朱泳廷, 張 澤

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,貴陽 550025)

通過引入柔性結(jié)構(gòu)替換剛性連桿,可以得到輕質(zhì)的機(jī)械臂。相較于傳統(tǒng)的剛性機(jī)械臂,柔性機(jī)械臂具有更好的潛在優(yōu)勢:質(zhì)量輕、耗能小、驅(qū)動(dòng)器要求低、工作空間大、運(yùn)轉(zhuǎn)速度快、成本低,以及由于小慣性帶來的安全性強(qiáng)等[1]。

柔性會(huì)使系統(tǒng)趨于難以控制,一方面由于柔性結(jié)構(gòu)的低剛度特質(zhì),機(jī)械臂受擾后參數(shù)相對于原狀態(tài)的偏離程度較大;另一方面,非線性特性、低階模態(tài)頻率低、阻尼效應(yīng)弱使得柔性機(jī)械臂容易產(chǎn)生振動(dòng)問題。因此,深入研究并采用各種抑振方法克服柔性機(jī)械臂的缺點(diǎn)才能更好發(fā)揮其潛在應(yīng)用優(yōu)勢。

目前對柔性臂的主動(dòng)抑振方法大致可以分為三類:①將單個(gè)柔性臂看作無窮自由度且高度欠驅(qū)動(dòng)(輸入量僅有關(guān)節(jié)力矩)的復(fù)雜系統(tǒng),構(gòu)造輸入量來實(shí)現(xiàn)過程抑振[3-6],但抗擾能力較差;②在柔性臂中間部分配置作動(dòng)應(yīng)變片和傳感器[7-9],這種方法相較于①類方法可為系統(tǒng)引入若干控制量來降低系統(tǒng)欠驅(qū)動(dòng)程度,且根據(jù)配置方法等的不同,對特定階的模態(tài)有指向性的、良好的抑制效果,抗擾能力強(qiáng),缺點(diǎn)則是成本高、控制系統(tǒng)復(fù)雜;③配置動(dòng)力吸振器(dynamic vibration absorber, DVA)在柔性臂的適當(dāng)位置[10-11],由于吸振器僅配置在固定點(diǎn),該方法針對較低階模態(tài)且為局部抑振,在吸振器性能限制內(nèi)可實(shí)現(xiàn)較強(qiáng)的抗擾能力。

主動(dòng)動(dòng)力吸振技術(shù)由于具有頻帶寬、應(yīng)用潛力大的優(yōu)勢,在自動(dòng)化、汽車、船舶、航空航天等工程領(lǐng)域受到重視。Chen等[12]將由智能彈簧構(gòu)成的主動(dòng)式動(dòng)力吸振器置于直升機(jī)柔性長槳葉的根部,基于自適應(yīng)陷波算法實(shí)現(xiàn)主動(dòng)抑振,結(jié)果表明該方法能有效地吸收柔性槳葉傳遞至機(jī)身的振動(dòng)。張洪田等[13]研制了一種電磁式吸振器,采用一種基于改進(jìn)最小均方算法(modified least mean square,MLMS)的自適應(yīng)控制器對船舶柴油機(jī)進(jìn)行抑振,仿真驗(yàn)證了主動(dòng)吸振裝置的寬頻帶抑振效果,但在建模時(shí)難以考慮的模型誤差和擾動(dòng)降低了吸振器實(shí)際的抑振效果。楊愷等[14]采用一種主動(dòng)電磁式吸振器對輕質(zhì)柔性桁架的振動(dòng)進(jìn)行抑制,基于Taranti[15]提出的比例系數(shù)自適應(yīng)算法構(gòu)造控制器,試驗(yàn)表明吸振器對共振和非共振模態(tài)振動(dòng)均有良好的抑制效果,但參數(shù)迭代適應(yīng)的過程較長且抗擾能力較差,不適用于工作條件多變復(fù)雜的柔性機(jī)械臂。

上述主動(dòng)抑振方法的一個(gè)共同點(diǎn)是均采用一重動(dòng)力吸振器實(shí)現(xiàn)抑振。二重動(dòng)力吸振器相較于同等質(zhì)量比的一重動(dòng)力吸振器對參數(shù)變化的適應(yīng)性更強(qiáng),而目前采用二重動(dòng)力吸振器對柔性臂進(jìn)行主動(dòng)抑振的研究較少。除此之外,主動(dòng)式吸振器核心在于作動(dòng)器的選擇。相比于傳統(tǒng)的伺服電機(jī),音圈電機(jī)結(jié)構(gòu)精簡的特點(diǎn)為其帶來了體積小、質(zhì)量輕、動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度快、精度高等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于高頻率、高精度、短距離的重復(fù)性運(yùn)動(dòng)和定位作業(yè)中[16],缺點(diǎn)則是在工作過程中存在參數(shù)變化、端部效應(yīng)等不利因素。采用音圈電機(jī)作為作動(dòng)器有利于減重和提高吸振器性能,但要解決其用于柔性體的振動(dòng)抑制的控制問題,需要尋求一類低模型依賴的算法。自抗擾控制器(active disturbance rejection controller,ADRC)較前文提到的自適應(yīng)方法,無參數(shù)迭代過程,在解決擾動(dòng)控制問題上有廣泛的應(yīng)用[17-19]。但需要解決好觀測器設(shè)計(jì)問題,以便系統(tǒng)能夠有效的跟蹤收斂。

綜上所述,本文提出一種由音圈電機(jī)構(gòu)成的主動(dòng)式二重動(dòng)力吸振器,闡釋基于柔性桿的動(dòng)力學(xué)模型等效建立一階模態(tài)狀態(tài)方程的方法,分析其擾動(dòng)形式。控制方法方面采用基于非線性跟蹤微分器(non-linear tracking differentiator,NLTD)的線性二次型最優(yōu)控制(linear quadratic regulator,LQR)方法并結(jié)合時(shí)變增益擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(time-varing gain extended state observer,VGESO)實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)補(bǔ)償,綜合了兩種控制方法的優(yōu)勢,使得柔性桿抑振控制不依賴于準(zhǔn)確系統(tǒng)模型,且具有強(qiáng)抗擾能力。

1 柔性桿動(dòng)力學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

為了驗(yàn)證抑振算法的效果,以平面單連桿柔性機(jī)械臂(planar single-link flexible manipulator,PSLFM)為抑振對象,對柔性桿端部加裝吸振器和傳感器,實(shí)現(xiàn)殘余振動(dòng)的主動(dòng)抑制。本節(jié)基于模態(tài)假設(shè)法描述柔性桿的振動(dòng)特性。

一端由關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)的PSLFM的結(jié)構(gòu)示意如圖1所示,材料、尺寸物理參數(shù)在表1中列出。在圖1中,θ為該柔性桿對應(yīng)的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度,也是系統(tǒng)主要的輸入和激勵(lì)。對θ進(jìn)行合適的規(guī)劃可以有效地降低柔性桿過程中和到位后的殘余振動(dòng)。由于本文不研究θ的規(guī)劃問題,所以假設(shè)柔性桿到位后的殘余振動(dòng)在二重動(dòng)力吸振器可控的范圍內(nèi)。

表1 柔性桿的物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of flexible beam

圖1 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)PSLFM的結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Structure of joint driven PSLFM

設(shè)該柔性桿滿足Kirchhoff假設(shè),即滿足Euler-Bernoulli桿臂條件,條件適用于桿的長度跨距遠(yuǎn)大于其截面尺寸的情況下。忽略重力的影響,則基于變分原理可推出柔性桿的彎曲無阻尼振動(dòng)微分方程

(1)

上述四階偏微分方程的邊界條件可通過變分求解過程自然獲得,具體推導(dǎo)和結(jié)論可參考文獻(xiàn)[20]。假設(shè)模態(tài)法以Rayleigh-Ritz法為基礎(chǔ)推導(dǎo)出柔性臂微分方程逼近解,彈性撓度w(x,t)可表達(dá)為

(2)

式中:φi(x)為第i階模態(tài)的空間模態(tài)函數(shù);pi(t)為第i階模態(tài)的時(shí)間模態(tài)函數(shù)。將式(2)的表達(dá)代入式(1)中可得到分離變量的兩個(gè)獨(dú)立常微分方程,結(jié)合邊界條件求解可得解的形式

φi(x)=Ai{aisin(βix)-aisinh(βix)-

cos(βix)+cosh(βix)}

(3)

式中,Ai和ai分別為

(4)

(5)

式中,βi為第i階空間模態(tài)函數(shù)φi(x)的特征頻率,與時(shí)間模態(tài)函數(shù)pi(t)的固有頻率ωi對應(yīng),可通過解如下特征方程獲得

cos(βiL)cosh(βiL)+1=0

(6)

式(6)是以特征頻率βi為變元的方程,其解析解很難得到。端部質(zhì)量m會(huì)影響βi的解,文獻(xiàn)[21]探討了邊界條件改變對柔性桿各階模態(tài)的影響規(guī)律,指出桿自由端的振幅和振動(dòng)頻率隨集中質(zhì)量m增大的變化,以及末端集中質(zhì)量m的引入會(huì)進(jìn)一步衰減高階模態(tài)振動(dòng),使低階模態(tài)對振動(dòng)的主導(dǎo)性更強(qiáng)。另一方面,端部質(zhì)量的增加會(huì)降低柔性結(jié)構(gòu)帶來的優(yōu)勢,不能僅依靠增加端部質(zhì)量來抑制高階模態(tài),因此采用算法對柔性桿高階模態(tài)進(jìn)行抑制將會(huì)更有利于發(fā)揮柔性的優(yōu)勢。

考慮關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)柔性桿的動(dòng)力學(xué)模型,如圖1所示,柔性桿各點(diǎn)在空間中的位置變化是關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)與撓度變形的疊加,桿上任意質(zhì)點(diǎn)的位置可由位矢r表示

(7)

系統(tǒng)的動(dòng)能為

(8)

式中:第一項(xiàng)為柔性桿的總體動(dòng)能;第二項(xiàng)為末端質(zhì)量m的動(dòng)能;第三項(xiàng)為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。忽略重力,系統(tǒng)的彈性勢能為

(9)

拉格朗日量取為L=T-U,以關(guān)節(jié)角度和柔性桿各個(gè)時(shí)間模態(tài)坐標(biāo)為廣義坐標(biāo),根據(jù)拉格朗日方程

(10)

可獲得關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)和柔性桿整體的動(dòng)力學(xué)方程

(11)

式中:Mθp為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)與柔性桿的耦合關(guān)系;Hp為柔性桿科氏力和離心力作用的體現(xiàn);Mpp和Kpp為柔性桿作為分布參數(shù)系統(tǒng)的質(zhì)量與剛度性質(zhì)。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型等效參數(shù)

本文考慮殘余振動(dòng)問題,即關(guān)節(jié)角θ=0,式(11)可簡化為

(12)

式中,Kpp=diag(k1,k2,…,kn),Mpp可表示為

(13)

式中:第i個(gè)主對角元素決定第i階模態(tài)的振動(dòng)頻率;非主對角元素決定了第j階模態(tài)與第i階模態(tài)的耦合效應(yīng);ηij的形式為

(14)

由于模態(tài)的正交性,忽略模態(tài)與模態(tài)之間的耦合,Mpp主要由主對角元素決定。式(14)的量綱是質(zhì)量,描述了對應(yīng)模態(tài)的整體振動(dòng)質(zhì)量屬性。為將該質(zhì)量屬性與實(shí)際柔性桿各點(diǎn)的振動(dòng)效果對應(yīng),設(shè)l為獨(dú)立于x的柔性桿位置變量,則可以得到i階模態(tài)在l點(diǎn)處的等效振動(dòng)質(zhì)量為

(15)

式(15)決定的振動(dòng)等效關(guān)系可由圖2描述,端部第i階模態(tài)的等效振動(dòng)質(zhì)量和剛度則可令l=L獲得,如下

圖2 柔性桿等效質(zhì)量示意圖Fig.2 Representation of equivalent parameters

(16)

(17)

式(15)～式(17)描述了將柔性桿各點(diǎn)的振動(dòng)等效映射至端點(diǎn)的積分關(guān)系,實(shí)質(zhì)上是將式(14)決定的模態(tài)空間的參數(shù)轉(zhuǎn)換至柔性桿實(shí)際物理參數(shù)。計(jì)算得到的質(zhì)量和剛度參數(shù)有利于二重動(dòng)力吸振器的建模與控制。

2 基于音圈電機(jī)的二重動(dòng)力吸振器

2.1 音圈電機(jī)作動(dòng)特性

本節(jié)對音圈電機(jī)的作動(dòng)特性進(jìn)行探討。音圈電機(jī)由固定線圈繞組組件和永久磁體組件構(gòu)成。磁體相對線圈質(zhì)量較大,將其作為輔助動(dòng)質(zhì)量可以增加二重動(dòng)力吸振器的有效質(zhì)量比。通電線圈受到動(dòng)磁體產(chǎn)生的電磁反作用力并傳遞至固接的抑振對象從而產(chǎn)生抑振效果。

將音圈電機(jī)引入被動(dòng)式無阻尼動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)中,系統(tǒng)變?yōu)殡娐?、磁力和機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)耦合的復(fù)雜模型。音圈電機(jī)的電-磁-動(dòng)力學(xué)耦合首要滿足以下兩個(gè)關(guān)系

(18)

本文動(dòng)力吸振器內(nèi)含的音圈電機(jī)作動(dòng)結(jié)構(gòu)可由圖3表示,核心的三個(gè)部分分別是音圈電機(jī)及編碼器組、精密微型導(dǎo)向和輕質(zhì)吸振器框架。驅(qū)動(dòng)電路系統(tǒng)平衡方程和運(yùn)動(dòng)平衡微分方程分別表示為

圖3 音圈電機(jī)作動(dòng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure of voice coil motor actuation

(19)

和

(20)

由音圈電機(jī)結(jié)構(gòu)上的精簡帶來的主要問題是磁場的非均勻性,T=T(q)可表示音圈電機(jī)的力敏特性曲線。定義驅(qū)動(dòng)電壓E(t)=Kcu(t),且定義由自感系數(shù)Lm帶來的擾動(dòng)項(xiàng)為ξL,可以得到

(21)

在音圈電機(jī)的驅(qū)動(dòng)特性下,動(dòng)力學(xué)模型變?yōu)楹到y(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)且阻尼系數(shù)和輸入增益隨位置發(fā)生改變的非線性微分方程。設(shè)T0為振動(dòng)系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的力敏常數(shù),音圈電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可簡寫為

(22)

由式(21)和式(22)可知,引入音圈電機(jī)可為振動(dòng)系統(tǒng)同時(shí)引入磁性阻尼因子c0和可控量u(t)。阻尼系數(shù)c0由電路內(nèi)阻決定上限,可通過調(diào)節(jié)電阻rf調(diào)節(jié)。動(dòng)力吸振器由此不需要額外附加阻尼結(jié)構(gòu),振動(dòng)能量的耗散由音圈電機(jī)所在電回路實(shí)現(xiàn)。

2.2 主動(dòng)式二重動(dòng)力吸振器

將音圈電機(jī)作動(dòng)的主動(dòng)式二重動(dòng)力吸振器配置至柔性桿端部,如圖4所示。

圖4 二重動(dòng)力吸振器端部抑振示意圖Fig.4 Representation of end vibration suppression

動(dòng)力吸振器可基于一般的設(shè)計(jì)方法,計(jì)算滿足最優(yōu)同調(diào)條件和最優(yōu)阻尼條件的動(dòng)力吸振器最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。二重動(dòng)力吸振器工作在最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)下時(shí),其動(dòng)力學(xué)性能與抑振對象的匹配度最高;且相對于一重動(dòng)力吸振器,對參數(shù)變化的敏感性較低。可控量的引入使得動(dòng)力吸振器在偏離最優(yōu)參數(shù)后仍然有能力保證抑振性能。

考慮以末端一階模態(tài)等效質(zhì)量、剛度建立振動(dòng)微分方程,如下

(23)

3 自抗擾LQR抑振主動(dòng)控制方法

3.1 控制目標(biāo)

基于第2章中對音圈電機(jī)作動(dòng)的二重動(dòng)力吸振器的探討,本節(jié)建立柔性桿端部抑振的受控模型。引入狀態(tài)向量和輸入向量

(24)

u(t)=[u1(t),u2(t)]T

(25)

柔性桿端部沿彎曲方向的振動(dòng)微分方程可用狀態(tài)方程的形式表示

(26)

其中,

式中:A1,A2和B1的具體表達(dá)可經(jīng)由振動(dòng)微分方程(23)獲得;I3為三階單位陣;ε(t)為系統(tǒng)量測噪聲,一般是均值為零的白噪聲;ζ(t)中的ξ1和ξ2為音圈電機(jī)對應(yīng)的匹配擾動(dòng)項(xiàng),已在式(22)給出其形式;ξw為柔性桿擾動(dòng)項(xiàng),主要包括模型誤差、殘余模態(tài)擾動(dòng)和外擾。

3.2 LQR反饋控制

LQR的控制效果穩(wěn)定[23],能保證總是以較小的控制量使系統(tǒng)誤差趨于零,并且對于多輸入多輸出系統(tǒng)(multiple-input-multiple-output,MIMO)還可以通過調(diào)節(jié)權(quán)系數(shù)來著重保證某一狀態(tài)量的控制效果。

LQR最優(yōu)控制方法可描述為使如下的控制性能指標(biāo)函數(shù)最小的問題

(27)

式中:Q的為半正定實(shí)對稱常矩陣,決定狀態(tài)量x(t)的權(quán)重;R為正定實(shí)對稱常矩陣,決定對輸入控制量u(t)的權(quán)重。

為使性能指標(biāo)函數(shù)J(x,u)取得最小值,以達(dá)到輸入控制量以及狀態(tài)量的綜合最優(yōu),定義拉格朗日乘子λ(t)并構(gòu)建哈密頓函數(shù)

λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(28)

對式(28)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零,可得到最優(yōu)控制信號為

(29)

式中,P為以下Riccati非線性矩陣方程的解

ATP+PA-PBR-1BTPT+Q=0

(30)

通過求解上述方程可得到矩陣P,由此可得到最優(yōu)反饋矩陣

K=R-1BTP=[K1,K2]T

(31)

證明:設(shè)S為半正定實(shí)常值矩陣,并滿足如下的等式STS=Q+KTRK,在最優(yōu)反饋律K的作用下,將狀態(tài)方程表示為

(32)

式(32)的傳遞關(guān)系可表示為

X(s)=(sI-A+BK)-1ζ(s)

(33)

根據(jù)定義,SX(s)的2-范數(shù)為

性能指標(biāo)可改寫為

(35)

由Parseval定理可知

(36)

又因輸出矩陣C為常值矩陣且擾動(dòng)ζ(t)有界,當(dāng)J→minJ(x,u)時(shí)

(37)

上述引理表明LQR控制器對噪聲(外擾)的抑制能力相對更強(qiáng),能為其與自抗擾控制器的結(jié)合提供良好基礎(chǔ),降低觀測器的估計(jì)壓力。

3.3 自抗擾LQR控制算法

基本的自抗擾控制器主要包括三個(gè)核心部分:誤差反饋律、NLTD和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extend state observer, ESO)。誤差反饋律利用誤差及誤差的微分組合構(gòu)成最終控制量。NLTD能準(zhǔn)確跟蹤輸入信號以及提取輸入信號的微分信號,并同時(shí)可作為帶寬可調(diào)的濾波器實(shí)現(xiàn)噪聲的濾除。ESO基于非線性函數(shù)的良好特性,利用輸入量和輸出量實(shí)時(shí)快速地估計(jì)系統(tǒng)各階的狀態(tài)信息。本節(jié)主要引入非線性跟蹤微分器NLTD和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器ESO,與3.2節(jié)中LQR控制器結(jié)合,從而構(gòu)成自抗擾LQR控制算法。

3.3.1 非線性跟蹤微分器NLTD

LQR控制方法須引入狀態(tài)量及狀態(tài)量的微分構(gòu)成誤差線性反饋控制律。一種連續(xù)形式的NLTD由韓京清[24]提出,如下

(38)

式中:r為加速度跟蹤因子;v(t)為輸入信號。

考慮式(38)的離散實(shí)現(xiàn),由于二階積分串聯(lián)系統(tǒng)的特性,上式?jīng)Q定的離散系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近總是存在“微過調(diào)”,系統(tǒng)并不能在有限采樣步內(nèi)完美跟蹤輸入信號?；跁r(shí)間最優(yōu)的等時(shí)區(qū)法可以得到上式在離散形式下的延拓

(39)

式中,fhan為如下時(shí)間最優(yōu)控制綜合函數(shù)

(40)

式中:r為加速度跟蹤因子;h0為濾波因子;h為采樣步長。

式(39)和式(40)即為基于時(shí)間最優(yōu)控制綜合函數(shù)的非線性TD算法實(shí)現(xiàn)。當(dāng)r足夠大,且h0>h時(shí),NLTD可濾除系統(tǒng)的量測噪聲。

3.3.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器ESO

在一般狀態(tài)觀測器構(gòu)造方法的基礎(chǔ)上,利用非線性函數(shù)作為反饋函數(shù),狀態(tài)觀測器誤差收斂效率提高,穩(wěn)態(tài)誤差得到抑制。定義擴(kuò)張狀態(tài)變量為系統(tǒng)的匹配擾動(dòng)項(xiàng),則該狀態(tài)變量能以很高的效率跟隨系統(tǒng)的匹配擾動(dòng)。一種以冪函數(shù)作為非線性反饋函數(shù)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器形式如下

(41)

式中:β1～βn+1為非線性函數(shù)的增益系數(shù),決定ESO的跟蹤性能;f0為系統(tǒng)已知擾動(dòng)項(xiàng);狀態(tài)變量zn+1即為估計(jì)得到的“總和擾動(dòng)”。fal函數(shù)的形式為

(42)

由式(42)可知,當(dāng)跟蹤誤差|e|>δ時(shí),ESO的反饋估計(jì)函數(shù)為冪函數(shù)形式;而當(dāng)跟蹤誤差|e|≤δ時(shí),ESO更接近于線性狀態(tài)觀測器。因此,增大線性區(qū)間長度δ將會(huì)以降低擾動(dòng)的估計(jì)效率和增大估計(jì)穩(wěn)態(tài)誤差為代價(jià),使ESO對高頻震顫和噪聲有更好的抑制作用。

3.3.3 自抗擾LQR抑振控制器設(shè)計(jì)

為使控制系統(tǒng)具有強(qiáng)魯棒性以及對內(nèi)擾、外擾的強(qiáng)補(bǔ)償能力,本文將自抗擾控制器引入含模型參數(shù)誤差、含內(nèi)外擾動(dòng)的狀態(tài)方程確定的LQR控制器,結(jié)合兩者優(yōu)點(diǎn),對柔性桿實(shí)現(xiàn)基于兩個(gè)音圈電機(jī)的二重動(dòng)力吸振器的主動(dòng)抑振控制。

考慮由狀態(tài)方程式(26)確定的系統(tǒng),表示為

定義輸入量為

(44)

將柔性桿振動(dòng)簡寫為

(45)

為了防止ESO的“初始微分峰值”現(xiàn)象造成的沖擊對高階模態(tài)產(chǎn)生激勵(lì),選擇初始時(shí)變增益的三階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器,形式為

式中,γ(t)為時(shí)變增益系數(shù),形式由騰青芳等的研究給出。

(47)

式中:σ為增長速度系數(shù),可調(diào)節(jié)增益系數(shù)增長速度;γ0為增益放大倍率。

(48)

則當(dāng)ESO的擴(kuò)張狀態(tài)量z3能很好地估計(jì)總和擾動(dòng)ξw時(shí),式(23)確定的系統(tǒng)僅由LQR控制器進(jìn)行調(diào)節(jié),音圈電機(jī)對應(yīng)的匹配擾動(dòng)ξ1和ξ2的影響由LQR控制器的特性而降至最小;并且參數(shù)誤差、高階模態(tài)響應(yīng)、音圈電機(jī)的輸入增益變化等均視作“總和擾動(dòng)”被補(bǔ)償。

最終得到的自抗擾LQR控制器如圖5所示。

圖5 二重動(dòng)力吸振器抑振自抗擾LQR控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.5 LQR active disturbance rejection controller structure

4 仿真分析

本文采用MOTICONT公司生產(chǎn)的LCVM-019-016-02型號的小型音圈電機(jī)作為二重動(dòng)力吸振器的作動(dòng)器,其具體參數(shù)如表2所示。

表2 LCVM-019-016-02型號音圈電機(jī)的參數(shù)Tab.2 Parameters of LCVM-019-016-02 voice coil motor

二重動(dòng)力吸振器抑振系統(tǒng)的參數(shù)如表3所示,柔性桿的前三階彎曲振動(dòng)模態(tài)的固有頻率值如表4所示。

表3 柔性桿、吸振器模型參數(shù)Tab.3 Model parameters of flexible beam and DVA

表4 柔性桿前三階彎曲模態(tài)固有頻率Tab.4 Natural frequency of the first three bending modes 單位:Hz

對柔性桿二重動(dòng)力吸振器系統(tǒng)模型實(shí)施控制,考察系統(tǒng)抑振能力、參數(shù)魯棒性以及抵抗內(nèi)外擾的能力,并格外關(guān)注控制器對高階模態(tài)擾動(dòng)的抑制能力。在MATLAB中利用Simulink功能模塊搭建自抗擾LQR控制器仿真模型如圖6所示。

圖6 控制器仿真模型Fig.6 Numerical simulation model of controller

圖6中的DVA系統(tǒng)模型以2-輸入和3-輸出的狀態(tài)方程模型為基礎(chǔ),包含音圈電機(jī)力敏常數(shù)變化和匹配擾動(dòng)部分,柔性桿包含外擾和模態(tài)擾動(dòng)部分。

Q=diag(a1,1,1,a2,1,1)

(49)

式中:加權(quán)矩陣Q主對角的第一個(gè)元素和第四個(gè)元素為柔性桿振動(dòng)速度和振幅的加權(quán)系數(shù)。文獻(xiàn)[25]指出當(dāng)a1≠a2時(shí),增大振幅權(quán)系數(shù)有利于抑振效果,但增大速度權(quán)系數(shù)能更高效地抑制高頻的共振峰值。本文著重于控制器的魯棒性和抗擾能力,系數(shù)a1,a2值的選取問題可參閱相關(guān)文獻(xiàn)。TD,VGESO的仿真參數(shù)如表5所示。

表5 TD、VGESO仿真參數(shù)Tab.5 Simulation parameters of TD and VGESO

令a1=a2并考察權(quán)系數(shù)a1,a2分別為1,50和200時(shí)的控制器效果,如圖7所示。ESO對狀態(tài)模型中非線性部分?jǐn)_動(dòng)觀測則如圖8所示。

圖7 權(quán)系數(shù)分別為1,50,200時(shí)的抑振效果Fig.7 Vibration suppression effect when weighting factors are 1, 50 and 200 respectively

圖8 圖7對應(yīng)的ESO擾動(dòng)估計(jì)值Fig.8 ESO estimate corresponding to Fig.7

由圖7和圖8可知,基于3.3節(jié)的控制律設(shè)計(jì),引入擾動(dòng)補(bǔ)償回路后,LQR控制器和ESO共同發(fā)揮了反饋調(diào)節(jié)功能。LQR控制器主要生成實(shí)現(xiàn)抑振的反饋控制信號,而ESO則對LQR控制器誤差以及擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償,由圖8和接下來的仿真結(jié)果可體現(xiàn)。

由于吸振器實(shí)際物理?xiàng)l件的限制,可通過調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù)在條件限制內(nèi)最大化吸振器的抑振效果,這也是LQR應(yīng)用于動(dòng)力吸振器主動(dòng)控制的優(yōu)勢。對于LQR控制器,增大加權(quán)系數(shù)對抑振效果的改善十分明顯,振動(dòng)衰減時(shí)間分別對應(yīng)降低到了1.56 s和1.16 s。由圖8還可以看到,音圈電機(jī)非線性擾動(dòng)的影響隨著權(quán)系數(shù)的增加而增加,ESO對系統(tǒng)的擾動(dòng)補(bǔ)償量增加,此時(shí)單一的LQR控制器并不能保證原有的抑振效果。

接下來考察加權(quán)系數(shù)為200時(shí),各類擾動(dòng)對系統(tǒng)的影響,包含三種類型的擾動(dòng):①模型參數(shù)誤差;②輸入量的摩擦非線性;③高階模態(tài)擾動(dòng)。

圖9和圖10分別對比了系統(tǒng)存在模型誤差和摩擦死區(qū)時(shí)的LQR和自抗擾LQR的抑振效果。圖9表示等效質(zhì)量參數(shù)偏離+50%(0.5)時(shí),吸振器抑振效果的變化。盡管抑振質(zhì)量比的下降會(huì)使振動(dòng)抑制效果變差,但LQR控制器的不匹配被ESO實(shí)時(shí)估計(jì)并補(bǔ)償,控制器的魯棒性得到提升。圖10則表明摩擦非線性對抑振效果的影響,單一的LQR控制器并不能適應(yīng)吸振器存在摩擦非線性的情況,在摩擦死區(qū)的小區(qū)間內(nèi)對應(yīng)阻尼系數(shù)趨于無窮,吸振器失去抑振效果;而引入本文提出的自抗擾LQR控制器后,吸振器可以很好應(yīng)對摩擦非線性帶來的影響。

圖9 含模型參數(shù)誤差時(shí)的抑振效果Fig.9 Vibration suppression effect with model parameter error

圖10 含摩擦非線性時(shí)的抑振效果Fig.10 Vibration suppression effect with friction nonlinearity

實(shí)際的機(jī)械臂工作條件多變且復(fù)雜,亦存在可以激發(fā)二階模態(tài)之上模態(tài)的外界激勵(lì)。以5sin(105.2t)作為二階模態(tài)擾動(dòng),從圖11～圖13可以考察對比LQR控制器與自抗擾LQR控制器的抑振效果。圖11中的兩個(gè)動(dòng)質(zhì)量的振幅與主振動(dòng)系統(tǒng)的振幅在同一水準(zhǔn),并且兩者之間存在有相位差;而圖12中的兩個(gè)動(dòng)質(zhì)量的振幅明顯增加,柔性桿的振動(dòng)得到明顯抑制,吸振器動(dòng)質(zhì)量之一的振幅增加到原本的253%,柔性桿的振動(dòng)振幅則降低到原來的38.36%?？梢钥吹?二階模態(tài)響應(yīng)的振動(dòng)能量很大程度地被吸振器系統(tǒng)吸收,從頻域的角度則是增加了二重動(dòng)力吸振器的抑振帶寬。抑振帶寬可通過改善觀測器的估計(jì)性能進(jìn)一步提高。圖13則表明VGESO對實(shí)際擾動(dòng)值有著快速且相對準(zhǔn)確的估計(jì)效果,并且“初始微分增益”現(xiàn)象也得到抑制。因此,基于該自抗擾LQR控制器的主動(dòng)式二重動(dòng)力吸振器對二階以上模態(tài)響應(yīng)也將有不錯(cuò)的抑制力。

圖11 對二階模態(tài)響應(yīng)的 抑制能力(LQR)Fig.11 Rejection to second-order modal response(LQR)

圖12 對二階模態(tài)響應(yīng)的 抑制能力(LQRADRC)Fig.12 Rejection to second-order modal response(LQRADRC)

圖13 圖12對應(yīng)的ESO 擾動(dòng)估計(jì)值Fig.13 ESO estimate corresponding to Fig.12

5 結(jié) 論

本文利用音圈電機(jī)作動(dòng)的二重動(dòng)力吸振器對柔性桿端部振動(dòng)進(jìn)行抑制,為克服柔性桿本身容易受擾的問題和用于柔性桿抑振的動(dòng)力吸振器抑振帶寬不足的問題,提出將LQR控制器與自抗擾控制器相結(jié)合的控制方法。首先,基于柔性桿的動(dòng)力學(xué)模型獲得柔性桿的振動(dòng)等效參數(shù)。然后,在分析音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)特性和非線性擾動(dòng)形式的基礎(chǔ)上,獲得抑振模型的狀態(tài)方程表達(dá),最終明確了系統(tǒng)特性和擾動(dòng)因素。利用非線性TD獲得LQR控制器所需的原信號和微分信號,引入VGESO并與LQR結(jié)合,實(shí)現(xiàn)了對模型不確定性、二階以上模態(tài)響應(yīng)以及未知擾動(dòng)進(jìn)行的補(bǔ)償,達(dá)到了良好的抑振效果。該方法對模型參數(shù)的準(zhǔn)確性要求較低,且兼具有包括抑制模態(tài)擾動(dòng)在內(nèi)的強(qiáng)抗擾能力,能夠有效的提高柔性桿振動(dòng)主動(dòng)抑制的魯棒性和控制精度。