與對稱約束的碰撞振動研究中,許多學(xué)者采用了立方非線性彈簧或修正的分段三線性彈簧模擬對稱約束。Paidoussis等[10-12]先后采用立方非線性彈簧與修正的分段三線性彈簧模擬對稱約束,分析了對稱約束下懸臂輸流管的碰撞振動特性,并通過試驗對數(shù)值計算結(jié)果進行驗證,其試驗結(jié)果與理論預(yù)測具有較好的一致性。Wang等[13]研究了對稱約束下懸臂輸流立管的穩(wěn)定性和混沌運動,并與Jin[14]開發(fā)的懸掛式系統(tǒng)進行比較,發(fā)現(xiàn)懸臂輸流立管系統(tǒng)的動力學(xué)特性比懸掛式系統(tǒng)更為豐富。唐冶等[15]研究了對稱約束下受多種激勵作用懸臂輸流管的非線性動力學(xué)行為。Wang等[16]使用立方非線性彈簧模擬對稱約束,研究了受對稱約束作用懸臂輸流管的三維動力學(xué)行為。
單邊約束由于約束的非對稱性,吸引了眾多學(xué)者對其開展研究。Zhang等[17]建立了單邊約束非光滑系統(tǒng)的時間積分方法框架,并通過曲柄滑塊機構(gòu)的數(shù)值試驗,驗證了該方法比經(jīng)典的Moreau-Jean時步法所提框架在精度和效率上更具優(yōu)勢。Peng等[18]提出了一種基于辛方法和線性互補法求解多體碰撞接觸動力學(xué)問題的方法,并通過多個數(shù)值案例證明所提出的方法即使在較大的時間步長下也具有較高精度。Miao等[19]對單邊約束下受簡諧激勵作用的單自由度沖擊振子進行研究,從拓撲學(xué)的角度研究了Nordmark映射混沌吸引子的結(jié)構(gòu)。Gritli等[20]基于OGY狀態(tài)反饋控制律,研究了單邊約束下單自由度沖擊振子的非線性動力學(xué)行為。Reboucas等[21]采用點映射法、標準平均法和非光滑變換相結(jié)合的方法,分析了帶恢復(fù)系數(shù)單自由度模型的振動沖擊響應(yīng)。Guo等[22]研究了單邊剛性約束下受簡諧激勵作用的雙擺模型。通過引入碰撞恢復(fù)矩陣、模態(tài)分析和矩陣理論,得到了高維非光滑非對稱系統(tǒng)中單邊雙碰撞周期解的解析表達式。
目前,只有極少數(shù)的學(xué)者對單邊約束與輸流管的碰撞振動問題開展研究,王乙坤等[23]基于碰撞恢復(fù)系數(shù)構(gòu)造了輸流管與單邊剛性約束碰撞前后管道各處狀態(tài)向量的傳遞矩陣,分析了間隙值和碰撞恢復(fù)系數(shù)對輸流管系統(tǒng)的影響。
本文對單邊約束下受脈動內(nèi)流激勵作用簡支輸流管的碰振響應(yīng)問題開展研究。首先,通過Hamilton原理推導(dǎo)出輸流管系統(tǒng)的運動微分方程。其次,使用Galerkin法將偏微分方程離散為常微分方程組。最后,采用可變階次的數(shù)值微分(numerical differentiation formulas,NFDs)算法[24-25]對離散后的常微分方程組進行求解。研究了脈動內(nèi)流激勵頻率、平均流速、單邊約束位置坐標與約束間隙等參數(shù)對輸流管系統(tǒng)的影響規(guī)律,為輸流管的碰撞振動控制提供理論基礎(chǔ)。
圖1為簡支輸流管與單邊約束的碰撞振動模型。當(dāng)輸流管與單邊約束發(fā)生碰撞時,單邊約束對輸流管有約束反力;輸流管與單邊約束分離后,單邊約束不再影響輸流管的運動。目前,已有學(xué)者[26]采用碰撞恢復(fù)系數(shù)來處理單邊約束,但使用該方法需滿足兩個條件:根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和單邊約束的位置坐標將管道劃分為多個單元且單邊約束處于某一單元節(jié)點上;實際發(fā)生振動的自由節(jié)點個數(shù)等于Galerkin模態(tài)截斷數(shù)。因此,當(dāng)單邊約束位置坐標發(fā)生變化時,需重新劃分單邊、Galerkin離散與構(gòu)造傳遞矩陣,極大地增加了工作量。本文新提出的非線性彈簧(受拉時剛度幾乎為零、受壓后剛度迅速增大)模型,可在不增加工作量的前提下分析單邊約束任意位置坐標對輸流管系統(tǒng)的影響規(guī)律。
圖1 單邊約束下簡支輸流管示意圖Fig.1 Schematic diagram of simply supported fluid conveying pipe with unilateral constraints
考慮輸流管運動過程中因軸線變形而導(dǎo)致的幾何非線性因素,根據(jù)Hamilton原理,可將單邊約束下受脈動內(nèi)流激勵作用簡支輸流管的運動微分方程寫成[27-28]
(1)
式(1)中,脈動流的表達式[29]
U=U0[1+μsin(Ωt)]
(2)
式中:U為管內(nèi)流體的流速;U0為管內(nèi)流體的平均流速;Ω為脈動內(nèi)流的脈動頻率;μ為脈動內(nèi)流的脈動幅值。
式(1)中,等效單邊約束非線性彈簧恢復(fù)力Fb與變形量(w+H)的關(guān)系為
Fb=kb[e-s(w+H)+ζ](w+H)
(3)
式中:kb的作用是降低非線性彈簧受拉階段產(chǎn)生的恢復(fù)力;s與非線性彈簧恢復(fù)力的變化速率相關(guān),s越大則非線性彈簧受壓階段恢復(fù)力的增大速率越快;ζ的作用是確保非線性彈簧無負剛度情況;H為輸流管與約束之間的間隙。
引入如下無量綱參數(shù)
可將式(1)~式(3)寫成如下的無量綱形式
(4)
其中,
u=u0[1+μsin(ωτ)]
(5)
fb=κb[e-ν(η+h)+ζ](η+h)
(6)
使用Galerkin法對無量綱運動方程式(4)、式(6)進行離散,輸流管的橫向位移函數(shù)可表示為
(7)
式中:N為Galerkin截斷數(shù);φj(ξ)為簡支輸流管(簡支梁)第j階的振型函數(shù);Tj(τ)為廣義坐標,且有
φj=sin(λjξ)
(8)
λj滿足特征方程
λj=jπ
(9)
φ={φ1,φ2,…,φN},T={T1,T2,…,TN}T
(10)
將式(7)代入式(4)和式(6),并在方程兩邊同時左乘φT,再對ξ從0~1積分,由模態(tài)函數(shù)的正交性,輸流管的運動微分方程可離散成如下形式
(11)
其中,
(12)
(13)
(14)
pb=2κbφ(ξb)T{e-ν[φ(ξb)T+h]+ζ}[φ(ξb)T+h]
(15)
(16)
(17)
p=pb-pE-pα
(18)
為了方便后續(xù)的數(shù)值計算,引入狀態(tài)向量
(19)
將式(11)寫成如下形式的一階狀態(tài)方程
(20)
(21)
式中:I為N階的單位矩陣;Ok為N階的零矩陣;Op為向量分量為0的N維列向量。
式(20)為單邊約束下受脈動內(nèi)流激勵作用簡支輸流管的非線性控制常微分方程組,求解該方程組可獲得輸流管在取定參數(shù)下的動力響應(yīng)。
輸流管單邊約束處(ξ=ξb)分岔圖的觸發(fā)條件為該處的速度趨于零,即
(22)
同理,可得輸流管中點處(ξ=0.5)分岔圖的觸發(fā)條件為
(23)
分別記錄下滿足式(21)與式(22)條件時,輸流管單邊約束處(ξ=ξb)的位移η(ξb,τ)與中點處(ξ=0.5)的位移η(0.5,τ)。
為驗證本文算法的正確性,在不考慮單邊約束情況時,采用王乙坤等研究中的參數(shù)(N=5,u0=4.5,α=0.005,β=0.64,κ=5 000,μ=0.2),本文采用NFDs算法得到的以脈動激勵頻率ω為控制參數(shù)輸流管中點處的分岔圖(如圖3(a)所示)與王乙坤采用四階Runge-Kutta法所得圖像(圖3(b)所示)一致,表明本文算法是可靠的。
圖3 以脈動激勵頻率ω為控制參數(shù)輸流管中點處的分岔圖Fig.3 With pulsating internal flow excitation frequency ω is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the midpoint of fluid conveying pipe
圖4是以脈動激勵頻率為控制參數(shù)輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,結(jié)合Poincare映射圖(由于篇幅限制未繪制在文中)可得系統(tǒng)由穩(wěn)定周期運動通向混沌窗口與由混沌窗口演化穩(wěn)定周期運動的演化路徑。當(dāng)17.6≥ω≥7.7時,隨著ω的不斷增大,系統(tǒng)的運動形態(tài)由周期-2(本文周期-N1為不發(fā)生碰撞的周期N1運動,周期N1為發(fā)生碰撞的周期N1運動,周期N1運動為系統(tǒng)做穩(wěn)態(tài)周期運動,且其運動周期為N1倍脈動激勵周期)因發(fā)生碰撞振動而直接進入第一個混沌窗口,而后由混沌運動經(jīng)倒倍周期分岔(周期2n、周期2n-1、…、周期8、周期4、周期2)演化為穩(wěn)定的周期2。當(dāng)25.4≥ω≥21.6時,系統(tǒng)由周期2直接通向第二個混沌窗口,而后由混沌運動經(jīng)倒倍周期分岔(周期3×2n、周期3×2n-1、…、周期12、周期6、周期3)演化為穩(wěn)定的周期3。當(dāng)43.6≥ω≥43.5時,系統(tǒng)由周期3直接進入第三個混沌窗口。
圖4 以脈動激勵頻率ω為控制參數(shù)輸流管單邊約束處和 中點處的分岔圖Fig.4 With pulsating internal flow excitation frequency ω is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe
當(dāng)ω≥61時,系統(tǒng)將不再發(fā)生碰撞振動。若繼續(xù)增大ω,當(dāng)ω≥63.8時,脈動激勵頻率將不再影響系統(tǒng)的運動形態(tài),系統(tǒng)將一直保持周期-1。
當(dāng)ω處于系統(tǒng)發(fā)生碰撞振動的脈動激勵頻率范圍時,系統(tǒng)可由穩(wěn)定周期運動直接進入混沌窗口,而后又由混沌運動經(jīng)倒倍周期分岔演化為穩(wěn)定的周期運動。
圖5是以平均流速為控制參數(shù)輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,可以觀察到當(dāng)3.16≥u0時,系統(tǒng)不發(fā)生振動。當(dāng)4.56>u0>3.16時,系統(tǒng)幾乎處于非碰撞振動狀態(tài)。
圖5 以平均流速u0為控制參數(shù)輸流管單邊約束處 和中點處的分岔圖Fig.5 With the average flow velocity u0 is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the constraint and midpoint of fluid conveying pipe
當(dāng)5.62≥u0≥4.5時,隨著u0的增大,系統(tǒng)的運動形態(tài)由周期-1經(jīng)穩(wěn)定焦點、吸引圓、概周期運動,最后因發(fā)生碰撞振動而進入混沌窗口,此過程Poincare映射圖的演化[30]如圖6所示。圖6(a)為隨運動時間的增大Poincare映射圖呈順時針螺旋匯聚成穩(wěn)定焦點的過程;繼續(xù)增大u0,Poincare映射圖將呈現(xiàn)先順時針螺旋匯聚,到達轉(zhuǎn)向點(順時針螺旋匯聚與逆時針螺旋匯聚的分界點)后,逆時針螺旋匯聚成穩(wěn)定焦點,如圖6(b);若再繼續(xù)增大u0,Poincare映射圖將呈現(xiàn)先順時針螺旋匯聚,到達轉(zhuǎn)向點后逆時針螺旋匯聚成吸引圓,且吸引圓隨著u0的增大而不斷向外擴張,最終演變?yōu)橐环忾]曲線,此時系統(tǒng)的運動形態(tài)為概周期運動,該過程Poincare射圖的演化如圖6(c)~圖6(e);當(dāng)u0≥4.56時,輸流管與約束發(fā)生碰撞振動導(dǎo)致封閉曲線崩潰,系統(tǒng)進入混沌窗口,其后系統(tǒng)直接由混沌運動跳躍為周期3而離開混沌窗口。
圖6 輸流管單邊約束處與中點處的Poincare映射圖Fig.6 Poincare map at unilateral constraint and midpoint of pipe conveying fluid
圖7 輸流管單邊約束處的位移時程曲線與速度時程 曲線(u0=7.2)Fig.7 Displacement time history curve and velocity time history curve at the unilateral constraint of the flow tube(u0=7.2)
從圖7觀察到系統(tǒng)出現(xiàn)周期性完全顫碰振動[31-32],單邊約束下受脈動內(nèi)流激勵的簡支輸流管在此運動過程中經(jīng)歷三種運動狀態(tài):參數(shù)振動(本文參數(shù)振動狀態(tài)只受脈動內(nèi)流激勵作用不碰撞振動)、顫碰振動和黏滯狀態(tài)。系統(tǒng)處于顫碰振動時,輸流管約束處的振動幅值與沖擊速度(輸流管撞擊單邊約束時管道單邊約束處的速度)隨著碰撞次數(shù)的增加而不斷減小,但在減小為零之前,輸流管約束處的合力方向發(fā)生改變,系統(tǒng)未能進入黏滯狀態(tài)的顫碰振動稱為周期性非完全顫碰振動;將沖擊速度減小為零時,輸流管約束處合力仍然指向單邊約束,導(dǎo)致輸流管與單邊約束黏滯在一起,合力方向發(fā)生改變后,輸流管與單邊約束分離,黏滯狀態(tài)結(jié)束的顫碰振動被稱為周期性完全顫碰振動。
當(dāng)8.05≥u0≥7.3時,系統(tǒng)由周期3經(jīng)倍周期分岔(周期3、周期6、…、周期3×2n)通向混沌窗口,而后又由混沌運動跳躍為周期3離開混沌窗口。當(dāng)8.95≥u0≥8.79時,系統(tǒng)由周期3經(jīng)倍周期分岔(周期3、周期6、…、周期3×2n)通向混沌窗口。
通過對管內(nèi)流體平均流速的研究,觀察到了周期性完全顫碰振動;發(fā)現(xiàn)了輸流管系統(tǒng)通向混沌的兩種路徑:由穩(wěn)定周期運動經(jīng)穩(wěn)定焦點、吸引圓、概周期運動通向混沌窗口與由穩(wěn)定周期運動經(jīng)倍周期分岔通向混沌窗口。
2.3.1 無約束間隙系統(tǒng)(h=0)
圖8是以單邊約束的位置坐標ξb為控制參數(shù)輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,從該圖可以清楚地觀察到當(dāng)單邊約束處于始端支座附近(0.173≥ξb>0)時,輸流管與單邊約束一直處于黏滯狀態(tài)。
圖8 以約束的位置坐標ξb為控制參數(shù)輸流管單邊 約束處和中點處的分岔圖(h=0)Fig.8 The position coordinate of the constraint ξb is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe (h=0)
當(dāng)0.829≥ξb≥0.775時,系統(tǒng)出現(xiàn)周期N1的一種特殊碰撞振動形態(tài)——N2/N1周期碰撞振動,即系統(tǒng)歷經(jīng)N1個脈動激勵周期,輸流管與約束發(fā)生的碰撞次數(shù)為N2次的現(xiàn)象。為了更清楚地觀察輸流管與約束的N2/N1周期碰撞振動現(xiàn)象,圖9~圖12繪制出了輸流管單邊約束處與中點處的相圖以及Poincare映射圖(輸流管單邊約束處相圖中的虛線表示單邊約束)。當(dāng)ξb=0.775時,如圖9所示,由Poincare映射圖可知系統(tǒng)歷經(jīng)了3個脈動激勵周期,相圖顯示輸流管與約束發(fā)生了1次碰撞,為1/3周期碰撞振動。隨著ξb的增大,系統(tǒng)由1/3周期碰撞振動經(jīng)倍周期碰振響應(yīng)(1/3周期碰撞振動(見圖9所示)、2/6周期碰撞振動(如圖10所示)、4/12周期碰撞振動(見圖11所示)、…、2n/3×2n周期碰撞振動)通向混沌窗口(如圖12所示),而后由混沌運動經(jīng)倒倍周期碰振響應(yīng)(2n/3×2n周期碰撞振動、2n-1/3×2n-1周期碰撞振動、…、4/12周期碰撞振動、2/6周期碰撞振動、1/3周期碰撞振動)演化為穩(wěn)定的1/3周期碰撞振動。
圖9 1/3周期碰撞振動(ξb=0.775)Fig.9 1/3 periodic impact vibration (ξb=0.775)
圖10 2/6周期碰撞振動(ξb=0.785)Fig.10 2/6 periodic impact vibration (ξb=0.785)
圖11 4/12周期碰撞振動(ξb=0.787)Fig.11 4/12 periodic impact vibration (ξb=0.787)
由此可知,對于無約束間隙輸流管系統(tǒng),當(dāng)單邊約束鄰近始端支座時,輸流管與單邊約束會一直處于黏滯狀態(tài),即不發(fā)生振動。觀察到了N2/N1周期碰撞振動現(xiàn)象與系統(tǒng)由穩(wěn)定的N2/N1周期碰撞振動經(jīng)倍周期碰振響應(yīng)通向混沌窗口的現(xiàn)象。
2.3.2 具有約束間隙的輸流管系統(tǒng)(h=0.03)
圖13是以約束的位置坐標ξb為控制參數(shù)輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,可以觀察到當(dāng)單邊約束處于輸流管中部(0.678>ξb>0.272)時,可使系統(tǒng)的最大響應(yīng)幅值大幅度降低。結(jié)合圖8與圖13可以觀察到,輸流管單邊約束處與中點處的運動形態(tài)基本一致,由此可知,整個輸流管都處于同一運動形態(tài)。可能由于流體流速具有方向性,所以以約束的位置坐標ξb為控制參數(shù)的分岔圖未關(guān)于管道中心點的垂線(ξb=0.5)對稱。
圖13 以約束的位置坐標ξb為控制參數(shù)輸流管單邊 約束處與中點處的分岔圖 (h=0.03)Fig.13 The position coordinate of the constraint ξb is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe (h=0.03)
從圖13可以觀察到,ξb過小輸流管會因始端支座的影響而無法與單邊約束發(fā)生碰撞振動,但此約束間隙下,隨著ξb的不斷增大,系統(tǒng)終將由非碰撞振動經(jīng)擦邊運動[33-34]發(fā)生碰撞振動。通過分岔圖結(jié)合相圖與Poincare映射圖(篇幅限制只繪制部分關(guān)鍵節(jié)點的圖像)可觀察到,當(dāng)0.226≥ξb≥0.205時,隨著ξb的增大,系統(tǒng)的運動形態(tài)由周期-4、周期-4擦邊、1/4周期碰撞振動、倍周期碰撞振動響應(yīng)(1/4周期碰撞振動、2/8周期碰撞振動、…、2n/4×2n周期碰撞振動)、概周期碰撞振動、周期-4、概周期碰撞振動,最后通向混沌窗口。
當(dāng)0.4≥ξb≥0.34時,隨著ξb的增大,系統(tǒng)先后發(fā)生兩次擦邊運動導(dǎo)致其運動形態(tài)由1/1周期碰撞振動經(jīng)一系列運動形態(tài)的演變,最終演化為3/1周期碰撞振動。此過程系統(tǒng)運動形態(tài)的演化為:1/1周期碰撞振動(如圖14所示)、1/1擦邊周期碰撞運動(如圖15所示)、概周期碰撞振動、3/2周期碰撞振動、2/1周期碰撞振動(如圖16所示)、2/1擦邊周期碰撞運動、6/2周期碰撞運動、最后演化為3/1周期碰撞振動(圖17)。
圖15 1/1擦邊周期碰撞振動(ξb=0.345)Fig.15 1/1 grazing periodic impact vibration (ξb=0.345)
圖16 2/1擦邊周期碰撞振動(ξb=0.3907)Fig.16 2/1 grazing periodic impact vibration (ξb=0.3907)
當(dāng)0.815>ξb≥0.786時,隨著ξb的增大,輸流管的運動受末端支座的影響越來越大,最終將導(dǎo)致系統(tǒng)由碰振運動演化為非碰振運動。此過程系統(tǒng)的運動形態(tài)的演化為:混沌運動、1/4周期碰撞振動、周期-4擦邊、周期-4。雖然當(dāng)ξb≥0.799,輸流管已開始不與約束發(fā)生碰撞振動,但系統(tǒng)仍會出現(xiàn)間歇性的碰撞振動,直至ξb≥0.815,輸流管才無法再與約束發(fā)生碰撞振動。此后,系統(tǒng)的運動形態(tài)將一直維持周期-4。
由此可見,對于具有約束間隙的輸流管系統(tǒng),當(dāng)單邊約束處于輸流管中部時,可使系統(tǒng)的最大響應(yīng)幅值大幅度降低。擦邊運動可誘發(fā)系統(tǒng)發(fā)生倍周期碰振響應(yīng)或使系統(tǒng)的碰振形態(tài)發(fā)生跳躍,系統(tǒng)可由碰振混沌運動經(jīng)周期性碰撞振動、擦邊運動演化為穩(wěn)定的周期性非碰振運動。
(1) 單邊約束下受脈動激勵作用的簡支輸流管存在三種路徑通向混沌:由穩(wěn)定的周期運動經(jīng)穩(wěn)定焦點、吸引圓、概周期運動通向混沌窗口;由穩(wěn)定的周期運動發(fā)生倍周期分岔通向混沌窗口;直接由穩(wěn)定的周期運動跳躍進入混沌窗口。
(2) 對于具有約束間隙的系統(tǒng),當(dāng)單邊約束處于管道中部時,約束使輸流管的最大響應(yīng)幅值大幅度降低;對于無約束間隙系統(tǒng),當(dāng)單邊約束處于始端支座附近時,輸流管與約束一直處于黏滯狀態(tài)而不發(fā)生振動。
(3) 觀察到系統(tǒng)歷經(jīng)N1個脈動激勵周期發(fā)生N2次碰撞的N2/N1周期碰撞振動、倍周期碰振響應(yīng)、周期性完全顫碰振動與擦邊運動等非光滑碰振系統(tǒng)特有的現(xiàn)象。
(4) 擦邊運動可誘發(fā)系統(tǒng)發(fā)生倍周期碰振響應(yīng)或使系統(tǒng)的運動形態(tài)發(fā)生跳躍,系統(tǒng)可由混沌運動經(jīng)周期性碰撞振動、擦邊運動演化為穩(wěn)定的周期性非碰振運動。