王盈余,管聲啟,于資江

(西安工程大學(xué)機電工程學(xué)院,西安 710048)

0 引言

在現(xiàn)代運動控制技術(shù)中,運動平臺是不可或缺的基礎(chǔ)實驗設(shè)備。目前,高平穩(wěn)性、高柔性的精密運動平臺已經(jīng)成為微型裝配、半導(dǎo)體光刻、精密測量等等應(yīng)用的基礎(chǔ),其各項指標(biāo)也是衡量我國科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個重要標(biāo)志[1-2]。對于開環(huán)的運動平臺控制系統(tǒng),其運動精度和加減速控制算法的好壞息息相關(guān),通過加減速控制算法避免在運動平臺啟動和停止時發(fā)生沖擊以及震蕩,從而可提高運動平臺的運動精度。因此,加減速算法的性能對于運動平臺的精度是至關(guān)重要的[3]。

傳統(tǒng)S型加減速算法也是比較常用的一種加減速控制算法,但其Jerk曲線存在突變,加速度曲線不光滑[4]。針對S型加減速算法,李哲等[5]將S型加減速算法應(yīng)用在3D打印機中,把傳統(tǒng)的7段S型加減速算法改進為5段加減速算法,有效的減少了打印過程中所存在的柔性沖擊,但缺少了速度銜接點處的分析;趙翔宇等[6]提出了基于三次S曲線的加減速算法,簡化了計算量,但是其勻速階段的開始和結(jié)束階段還是存在階躍突變;李金良等[7]在四自由度機器人應(yīng)用中提出了一種加減速控制算法,為進一步對沖壓機器人進行相關(guān)動力學(xué)分析和參數(shù)優(yōu)化提供參考,但是其加加速度曲線并不連續(xù),還是存在突變;游達章等[8]提出了一種新的四次S型加減速控制算法,有效的減少了加工時間,降低了柔性沖擊,但是其將傳統(tǒng)的七段S型加減速擴充至11段,計算繁瑣復(fù)雜,不適合在內(nèi)存有限的嵌入式系統(tǒng)應(yīng)用。

綜上所述,本文以正弦函數(shù)為基礎(chǔ),構(gòu)造Jerk曲線,應(yīng)用切夫雪比多項式逼近正弦函數(shù),進而獲得完整的加減速算法,并根據(jù)基礎(chǔ)的方程進一步推導(dǎo)出各階段具體的時間規(guī)劃,給出針對各種情況的具體速度規(guī)劃,最后通過仿真驗證了本文所改進算法的有效性。

1 改進S型加減速Jerk曲線的構(gòu)造

三角函數(shù)具有良好的柔性度,在本文的改進S型加減速算法中,將正弦曲線引入加減速算法的Jerk曲線中,其加速度函數(shù)為:

(1)

式中:T為加速度加速時間,式(1)在t=T/2處取得最大加加速度值Jmax。

但是由于嵌入式系統(tǒng)內(nèi)存有限中,對于三角函數(shù)的計算比較復(fù)雜,不適合滿足實時的計算的要求,所以,本文采用切比雪夫多項式,對于正弦函數(shù)進行逼近,以此來減少嵌入式系統(tǒng)的運算量。

若令:

(2)

將式(2)代入式(1),可得:

j(x)=-Jmaxsin(πx)

(3)

此時使用切夫雪比多項式對sin(πx)進行逼近,且階數(shù)取至4階,可得到:

(4)

為了使加加速階段的Jerk曲線更具有對稱性,對上式關(guān)于t=T/2對稱,可得到:

(5)

將式(4)和式(5)相加后便可得到[0,T]區(qū)間內(nèi)的Jerk曲線方程:

(6)

式中:k為待定系數(shù),并且在[0,T],滿足j(t)≤Jmax,得到的Jerk曲線如圖1所示。由于在t=T/2處時,取得最大加加速度Jmax,由此可得出待定系數(shù)|k|=4Jmax[9]。

圖1 Jerk曲線圖

2 改進S型加減速算法

將通過切比雪夫多項式逼近的正弦曲線引入Jerk曲線,采用類似于傳統(tǒng)S型加減速的七段控制特點,可得到本文中所提出的改進后的加減速曲線的加速度方程、速度方程和位移方程的七段表達式。

Jerk曲線方程:

(7)

加速度曲線方程:

(8)

速度曲線方程:

(9)

位移曲線方程:

(10)

式中:vs是電機運行的初始速度,ve是電機運行的末速度,vm是電機運行的最大速度,am為最大加速度,dm為最大減速度,vi(i=1,2,3,4,5,6)是本文提出的改進算法每個階段的初始速度,si(i=1,2,3,4,5,6,7)是每個階段的初始位置,τi(i=1,2,3,4,5,6,7)是每個階段初始時間為零的局部時間,Ti(i=1,2,3,4,5,6,7)為每個階段運行時的總時間。

在得出改進S型加減速的加加速度、加速度、速度和位移的曲線方程后,就需要根據(jù)不同的運動參數(shù),做出不同的加減速規(guī)劃,總的規(guī)劃流程如圖2所示。

圖2 改進S型加減速算法規(guī)劃流程圖

根據(jù)改進的S型加減速曲線可知,在加速度段,必然存在一個加速度增加段和一個加速度遞減段,且兩個過程所需時間相同。同時,在減速度過程中,同樣存在一個遞增的減速段和一個遞減的減速段,其所需時間也是相同的。由此,可根據(jù)是否可以達到最大速度vm以及最大速度的大小推斷出加速段和減速段中各個階段所需的具體時間。也可根據(jù)是否存在勻速段的位移,判斷出是否存在勻速段。

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)上述原理,計算出了加速階段和減速階段的具體的時間規(guī)劃。由此,便可計算出不包含勻速階段的參考位移M。

(15)

假設(shè)實際位移為S,當(dāng)S≥M時,則存在一個勻速階段,勻速階段時間可由下式推出:

T4=(S-M)/vm

(16)

如果S

(1)CASE1:此時ve≤vs

(17)

若實際位移S>M1&S≤M,則必然存在勻加速階段,在該情況下每個階段所需的具體時間為:

(18)

最大速度vm可由式(15)和式(18)解出,最大速度公式為:

(19)

當(dāng)|S-M1|

(20)

最大速度vm可通過式(19)解出,方法同上,此時最大速度vm為:

(21)

當(dāng)S

(22)

在該情況下,由于實際位移S過小,最大加速度將隨實際位移S發(fā)生改變:

(23)

(2)CASE2:此時vs

(24)

與CASE1同理,將實際位移S與參考位移M2大小進行對比,分3種情況討論,便可計算得出在每種情況下各個階段所需具體時間,并可求解出在實際位移不足情況下,在當(dāng)前位移下自由加速所能到達的最大速度vm,由此便可完成該情況下的加減速算法規(guī)劃。

3 改進“S”加減速算法仿真分析

在采用本文所改進的加減速算法進行運動控制時,需根據(jù)所應(yīng)用的實際情況,給出確定的運動控制參數(shù)。本文通過MATLAB編程環(huán)境,對不同初始參數(shù)的加減速曲線進行了仿真。

為了比較本所設(shè)設(shè)計算法相對于傳統(tǒng)S型加減速算法的優(yōu)勢,設(shè)計了以下參數(shù)下的對比實驗:vs=0 mm/s,ve=0 mm/s,am=20 mm/s2,dm=20 mm/s2,Jmax=3 mm/s3,實際位移S=16 mm。

在該實驗中,存在勻速階段、勻加速階段以及勻減速階段。其速度、加速度、加加速度曲線如圖3所示。

(a) Jerk曲線

(b) 加速度曲線 (c) 速度曲線

通過圖3可知,在該仿真參數(shù)下,傳統(tǒng)S型加減速加加速度曲線存在階躍變化,會導(dǎo)致在加加速度轉(zhuǎn)換點出現(xiàn)柔性沖擊,造成電機運行不穩(wěn)定,影響高精度運動平臺的運動精度以及平穩(wěn)性。并且傳統(tǒng)S型加減速加速度曲線不光滑,限制了高精度運動平臺的柔性控制。本文所改進的加減速算法加加速度曲線連續(xù),加速度曲線光滑,速度曲線在加加速階段、加減速階段、減加速階段、減減速階段相對于傳統(tǒng)S型曲線更加光滑,進而提高了高精度運動平臺的控制穩(wěn)定性。

在根據(jù)本文提出的加減速控制算法進行運動控制時,還需根據(jù)初始條件,計算出加減速各個階段具體的時間規(guī)劃。根據(jù)算法特性,給出了4組比較有代表性的參數(shù),進行仿真驗證。為了使驗證具有可比性,在4組仿真實驗中,最大加加速度Jmax=3 mm/s3,最大加速度am=20 mm/s2,最大減速度為dm=20 mm/s2。

(1)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=200 mm/s,ve=0 mm/s,S=12 mm,在該參數(shù)下,實際位移|S-M1|

(a) 速度曲線圖 (b) 加速度曲線圖

(2)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=100 mm/s,ve=0 mm/s,S=12.25 mm,在該參數(shù)下,實際位移S>M1,符合CASE1條件,所以此時的速度規(guī)劃中存在勻加速階段,其加減速仿真曲線如圖5所示。

(a) 速度曲線圖 (b) 加速度曲線圖

(3)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=0 mm/s,ve=200 mm/s,S=12 mm,在該參數(shù)下,實際位移|S-M2|

(a) 速度曲線圖 (b) 加速度曲線圖

(4)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=0 mm/s,ve=100 mm/s,S=12.25 mm。在該參數(shù)下,實際位移S>M2,符合CASE2條件,所以此時的速度規(guī)劃中存在勻減速階段,其加減速仿真曲線如圖7所示。

(a) 速度曲線圖 (b) 加速度曲線圖

由圖4～圖7的仿真結(jié)果可以看出,在行程不足的情況下,加減速算法所規(guī)劃出的曲線便不是七段的加減速曲線,而是修正后的加減速曲線,根據(jù)參數(shù)不同,加減速曲線也有相應(yīng)的變化。在不同的初始參數(shù)下,本文所設(shè)計的加減速算法均可完成速度規(guī)劃,仿真曲線連續(xù)且光滑。

4 結(jié)束語

本文以正弦函數(shù)為基礎(chǔ),構(gòu)建了七段式的Jerk曲線方程,并經(jīng)過進一步推導(dǎo),得到改進的加減速控制算法。該算法Jerk曲線變化連續(xù)且光滑,減少了加加速度轉(zhuǎn)換點處存在的柔性沖擊,簡化了計算量。通過仿真結(jié)果表明,相較于傳統(tǒng)S型加減速,本文算法所構(gòu)造的速度曲線更加平滑。同時,在不同的初始條件下,均可獲得平滑的速度曲線,提高了運動平臺的運動精度。