一、單選題

1.D

2.D

3.C 提示:當(dāng)a=1 時(shí),直線l1:x+2y-8=0與直線l2:x+2y+4=0 平行,所以充分性成立。

因?yàn)橹本€l1:ax+2y-8=0與直線l2:x+ (a+ 1)y+ 4 = 0 平 行,所 以解得a=1,必要性成立。

所以“a=1”是“直線l1:ax+2y-8=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行” 的充分必要條件。

4.A 提示:取過(guò)橢圓長(zhǎng)軸與圓柱的軸所在的截面,如圖1 所示。設(shè)圓柱的底面半徑為r,可知截面為直角梯形ABCD。

圖1

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,由題意可知,橢圓的短軸長(zhǎng)為2b=2r,則b=r。

“切面”所在平面與底面所成的角等于∠CDE=30°,所以,

因此,該橢圓的離心率

5.C 提示:如圖2,取C1在下底面的投影C,作CD⊥AB,垂足為D。

圖2

連接CA,CO,CC1,則在上的投影向量是。

7.C 提示:設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為2a1,雙曲線實(shí)軸為2a2,由題意可知|F1F2|=|F2P|=2c。

又因|F1P|+|F2P|=2a1,|F1P|-|F2P|=2a2,故|F1P|+2c=2a1,|F1P|-2c=2a2。

兩式相減,可得a1-a2=2c。

整理得(x-4)2+y2=12,記為圓M。

因圓A:(x+2)2+y2=16 與圓M相交,故滿足|PA|=|AB|=4的點(diǎn)P有2個(gè)。

因圓B:(x-2)2+y2=16 與圓M相交,故滿足|PB|=|AB|=4的點(diǎn)P有2個(gè)。

因此,使△PAB為等腰三角形的點(diǎn)P共有4個(gè)。

二、多選題

9.BC 提示:對(duì)于A,a⊥b,b⊥c,不能得出a⊥c,也可能是a、c相交不一定垂直,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。

對(duì)于B,假設(shè)向量a+b,b+c,c+a共面,則a+b=x(b+c)+y(c+a),x、y∈R。

化簡(jiǎn)得(x+y)c=(1-x)b+(1-y)a,所以a、b、c共面,這與已知矛盾,所以選項(xiàng)B正確。

對(duì)于C,根據(jù)空間向量基本定理知,對(duì)空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,選項(xiàng)C正確。

對(duì)于D,因?yàn)閧a,b,c} 是空間一個(gè)基底,所以a與b、c不共面,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。

三、填空題

13.2或6

圖4

當(dāng)y=0時(shí),x=1,則A(1,0);

當(dāng)x=0時(shí),y=2,則B(0,2)。

當(dāng)直線t=x+y過(guò)A(1,0)時(shí),t=1;

當(dāng)直線t=x+y過(guò)B(0,2)時(shí),t=2。

所以t>1。

四、解答題

因?yàn)榱庑蜛BCD對(duì)角線互相垂直且互相平分,所以頂點(diǎn)B、D所在直線方程的斜率為

又因?yàn)?0,5)在直線BD上,所以頂點(diǎn)B、D所在直線方程為y-5=x,即x-y+5=0。

(2)直線AC,即x+y-5=0。由(1)知,頂點(diǎn)B、D所在直線方程為x-y+5=0,所以可設(shè)B(m,m+5)。

則點(diǎn)B到直線AC的距離為,解得m=±6。

因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)小于零,所以m=-6,即B(-6,-1)。

同理可求得D(6,11)。

18.(1)設(shè)經(jīng)過(guò)A,B,D三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2。

將A,B,D三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入(x-a)2+(y-b)2=r2,得

將C(3,5)代入上面方程,式子也成立。

所以A,B,C,D四點(diǎn)共圓。

過(guò)A,B,C,D四點(diǎn)的圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=5。

(2)根據(jù)光的反射原理,作與點(diǎn)M(-3,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)M1(-3,-2),從M點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)x軸反射后,反射光線所在直線就是由M1向圓O1所作的兩條切線所在的直線。

由題可知☉O1:(x-2)2+(y-3)2=5。

則切線的斜率一定存在,設(shè)切線方程為y+2=k(x+3),即kx-y+3k-2=0。

所以反射光線所在直線的方程為y+2)或y+2=2(x+3),即x-2y-1=0或2x-y+4=0。

選②。

因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是,所以p=2,拋物線C的方程為y2=4x。

選③。

因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px(p>0)的通徑是2p,所以2p=4,即p=2,拋物線C的方程為y2=4x。

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。

21.(1)已知AB//CD,CD?平面PCD,且AB?平面PCD,所以AB//平面PCD。

又AB?平 面PAB,平 面PAB∩平 面PCD=l,所以AB//l。

(2)已知△ABC是正三角形,E是BC中點(diǎn),所以AE⊥BC。而BC//AD,所以AE⊥AD。又PA⊥平面ABCD,故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AE,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系。

圖5

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量是n=(x,y,z),則: