劉潤軍

在運用基本不等式求最值時，往往要通過添項、去項、湊系數(shù)、湊分子、常數(shù)代換等方式來配湊出兩式的和、積，并使其中之一為定值.

例1.已知0

解：因為8-2x>0，且2x+8-2x=8，

當且僅當2x=8-2x，即x=2時等號成立，

因此f（x）=x（8-2x）的最大值是8.

檢驗取等號是否成立是解題的必要步驟，若取等號時不等式不成立，就不能用基本不等式求最值，需尋找其他的方法，如利用對勾函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法來解題.

解法2.由x+y=4可得y=4-x，

總之，運用基本不等式求函數(shù)的最值，需要注意：（1）將函數(shù)式進行合理的變形，以配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值；（2）關(guān)注和式、積式的符號，確保各式都大于0；（3）在求得最值后，還需注意檢驗等號成立的條件是否滿足題意.

（作者單位：江蘇省常州市金壇第四中學）

對一道二面角問題的解法的探究

范志君

二面角是指兩個半平面所成的角，通常用二面角的平面角的大小來表示二面角.求解二面角問題主要有兩種思路：（1）利用幾何知識；（2）構(gòu)建空間直角坐標系，利用空間向量知識求解.下面結(jié)合一道例題，探討一下求解二面角問題的思路.

一、幾何法

要求二面角的余弦值，需首先根據(jù)二面角的平面角的定義，過二面角的棱上的一點在兩個半平面內(nèi)分別作兩條射線，則兩個條射線所成的夾角即為二面角的平面角；然后根據(jù)平面角的位置，構(gòu)造三角形，根據(jù)勾股定理、正余弦定理、三角函數(shù)的定義求得平面角的大小.

解：過P作PH垂直AD于點H，連接SH、AC，

因為平面MBD⊥平面ABCD，

所以M點的投影必在線段BD上，

也必在線段PC在底面的投影上.

又因為△PAD是等腰三角形，

且二面角P-AD-C是直二面角，

所以M點在底面的投影是△ACD的重心，

記為點O，連接OM，

作CH⊥DM.因為CN⊥DM，

所以DM⊥平面CNH，

所以NH⊥DM，

所以∠NHC是二面角B-MD-C的平面角.

解答本題，需從二面角的平面角的定義入手，證明CN⊥DM、NH⊥DM，即可根據(jù)平面角的定義確定二面角B-MD-C的平面角；然后添加合適的輔助線，構(gòu)造△PCS、△MCD；再根據(jù)余弦定理、勾股定理求得平面角∠NHC的余弦值.

二、構(gòu)建空間直角坐標系

對于規(guī)則的或容易找出垂直關(guān)系的幾何圖形，通?？筛鶕?jù)幾何圖形的特點建立空間直角坐標系，通過

解法1.取AD的中點O，連接OP，

因為平面PAD⊥平面ABCD，AD為等腰直角三角形PAD的斜邊，

所以O(shè)P⊥平面ABCD，分別以O(shè)D，OP所在的直線為y軸、z軸建立空間直角坐標系，

則P（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，1，0），

因為AB2+AD2=BD2，所以AB⊥AD，

我們根據(jù)條件“二面角P-AD-C是直二面角，AD為等腰直角三角形PAD的斜邊”，添加輔助線OP，即可構(gòu)造出空間直角坐標系.再求得各個點、線段的坐標以及平面的法向量，即可通過空間向量的坐標運算求得問題的答案.

解法2.因為AB2+AD2=BD2，所以AB⊥AD.

連接AC，交BD于N，取AD中點H，連接PH，過點N作PH的平行線，分別以NC，ND所在的直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系，如圖2所示.

我們先根據(jù)AB⊥AD以及二面角P-AD-C是直二面角，來建立垂直關(guān)系；再添加輔助線，即可構(gòu)造出三條互相垂直且交于一點的直線NC、ND、過點N且與PH平行的直線，并將其作為三條坐標軸，從而建立空間直角坐標系，求得兩個半平面的法向量，即可根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求得二面角的余弦值.

相比較而言，幾何法比較常用，只需根據(jù)相關(guān)的定義、定理、性質(zhì)添加合適的輔助線，利用立體幾何知識和平面幾何知識求解.向量法雖然較為簡單，但是解題過程中的運算量較大，同學們需謹慎計算.