段志宏,王志永,張 竹,張 宇

(中南林業(yè)科技大學機電工程學院,長沙 410004)

0 引言

弧齒錐齒輪是現代機械傳動領域中的關鍵零件,在弧齒錐齒輪制造過程中因機床誤差、熱變形等不可控因素,會使得實際齒面與理論齒面之間產生偏差,即齒面誤差,傳統(tǒng)上采用比例修正的方法來調整齒面的形狀,以消除齒面誤差的影響。隨著精密測量技術的發(fā)展,利用齒輪測量中心或者三坐標測量機對齒面進行測量,獲取齒面的齒面誤差,通過修正機床調整參數和刀具參數等實現對弧齒錐齒輪齒面幾何精度的控制成為了當前齒面誤差修正技術的主流。

針對齒面形狀控制的研究,李麗霞[1]研究了機床調整誤差對弧齒錐齒輪齒面幾何精度的影響;曹康[2]對螺旋錐齒輪精確幾何建模與齒面誤差反調修正進行了研究;王志永等[3]針對機床誤差對螺旋錐齒輪齒形的影響規(guī)律進行了研究,并通過實驗驗證了分析結果的正確性;唐進元等[4]就機床調整參數誤差對小輪齒面誤差影響的規(guī)律進行了理論研究;聶少武等[5]借助二階曲面對齒面偏差拓撲的近似表達,將齒面拓撲修形分解成5個方向,并建立了對應的修正數學模型,反求出了修形齒面的小輪加工參數;張宇等[6]研究了螺旋運動及刀具參數對雙重螺旋法加工齒面特征的影響規(guī)律;吳聰等[7]研究了機床調整參數誤差對雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪小輪齒面誤差的影響規(guī)律;耿龍龍等[8]基于弧齒錐齒輪雙重螺旋法加工數學模型,分析了各項加工參數誤差對齒面拓撲結構的影響程度。

目前,國內主流數控弧齒錐齒輪加工機床普遍具備高階運動的功能,包括滾比修正、螺旋運動修正、垂直運動修正等。但在實際切齒加工計算時只計算出基本調整參數和一階螺旋運動系數,并未用到其他高階運動系數,未能發(fā)揮數控機床的萬能運動特性。且在實際加工弧齒錐齒輪過程中,操作人員在調整齒輪副的接觸區(qū)時,并不清楚機床調整參數中的高階運動系數對齒面拓撲形狀的影響規(guī)律,因此無法充分運用高階運動系數來實現對齒面形狀的調整?，F有文獻中均未對一至六階螺旋運動系數對弧齒錐齒輪齒面形狀的影響進行研究。

論文針對國內加工現狀,探究一至六階螺旋運動系數對弧齒錐齒輪齒面形狀的影響規(guī)律,進一步為弧齒錐齒輪實際加工過程中的齒面調整提供理論依據,合理利用機床的萬能運動特性。

1 齒面數學建模

弧齒錐齒輪的齒面幾何形狀是由刀具和齒坯在實際加工中的復雜相對運動和相對位置決定的。以左旋齒輪為例,左旋齒輪在機床調整位置時的情況如圖1所示。在坐標系σ={O;i;j;k}中,O是機床的中心,i、j、k分別為坐標軸正方向的單位矢量,i-j平面是機床平面,k的正方向指向搖臺體內,Oc為刀尖平面與刀盤軸線的交點,O1為設計時的交叉點,b為刀盤軸線在機床平面內的投影,c為刀盤軸線的單位矢量,Em為垂直輪位,S為徑向刀位,q為角向刀位,矢量p為工件的軸線,XB為床位,Xp為水平輪位修正量,δm為輪坯安裝角。

圖1 左旋齒輪加工坐標系

在文獻[9]中,采用矢量運算的方式,建立了刀盤圓錐切削面上任意一點M的法矢n、M點沿圓錐母線方向的單位矢量t、M點以機床中心O為原點的矢量方程r和M點以齒輪的設計交叉點O1為原點的矢量方程rc。由矢量方程r所確定的刀具切削面是以搖臺角q和刀盤的相位角θ為參變量的復雜運動曲面,被加工齒面與刀盤的切削面是共軛曲面,根據產形輪與齒輪之間的相對運動關系,引入一至六階螺旋運動系數,此時工件的床位為:

(1)

工件沿產形輪軸線方向的速度為:

(2)

式中:XB0為齒輪處于調整位置時的床位,H1、H2、…、H6為一到六階螺旋運動系數。

由嚙合方程可以求得齒面上的點與M點共軛接觸時的q、θ以及工件的轉角φ。從而求得工件在調整位置時齒面上的點以O1為原點的徑矢rw及其法矢nw:

rw=(prc)p+cosφ(p×rc)×p+sinφ(p×rc)

(3)

nw=(pn)p+cosφ(p×n)×p+sinφ(p×n)

(4)

2 齒面離散點參數的計算

計算理論齒面離散點空間坐標及其法矢[10]是進行齒面誤差測量和齒面形狀分析的前提條件,同時也是實現弧齒錐齒輪數字化制造的關鍵環(huán)節(jié)之一?；↓X錐齒輪的齒面屬于復雜的空間曲面,其齒面精度和齒面誤差的測量更為困難,通常采用對齒面進行離散化處理的方法,即在弧齒錐齒輪理論齒面的旋轉投影面上規(guī)劃一定的測量網格,對齒面進行逐點測量。為了完整全面的反映齒面的形狀特征,所有的網格點都應與實際齒面上的點一一對應,通常在齒高方向取5行,在齒長方向取9列,共計45個離散點。

根據AGMA標準[11],劃分網格點時要對整個齒面進行一定的收縮,以避開齒根和齒頂以及輪齒大小端的圓角和倒角。通常在輪齒兩側大小端各收縮齒寬的10%,在齒根和齒頂位置,兩端各收縮全齒高的5%且不能少于0.6 mm。設定收縮量之后再根據網格點數將收縮之后的齒面沿各邊界等距劃分,如圖2所示。

圖2 軸截面上的齒面離散點

此后再根據齒坯參數以及收縮后的齒面網格,就可以計算出各離散點在以交叉點O1為原點的坐標系中的坐標值(x(i,j),y(i,j)),其中i=1～9,j=1～5。

如圖2所示,設齒面上的M點沿齒輪軸線到O1的距離為x,到齒輪軸線p的距離為y,則有:

y=|rw×p|

(5)

x=-rw·p

(6)

式中:x、y是q和θ的函數,給定了q和θ的值,再根據式(5)和式(6)就能求得x、y的值。如果給定了齒面上離散點的坐標值,就可以利用二元迭代的方法求解其對應的q和θ,隨后再利用式(3)、式(4)進而求得理論齒面上對應每一個離散點的徑矢rw和法矢nw,此后再經過一次坐標變化,即可將其轉換到測量坐標系中,利用三坐標測量機或者齒輪測量中心就可以根據齒面離散點的空間坐標和法矢進行實際齒面的齒面誤差的測量。

3 齒形改變量的計算

齒輪測量中心在測量弧齒錐齒輪時,測量路徑的規(guī)劃通常以齒面的中心為參考點,然后沿理論齒面的法矢方向接近測量點,以“S”形的路徑分別對大端和小端進行測量。再通過軟件的處理,就可以得到齒面上各個離散點對應的齒面誤差,繪制出實際齒面相對于理論齒面的齒面誤差改變拓撲圖。

以工廠實際生產的某弧齒錐齒輪小輪為例(采用雙重螺旋法加工),分析各階螺旋運動系數對齒面形狀的影響規(guī)律。齒輪副的基本參數如表1所示,加工齒輪的機床調整參數和刀具參數如表2所示。

表1 齒輪副的基本參數

表2 機床調整參數

為了分析一至六階螺旋運動系數對齒面形狀的影響規(guī)律,假定一至六階螺旋運動系數的改變量依次為:+0.2、+2、+20、+200、+2000、+20000。利用VB編制齒形分析軟件,對每個改變量進行齒面誤差計算并繪制齒面誤差改變拓撲圖。

計算分析結果如圖3所示,圖中粗實線表示理論齒面,細實線表示理論齒面低于實際齒面,細虛線表示理論齒面高于實際齒面,在齒輪凹凸兩面的4個角點標有實際齒面在該點處相對于理論齒面的齒面誤差值,誤差值單位為μm。

(a) 一階螺旋運動系數改變+0.2 (b) 二階螺旋運動系數改變+2

(c) 三階螺旋運動系數改變+20 (d) 四階螺旋運動系數改變+200

(e) 五階螺旋運動系數改變+2000(f) 六階螺旋運動系數改變+20000

4 螺旋運動系數對齒形的影響規(guī)律

在實際加工弧齒錐齒輪的過程中,為了指導操作人員根據滾動檢查機的對滾結果,通過改變機床調整參數的方式,對齒輪副嚙合區(qū)的大小、位置和方向進行精確的調整。不同的機床調整參數對齒面形狀的敏感性和影響規(guī)律各不相同,將齒面誤差對各階螺旋運動系數的變化趨勢分解為5個誤差敏感系數。為了分析各加工參數改變量對齒面誤差的影響程度,將齒面誤差表示為二階曲面的形式,如圖4所示。

圖4 齒面誤差二階曲面

圖4中坐標系原點與齒面網格中點重合,齒長方向為X,齒高方向為Y,Z為齒面誤差,用二階曲面近似的表達齒面誤差拓撲圖,其表達式為:

Z=a1X+a2Y+a3XY+a4X2+a5Y2

(7)

式中:一階系數a1、a2是對齒面傾斜角度的表達,a1為螺旋角誤差敏感系數,影響齒長方向接觸區(qū)的位置;a2為壓力角誤差敏感系數,影響齒高方向接觸區(qū)的位置;二階系數a3、a4、a5是對實際齒面彎曲程度的表達,a3為齒面撓率誤差敏感系數,影響齒面接觸區(qū)的對角程度;a4為齒長曲率誤差敏感系數,影響齒長方向接觸區(qū)的長短;a5為齒高曲率誤差敏感系數,影響齒高方向接觸區(qū)的寬窄。

將齒面網格上任意一點的齒面誤差用矩陣表示為:

(8)

可化簡為:

{Z}=[S]·{a}

(9)

式中:下標m為離散點個數,Z為齒面每個離散點對應的齒面誤差,矩陣S為誤差矩陣,其中數值由離散點的坐標確定,詳細推導過程見文獻[7]。每改變一項機床調整參數,與之對應的齒面誤差Z也會隨之發(fā)生改變,根據離散點坐標,可求得每個機床調整參數對應的誤差敏感系數。式(9)為靜定方程組,利用最小二乘法可求得其最小二乘解,即:

{a}=([S]T[S])-1[S]T

(10)

以上述齒輪副為例,分別計算小輪在各階螺旋運動系數改變下凹凸兩面齒面誤差對應的誤差敏感系數。計算結果如表3和表4所示。

表3 小輪凹面各階螺旋運動系數的誤差敏感系數

表4 小輪凸面各階螺旋運動系數的誤差敏感系數

誤差敏感系數越大,則與之對應的各階螺旋運動系數改變量對齒面形狀的影響越大,結合圖3對表3、表4的計算結果進行分析可知:

(1)螺旋運動系數對齒面的作用在于進行對角修形,且對凹面和凸面的影響程度不同,對凸面的影響明顯大于對凹面的影響,對齒面的大小端比對齒面中部的影響更大。

(2)輪齒凹面的變化較為規(guī)律,改變一階、三階、五階螺旋運動系數時的變化趨勢相同,小端齒頂的實際齒面低于理論齒面,大端齒根的實際齒面高于理論齒面;改變二階、四階、六階螺旋運動系數時的變化趨勢相同,小端齒頂的實際齒面高于理論齒面,大端齒根的實際齒面低于理論齒面。

(3)輪齒凸面的大端齒頂在各階螺旋運動系數改變時均高于理論齒面;改變一階、三階、五階螺旋運動系數時的變化趨勢相同,小端齒根的實際齒面低于理論齒面;改變二階、四階、六階螺旋運動系數時,小端齒根的實際齒面高于理論齒面。

(4)輪齒凹面,各階螺旋運動系數均對壓力角影響最大,對齒高方向曲率影響最小;輪齒凸面,一階螺旋運動對螺旋角影響最大,對齒高方向曲率影響最小,二階到六階螺旋運動對壓力角影響最大,對齒長方向曲率影響最小。

為了驗證論文分析結果的正確性,在H350GH數控螺旋錐齒輪磨齒機上,根據各階螺旋運動的改變量進行了磨削試驗,如圖5所示。利用齒輪測量中心進行了齒面誤差檢測,如圖6所示。檢測結果與論文分析得到的結果基本一致,微小差別是由于加工誤差與測量誤差引起。因篇幅受限,論文僅列出二階螺旋運動系數改變+2時的檢測結果,如圖7所示。

圖5 H350GH數控螺旋錐齒輪磨齒機磨削實驗齒輪 圖6 齒輪測量中心檢測實驗齒輪

圖7 實驗測量結果(二階螺旋運動系數改變+2)

5 結束語

本文在已有研究成果的基礎上,建立了包含一至六階螺旋運動系數的齒面數學模型,并基于數學模型探究了各階螺旋運動系數對弧齒錐齒輪齒形的影響規(guī)律,得出以下結論:

(1)螺旋運動系數主要用于對角修形,其對輪齒凸面的影響明顯大于對凹面的影響,對齒面的大小端比對齒面中部的影響更大。

(2)實驗結果驗證了齒面數學模型和軟件分析的齒面誤差拓撲圖的正確性,為弧齒錐齒輪實際加工過程中接觸區(qū)的調整和齒面誤差的補償提供了理論依據。