謝宏雷

三角形最值問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，通常要求求三角形的某條邊長、某個(gè)角、面積、周長的最值.三角形最值問題側(cè)重于考查三角函數(shù)的定義、正余弦定理、勾股定理、三角形性質(zhì)的應(yīng)用.下面結(jié)合一道例題，談一談解答三角形最值問題的兩個(gè)路徑.

本題看似較為簡單，其實(shí)有些復(fù)雜.由于無法確定D、E的位置以及DE的長度，所以我們很難確定∠ACB的大小.經(jīng)過研究，筆者發(fā)現(xiàn)可通過構(gòu)造三角形的外接圓，利用三角函數(shù)的有界性來求解.

一、構(gòu)造三角形的外接圓

三角形的外接圓的圓心，即外心，是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.在解答三角形最值問題時(shí)，可根據(jù)題意構(gòu)造三角形的外接圓，利用外心的性質(zhì)和圓的性質(zhì)來確定三角形邊、角的最值.對(duì)于本題，我們由“線段AC的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E”，可聯(lián)想到三角形的外接圓，于是構(gòu)造三角形的外接圓，通過研究外接圓的性質(zhì)，確定∠ACB的最大值.

如圖2，作△ABC的外接圓，設(shè)其圓心為O，連接CO，并延長CO到F點(diǎn)，使其與圓交于F點(diǎn)，連接AF，BF，設(shè)AD=DC=a，圓O的半徑為r，∠BAC=α.

因?yàn)椤螦BC=60°，

所以∠ACB=180°-60°-∠BAC=120°-α，

在Rt△BCF中，∠BFC=∠BAC=α，∠CBF=90°，

所以BC=CF·sinα，即4=2rsinα②.

在△ABC中，由正弦定理得AC=2rsin60°，

即2a=2rsin60°③.

由①②③得a=45°，所以∠ACB的最大值為75°.

在構(gòu)造出三角形的外接圓后，通常既要靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)，如同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，弦心距垂直于弦等性質(zhì)來確定三角形邊、角的最值，還要用正余弦定理、勾股定理來建立邊角的關(guān)系式.

二、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在解答三角形最值問題時(shí)，我們往往要先根據(jù)題意設(shè)出三角形中未知的角、邊；然后利用正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義建立關(guān)于邊角的關(guān)系式，并進(jìn)行邊角互化，將目標(biāo)式用只含有邊、角的式子表示出來；再通過三角恒等變換將目標(biāo)式化簡，即可運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得目標(biāo)式的最值.

解法1.設(shè)AD=DC=a，∠BCA=α，

則∠BAC=120°-α，

過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，過D作DE∥BF，以D為原點(diǎn)、AC為x軸、DF為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3所示，

所以α-30°≤45°，α≤75°，

所以∠ACB的最大值為75°.

我們先根據(jù)三角形的特征建立平面直角坐標(biāo)系；然后求得各個(gè)點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，以及各條線段的長，即可根據(jù)正弦定理、相似三角形的性質(zhì)建立邊角關(guān)系式，從而得到關(guān)于角α的三角函數(shù)式；再對(duì)其化簡，就能根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性順利求得角α的最值.

解法2.過點(diǎn)D作DE⊥AC，以D為原點(diǎn)，AC為x軸，DE為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3所示.設(shè)AD=DC=a，∠BCA=α，則∠BAC=120°-α.

可得A（a，0），C（-a，0），B（4cosα-a，4sinα），

下同解法1.

解法1與解法2較為相似，都是通過建立直角坐標(biāo)系，求得目標(biāo)式的表達(dá)式，運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最值.不同的是，解法2是根據(jù)直線的方程來求得線段DE的表達(dá)式，從而得到目標(biāo)式.可見，三角函數(shù)的性質(zhì)是求解三角形最值問題的重要工具.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要注意將問題與角、三角函數(shù)的性質(zhì)關(guān)聯(lián)起來.

總之，解答三角形最值問題，要注意：（1）靈活運(yùn)用正余弦定理、三角函數(shù)的定義、向量、直線的方程等來建立邊角關(guān)系；（2）注意挖掘三角形中關(guān)于邊、角的隱含條件；（3）學(xué)會(huì)運(yùn)用發(fā)散性思維，將問題與解三角形、三角函數(shù)、圓、直線的方程等知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，以尋找到不同的解題思路.