■江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校 龔 瑜 韓文美

圓錐曲線中的直線或曲線的定點問題,是圓錐曲線考題的一個重要內(nèi)容,也是每年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個熱點與難點,?？汲Ｐ?數(shù)學(xué)運算量大,邏輯推理復(fù)雜,難度往往比較高,有比較好的選拔性與區(qū)分度,備受命題者關(guān)注。

此類定點問題,以動點、動直線等“動”態(tài)變化為問題場景,從“動”中尋找“靜”的狀態(tài),圍繞定點加以運動與變化,命題新穎,知識交匯性強,思想方法融合度高,解題思路變化多端,給同學(xué)們以更多層次的思維視角與機會,充分考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)基本能力。

1.真題呈現(xiàn)

高考真題:(2023 年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第20 題)已知橢圓b>0)的離心率為,點A(-2,0)在橢圓C上。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點。

分析:這道平面解析幾何問題,設(shè)問比較常規(guī),雖然說是在極點、極線背景下的問題,卻沒有落入套路,需要踏踏實實地進行邏輯推理與數(shù)學(xué)運算。它考查了平面解析幾何的基本思想和基本方法,對同學(xué)們的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等方面能力要求很高。

這道題目可以很好地區(qū)分學(xué)生,選拔性強。特別涉及平面解析幾何中的定點問題,作為高考考查的一個熱點,有很多好的技巧方法和基本性質(zhì)等值得探究、推廣與拓展。

2.真題破解

所以橢圓C的方程為

(2)方法1(設(shè)線法——設(shè)而不求)

要使過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,則直線PQ的斜率存在且小于0。

設(shè)直線PQ的方程為y=k(x+2)+3,k<0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)。

則Δ=(16k2+24k)2-4(4k2+9)·(16k2+48k)=-1 728k>0。

而直線AP的方程為

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:設(shè)線法是解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中最為常用的一種方法,借助直線斜率這一參數(shù)的引入,構(gòu)建相應(yīng)的直線方程,直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立,消參轉(zhuǎn)化為方程問題,再結(jié)合韋達定理確定兩交點的坐標(biāo)之間的關(guān)系式,為進一步的分析與求解奠定基礎(chǔ)。設(shè)線法往往可以達到設(shè)而不求的效果,優(yōu)化數(shù)學(xué)運算與邏輯推理過程,關(guān)鍵是正確的數(shù)學(xué)運算與關(guān)系式變形。

方法2(設(shè)點法——優(yōu)化過程)

設(shè)M(0,m),N(0,n),B(-2,3)。

整理得(m+n)(m-n)=6(m-n)。

由于P,Q兩點不重合,即m≠n,所以m+n=6。

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:設(shè)點法往往也是解決此類直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的一種常用技巧方法,而這里引入直線在y軸上的截距,利用直線的截距式方程,處理問題時簡單快捷。設(shè)點法要抓住問題的本質(zhì),從一些關(guān)鍵點坐標(biāo)的設(shè)置來合理貫穿整個解題過程,使得設(shè)點的用處更加合理巧妙,對優(yōu)化解題過程往往起到至關(guān)重要的作用。

方法3(平移法——簡化運算)

要使過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,則直線PQ的斜率存在且小于0。

設(shè)直線PQ的方程為y=k(x+2)+3,k<0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)。

則Δ=(24k-36)2-4(4k2+9)×36=-1 728k>0。

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:借助設(shè)線法的應(yīng)用,合理進行平移法的平移處理,巧妙將x+2作為一個整體來看待,可以很好地優(yōu)化解題過程,簡化數(shù)學(xué)運算,這也是處理平面解析幾何繁雜運算問題中比較常見的技巧方法與思維方式。平移法對于整體化思維要求比較高,同時要注意整體的選取,以及數(shù)學(xué)運算過程中的變形與應(yīng)用。

方法4(方程法——參數(shù)同構(gòu))

題中直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,可設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2),k≠0。此時令x=0,可得M(0,2k)。

則Δ=(16k2)2-4(4k2+9)(16k2-36)=1 296>0,

由xA=-2,可得

因此,P點坐標(biāo)為

又設(shè)直線PQ的方程為y=t(x+2)+3,將點P的坐標(biāo)代入并化簡可得12k2-36k+36t+27=0。

設(shè)直線AQ的方程為y=m(x+2),m≠0。此時令x=0,可得N(0,2m)。

同理可得12m2-36m+36t+27=0。

那么k與m是方程12x2-36x+36t+27=0的兩個根,故k+m=3。

所以2k+2m=6,即線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:方程法的解題目標(biāo)是同構(gòu)對應(yīng)的點M,N,利用兩者所在直線的斜率之和為定值,巧妙利用直線的設(shè)置以及類比思維,轉(zhuǎn)化為兩條直線的斜率均滿足對應(yīng)的二次方程,思維巧妙,在競賽及一些相關(guān)的應(yīng)用中經(jīng)常用到。方程法的處理可以方便問題的進一步推廣與拓展,能起到事半功倍的良好效果。

方法5(特殊點法——先猜后證)

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN),R(-2,3)。

選取特殊情況,當(dāng)直線PQ過原點時,PQ的方程為

則線段MN的中點為定點(0,3)。

如果線段MN的中點為定點,那么只能是定點(0,3)。

下面證明:當(dāng)線段MN的中點為定點(0,3)時,R,P,Q三點共線。

因此kRP=kRQ,則知R,P,Q三點共線。

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:特殊點法是逆推思維中通過先猜定點再證明的解題思維來分析與解決問題。這種解題思維在一定程度上比較吻合思維過程,從思路上更加容易一點,先由特殊情況探尋定點的存在性,再加以相應(yīng)的推理與證明,保證解答的嚴(yán)謹(jǐn)性。當(dāng)然如果此類問題出現(xiàn)在選擇題或填空題中,往往只要確定了相應(yīng)的定點后,證明就可以不去考慮。

3.推廣歸納

通過以上高考真題的解析與應(yīng)用,可以將問題推廣到更為一般性的結(jié)果,加以合理地歸納與應(yīng)用。

該結(jié)論的證明與推理過程,可參照以上高考真題的解析過程加以一般性證明,這里不多加以敘述。

4.學(xué)習(xí)總結(jié)

4.1平面解析幾何中定點問題的解法歸納

(1)直接法——一般推理,特殊求解。

抓住題設(shè)條件,合理引參,主要是通過設(shè)點或設(shè)線等,通過直線方程與圓錐曲線方程的聯(lián)立,構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,結(jié)合題設(shè)條件進行合理的邏輯推理或數(shù)學(xué)運算,合理消參并結(jié)合參數(shù)的任意性來確定對應(yīng)的定點問題,從而確定定點。

(2)逆推法——特殊探路,一般證明。

抓住題設(shè)條件,先從特殊情境、特殊位置入手,探尋定點坐標(biāo),逆向思維,將定點已知化,結(jié)合其他的題設(shè)條件加以合理推理與運算。這里“特殊探路”是探尋目標(biāo)所在,“一般證明”是完備證明過程,這是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的根本所在,在解答題中兩者缺一不可,在選擇題或填空題中可不必去證明。

4.2“動”與“靜”結(jié)合,“幾何”與“代數(shù)”融合

圓錐曲線的定值(或定點、定直線等)與最值(或取值范圍等)問題,是高考中的基本題型與熱點問題之一,其實質(zhì)充分體現(xiàn)了平面解析幾何中“動”與“靜”的完美統(tǒng)一,“幾何”與“代數(shù)”的深度融合,是知識的交匯與融合,很好地考查同學(xué)們的“四基”與數(shù)學(xué)基本能力等,也是備受命題者、與同學(xué)們關(guān)注的熱點與焦點之一,在學(xué)習(xí)中要多加重視與應(yīng)用。