基于快速終端滑模的機(jī)器人柔順磨拋?zhàn)杩箍刂?/h1>
2023-11-28 06:13鄧建新袁邦頤黃秋林丁度坤
組合機(jī)床與自動化加工技術(shù) 2023年11期
鄧建新,袁邦頤,黃秋林,丁度坤
(1.廣西大學(xué)a.廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.機(jī)械工程學(xué)院,南寧 530004;2.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息學(xué)院,東莞 523808)
0 引言
隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展,用工業(yè)機(jī)器人取代工人進(jìn)行磨拋、去毛刺等接觸式加工正成為需求和趨勢[1]。由于機(jī)器人具有高剛度、高精密性等特點(diǎn),使得其在磨拋過程中受到外界沖擊時,仍保持較大剛度,易導(dǎo)致關(guān)節(jié)間精密零部件與加工件受損,但機(jī)器人又需要以高剛度保證軌跡跟蹤精度,因此保持接觸力的柔順與機(jī)器人較高的結(jié)構(gòu)剛度之間產(chǎn)生了沖突。此外,在磨拋過程中存在較多未知的干擾,如關(guān)節(jié)摩擦、機(jī)械振動等,這給工業(yè)機(jī)器人的柔順磨拋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來較大挑戰(zhàn)。
機(jī)器人柔順力控制主要出現(xiàn)了被動與主動柔順策略,被動柔順專用性強(qiáng)、適用能力差,因此研究多集中于主動柔順控制,其根據(jù)傳感器反饋信息,主動調(diào)節(jié)機(jī)器人與環(huán)境間的交互關(guān)系,主要包括阻抗控制和力/位混合控制。李振等[2]在傳統(tǒng)阻抗控制框架內(nèi)引入遺傳算法對磨拋力誤差進(jìn)行補(bǔ)償。譚炯鈺等[3]通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)率的方式實(shí)現(xiàn)變阻尼阻抗控制,提高了響應(yīng)能力。但上述方法收斂過程對控制實(shí)時性產(chǎn)生一定影響。滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的魯棒性,對非線性項(xiàng)、建模不確定項(xiàng)有較好的適應(yīng)能力,因此有CHAN等[4]將滑模控制引入阻抗控制內(nèi)環(huán)位置控制中,RAVANDI等[5]將滑?？刂婆c模糊算法相結(jié)合,研究了在不確定環(huán)境中的機(jī)器人柔順力控制。普通滑?？刂聘櫿`差無法在有限時間內(nèi)收斂為0,因此學(xué)者們開始用非線性函數(shù)設(shè)計(jì)滑模面,出現(xiàn)了終端滑?？刂?FAIEGHI等[6]組合運(yùn)用終端滑?？刂?、粒子群算法優(yōu)化控制參數(shù),使控制器的跟蹤誤差在無干擾的情況下能降低為0。鄧檳檳等[7]針對繩索牽引機(jī)器人設(shè)計(jì)了一種快速終端滑模同步控制策略;YAO等[8]提出一種基于時變終端滑模面的快速終端滑?？刂撇呗?提高了初始狀態(tài)不確定情況下系統(tǒng)的魯棒性。賈林等[9]設(shè)計(jì)了基于非奇異終端滑模的打磨機(jī)器人阻抗控制方法,克服可能出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象,但由于存在切換函數(shù)使得控制器輸出有抖振現(xiàn)象,模型的精度也有待提高。
本文在傳統(tǒng)阻抗控制框架下,提出采用快速終端滑?？刂?fast terminal sliding mode control,FTSMC)代替?zhèn)鹘y(tǒng)PID進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動控制,以提升系統(tǒng)魯棒性,相比普通滑模控制提高了響應(yīng)能力,對于抖振采用雙曲正切函數(shù)代替符號函數(shù)進(jìn)行抑制,最后采用模糊自適應(yīng)方法對阻抗參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,降低超調(diào)量,進(jìn)一步提升響應(yīng)速度。
1 機(jī)器人柔順磨拋?zhàn)杩箍刂颇Ｐ?/h2>
阻抗控制由HONGAN[10]提出,將力與位置控制統(tǒng)一于一個框架內(nèi),通過調(diào)節(jié)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置、速度和接觸力之間的動態(tài)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)力控制[11],具有僅需較少的任務(wù)規(guī)劃,避免了控制模式的頻繁切換,對力傳感器精度要求相對較低等優(yōu)點(diǎn)。傳統(tǒng)阻抗控制框架主要包括為機(jī)器人關(guān)節(jié)位置控制內(nèi)環(huán)與柔順力控制外環(huán)。如圖1所示。
圖1 傳統(tǒng)阻抗控制系統(tǒng)框架圖
阻抗控制希望機(jī)器人系統(tǒng)呈現(xiàn)質(zhì)量-阻尼-彈簧的二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,機(jī)器人磨拋?zhàn)杩箍刂圃砣鐖D2所示。
圖2 阻抗控制磨拋示意圖
圖中,Md、Bd、Kd分別質(zhì)量、阻尼與剛度矩陣,Xe為操作環(huán)境位置,即磨拋表面位置;Xr為參考軌跡,Xc為機(jī)器人軌跡命令,E為阻抗控制所補(bǔ)償?shù)闹?即參考軌跡與軌跡命令的差值,Ke為環(huán)境剛度。
機(jī)器人磨拋時環(huán)境受力的剛度模型為:
Fe=Ke(X-Xe)
(1)
如果不考慮機(jī)器人末端跟蹤誤差,則X=Xc,有:
Fe=Ke(Xc-Xe)
(2)
因此接觸力誤差為:
ΔF=Fd-Fe
(3)
阻抗控制的模型可以表達(dá)為:
(4)
由于阻抗控制希望機(jī)器人與環(huán)境交互呈現(xiàn)如圖2所示的二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,其傳遞函數(shù)G(s)為:
(5)
為了達(dá)到均勻磨拋的目的,可將機(jī)器人末端參考軌跡設(shè)為:
(6)
進(jìn)一步機(jī)器人的軌跡命令Xc可以寫為:
Xc=Xr+E=Xr+ΔF·G(s)
(7)
2 快速終端滑模控制器設(shè)計(jì)
考慮建模不確定性的n關(guān)節(jié)機(jī)器人末端受外力時的動力學(xué)方程可以表示為:
(8)
(9)
式中:Λ>0,a,b均為帶設(shè)計(jì)的正奇數(shù),且a
由于基于符號函數(shù)sgn設(shè)計(jì)的滑模控制切換頻繁,對關(guān)節(jié)電機(jī)力矩輸出要求較高,切換時需較大能量,因此為避免抖振帶來的影響,采用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)代替符號函數(shù)抑制抖振。雙曲正切函數(shù)的表達(dá)式為:
(10)
式中:ε>0,雙曲正切函數(shù)的陡度與ε的值相關(guān),即可以通過調(diào)節(jié)切換函數(shù)的陡度來調(diào)節(jié)切換程度。
則采用基于指數(shù)趨近律與雙曲正切函數(shù)的控制器設(shè)計(jì)為:
(11)
3 控制器穩(wěn)定性證明
將控制律式(11)代入式(8)得:
(12)
(13)
由于慣性矩陣M(q)是對稱正定矩陣,設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)為:
(14)
對式(14)求導(dǎo)得:
(15)
(16)
對于雙曲正切函數(shù)tanh存在以下性質(zhì):
針對任意給定的實(shí)數(shù)x,存在不等式:
(17)
(18)
式中:μ=0.278 5。
根據(jù)式(17)和式(18),經(jīng)適當(dāng)縮放可得:
(19)
則有:
(20)
根據(jù)式(20),結(jié)合引理[13]可得:
(21)
4 模糊自適應(yīng)變阻抗控制
為了進(jìn)一步提升基于快速終端滑模的阻抗控制系統(tǒng)性能,提出采用模糊控制對阻抗參數(shù)進(jìn)行實(shí)時調(diào)整。模糊控制不需要準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型,其逼近非線性系統(tǒng)的能力可以使其在非線性系統(tǒng)中進(jìn)行有效的控制?；诳焖俳K端滑模的模糊變阻抗控制框架如圖3所示。
圖3 基于滑模的模糊變阻抗控制框圖
圖3中,參考軌跡Xr由環(huán)境位置根據(jù)環(huán)境剛度自適應(yīng)生成,經(jīng)模糊變阻抗控制模塊輸出補(bǔ)償后的機(jī)器人軌跡命令,逆運(yùn)動學(xué)模塊將笛卡爾空間的軌跡命令轉(zhuǎn)化為機(jī)器人關(guān)節(jié)空間命令,快速終端滑模運(yùn)動控制器模塊負(fù)責(zé)輸出關(guān)節(jié)控制力矩,驅(qū)動機(jī)器人跟蹤關(guān)節(jié)軌跡命令Xr,再經(jīng)正運(yùn)動學(xué)模塊得出機(jī)器人末端笛卡爾空間坐標(biāo),通過環(huán)境剛度推算出磨拋力大小,與期望力進(jìn)行比較,差值輸入模糊變阻抗控制模塊中,形成閉環(huán)控制。
通過改變阻抗參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)增大阻尼參數(shù)可以減少系統(tǒng)超調(diào)量,但又會導(dǎo)致系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間變長,影響控制的實(shí)時性,而減小阻尼參數(shù)則可以提升系統(tǒng)響應(yīng)時間,減少調(diào)節(jié)時間長度,因此通過采用模糊控制調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)的方式能有效提高系統(tǒng)響應(yīng)時間,并減少超調(diào)量。由于阻抗控制使機(jī)器人呈現(xiàn)二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,當(dāng)力誤差E及力誤差率EC較大時,為了加快控制系統(tǒng)響應(yīng)速度,阻尼系數(shù)Bd應(yīng)該較小;當(dāng)力誤差及力誤差率較小時,為了減少控制系統(tǒng)的超調(diào)量,提升抗干擾能力,阻尼系數(shù)Bd應(yīng)該較大。
設(shè)阻尼系數(shù)初始值為Bd0,目標(biāo)磨拋力設(shè)為Fd,模糊控制器輸入設(shè)為力誤差E和力誤差變化率EC,輸出為阻尼的調(diào)節(jié)值ΔB,以上參數(shù)根據(jù)實(shí)際磨拋工況設(shè)定,根據(jù)前文分析可以確定模糊規(guī)則,本文以目標(biāo)磨拋力10 N、阻尼調(diào)節(jié)范圍為±600為例,其模糊規(guī)則輸出曲面圖如圖4所示。輸入輸出均采用三角形隸屬度函數(shù),力誤差、力誤差變化率、阻尼的調(diào)整值的論域分別為[0,FE]、[0,FEC]、[-Bm,Bm],分別將其模糊集定為{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB},即分別對應(yīng)在論域內(nèi)被模糊為{負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大},其隸屬度函數(shù)如圖5所示,輸入和輸出語言變量的模糊力誤差率也以相同方法進(jìn)行模糊化,經(jīng)模糊推理和反模糊化處理后輸出阻尼的調(diào)節(jié)值。
圖4 模糊規(guī)則輸出曲面圖 圖5 隸屬度函數(shù)
5 仿真分析
圖6是一種航空發(fā)動機(jī)渦輪工作葉片,其Solidworks三維圖如左圖所示,以該葉片作為仿真實(shí)例進(jìn)行柔順磨拋實(shí)驗(yàn)。
圖6 某型航空發(fā)動機(jī)渦輪葉片
采用等參數(shù)線法進(jìn)行加工路徑規(guī)劃,磨拋工具的進(jìn)給方向選擇為等v參數(shù)線,再利用D-H法在MATLAB機(jī)器人工具箱中建立常見六關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動模型,將所規(guī)劃的路徑點(diǎn)坐標(biāo)通過Solidworks宏命令輸出至MATLAB中,可建立如圖7所示的模型。
(a) Solidworks導(dǎo)出的磨拋軌跡 (b) 機(jī)器人磨拋示意圖
以S型磨拋路徑軌跡為例進(jìn)行柔順力磨拋進(jìn)行研究,在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型,對與機(jī)器人基座標(biāo)同高度的平面零件進(jìn)行磨拋,由于磨拋力大小主要與法向位移相關(guān),因此記錄實(shí)際法向位移軌跡X,首先根據(jù)系統(tǒng)剛度與目標(biāo)磨拋力大小規(guī)劃出參考軌跡Xr,阻抗控制模塊根據(jù)力誤差進(jìn)行位置補(bǔ)償,生成機(jī)器人軌跡命令Xc,對末端施加目標(biāo)磨拋力。
在MATLAB/Simulink中搭建基于快速終端滑模的模糊變阻抗控制(Fuzzy-FTSMC)仿真模型。設(shè)阻尼的初始值為Bd0=1000,目標(biāo)磨拋力F=10 N。根據(jù)磨拋力及變化率大小,可將輸入力誤差E和力誤差變化率EC的論域分別定為[0,10],[0,20],將輸出ΔB的論域定為[-600,600](即根據(jù)力誤差,阻尼值在400～1600之間進(jìn)行調(diào)節(jié)),采用三角形隸屬度函數(shù),在模糊推理時采用并行法,解模糊時,采用重心法,取Λ=diag{3}。
磨拋環(huán)境位置分別采用0 s時單位階躍輸入(即環(huán)境高度為1 m)和正弦輸入模擬平面磨拋和正弦曲面磨拋,為了更加準(zhǔn)確地仿真出實(shí)際機(jī)器人柔順磨拋?zhàn)鳂I(yè),分別在被加工的零件上增加高度為1 mm的脈沖信號模擬零件表面未知的較大毛刺,和一個高頻低幅值的正弦函數(shù)c=0.1sin30t,單位為mm,以模擬磨拋前表面粗糙度Ra=100 μm為的粗糙表面?；贔uzzy-FTSMC的阻抗控制的階躍和正弦輸入位置跟蹤結(jié)果分別如圖8和圖10所示。
(a) 較大毛刺磨拋工況 (b) 粗糙表面磨拋工況
(a) 較大毛刺磨拋工況 (b) 粗糙表面磨拋工況
(a) 較大毛刺磨拋工況 (b) 粗糙表面磨拋工況
為了證明基于快速終端滑模的模糊變阻抗控制(Fuzzy-FTSMC)性能優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制與未進(jìn)行優(yōu)化前的快速終端滑模阻抗控制(FTSMC),在保持其他參數(shù)相同情況下,對兩種磨拋工況進(jìn)行仿真,并將其與PID、基于FTSMC關(guān)節(jié)位置控制內(nèi)環(huán)的阻抗控制進(jìn)行磨拋仿真對比,其中PID控制經(jīng)過調(diào)參后,在參數(shù)Kp=320,Ki=500,Kd=300時能取得較好的跟蹤效果,仿真結(jié)果如圖8～圖11所示。
可粗略地將圖8中實(shí)際軌跡視為柔順磨拋后的表面,對存在未知毛刺的工件磨拋,由于阻抗控制使機(jī)器人系統(tǒng)呈現(xiàn)為質(zhì)量-阻尼-彈簧的二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,在毛刺處無論哪種方法都能表現(xiàn)出一定的柔順性,避免了末端與工件發(fā)生劇烈碰撞,損壞工件或機(jī)器人的情況,從圖8a可知此時工具末端的實(shí)際軌跡最大振幅為0.301 mm,發(fā)生在毛刺的位置,與磨拋加工規(guī)律一致,達(dá)到了柔順磨拋的目的;由圖8b可知,工具軌跡已近似為一條直線,表明表面粗糙度大幅度降低。對于整個粗糙表面也有較好的磨拋效果。
表1 基于阻抗控制的磨拋力跟蹤性能指標(biāo)對比
6 結(jié)束語
本文針對磨拋機(jī)器人的柔順控制,在傳統(tǒng)阻抗控制框架下提出了一種基于快速終端滑模的柔順自適應(yīng)變阻抗控制方法,并設(shè)計(jì)了控制器和模糊自適應(yīng)變阻抗模塊。該方法采用快速終端滑模代替?zhèn)鹘y(tǒng)PID進(jìn)行運(yùn)動控制,采用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)作為滑模切換項(xiàng),抑制抖振現(xiàn)象。并完成了不同的磨拋工況下的數(shù)值仿真驗(yàn)證。得到以下結(jié)論:
(1)與存在調(diào)參難、調(diào)參時間長的PID阻抗控制相比,本文算法不需要繁瑣的調(diào)參過程就能達(dá)到較精確的控制效果,且滑?？刂瓶赏ㄟ^設(shè)計(jì)合適的滑模面和控制律,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速響應(yīng);
(2)采用的快速終端滑模理論設(shè)計(jì)控制律能提升控制系統(tǒng)的動態(tài)性能,對系統(tǒng)參數(shù)的變化和外界擾動具有較強(qiáng)的魯棒性,改善了普通滑模在線性滑模面條件下狀態(tài)收斂較慢的缺點(diǎn),在進(jìn)行不同工況下自動柔順磨拋?zhàn)鳂I(yè)中,機(jī)器人的實(shí)際磨拋力能在有限時間內(nèi)較快地收斂到期望值;
(3)增加模糊自適應(yīng)變阻抗模塊后控制器能根據(jù)磨拋力誤差及其變化率自適應(yīng)地實(shí)時調(diào)節(jié)阻抗,進(jìn)一步提升了控制系統(tǒng)響應(yīng)速度,與PID與SMC阻抗控制相比,其響應(yīng)時間與力超調(diào)量有明顯降低,控制精度與動態(tài)性能對比原方法也有顯著提高。在干擾和建模不確定性的情況下仍具有良好的魯棒性,能較好適應(yīng)復(fù)雜工況下的精確磨拋?zhàn)鳂I(yè)。為機(jī)器人磨拋貢獻(xiàn)了一種主動柔順控制方法。
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機(jī)器人柔順力控制主要出現(xiàn)了被動與主動柔順策略,被動柔順專用性強(qiáng)、適用能力差,因此研究多集中于主動柔順控制,其根據(jù)傳感器反饋信息,主動調(diào)節(jié)機(jī)器人與環(huán)境間的交互關(guān)系,主要包括阻抗控制和力/位混合控制。李振等[2]在傳統(tǒng)阻抗控制框架內(nèi)引入遺傳算法對磨拋力誤差進(jìn)行補(bǔ)償。譚炯鈺等[3]通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)率的方式實(shí)現(xiàn)變阻尼阻抗控制,提高了響應(yīng)能力。但上述方法收斂過程對控制實(shí)時性產(chǎn)生一定影響。滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的魯棒性,對非線性項(xiàng)、建模不確定項(xiàng)有較好的適應(yīng)能力,因此有CHAN等[4]將滑模控制引入阻抗控制內(nèi)環(huán)位置控制中,RAVANDI等[5]將滑?？刂婆c模糊算法相結(jié)合,研究了在不確定環(huán)境中的機(jī)器人柔順力控制。普通滑?？刂聘櫿`差無法在有限時間內(nèi)收斂為0,因此學(xué)者們開始用非線性函數(shù)設(shè)計(jì)滑模面,出現(xiàn)了終端滑?？刂?FAIEGHI等[6]組合運(yùn)用終端滑?？刂?、粒子群算法優(yōu)化控制參數(shù),使控制器的跟蹤誤差在無干擾的情況下能降低為0。鄧檳檳等[7]針對繩索牽引機(jī)器人設(shè)計(jì)了一種快速終端滑模同步控制策略;YAO等[8]提出一種基于時變終端滑模面的快速終端滑?？刂撇呗?提高了初始狀態(tài)不確定情況下系統(tǒng)的魯棒性。賈林等[9]設(shè)計(jì)了基于非奇異終端滑模的打磨機(jī)器人阻抗控制方法,克服可能出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象,但由于存在切換函數(shù)使得控制器輸出有抖振現(xiàn)象,模型的精度也有待提高。
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1 機(jī)器人柔順磨拋?zhàn)杩箍刂颇Ｐ?/h2>
阻抗控制由HONGAN[10]提出,將力與位置控制統(tǒng)一于一個框架內(nèi),通過調(diào)節(jié)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置、速度和接觸力之間的動態(tài)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)力控制[11],具有僅需較少的任務(wù)規(guī)劃,避免了控制模式的頻繁切換,對力傳感器精度要求相對較低等優(yōu)點(diǎn)。傳統(tǒng)阻抗控制框架主要包括為機(jī)器人關(guān)節(jié)位置控制內(nèi)環(huán)與柔順力控制外環(huán)。如圖1所示。
圖1 傳統(tǒng)阻抗控制系統(tǒng)框架圖
阻抗控制希望機(jī)器人系統(tǒng)呈現(xiàn)質(zhì)量-阻尼-彈簧的二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,機(jī)器人磨拋?zhàn)杩箍刂圃砣鐖D2所示。
圖2 阻抗控制磨拋示意圖
圖中,Md、Bd、Kd分別質(zhì)量、阻尼與剛度矩陣,Xe為操作環(huán)境位置,即磨拋表面位置;Xr為參考軌跡,Xc為機(jī)器人軌跡命令,E為阻抗控制所補(bǔ)償?shù)闹?即參考軌跡與軌跡命令的差值,Ke為環(huán)境剛度。
機(jī)器人磨拋時環(huán)境受力的剛度模型為:
Fe=Ke(X-Xe)
(1)
如果不考慮機(jī)器人末端跟蹤誤差,則X=Xc,有:
Fe=Ke(Xc-Xe)
(2)
因此接觸力誤差為:
ΔF=Fd-Fe
(3)
阻抗控制的模型可以表達(dá)為:
(4)
由于阻抗控制希望機(jī)器人與環(huán)境交互呈現(xiàn)如圖2所示的二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,其傳遞函數(shù)G(s)為:
(5)
為了達(dá)到均勻磨拋的目的,可將機(jī)器人末端參考軌跡設(shè)為:
(6)
進(jìn)一步機(jī)器人的軌跡命令Xc可以寫為:
Xc=Xr+E=Xr+ΔF·G(s)
(7)
2 快速終端滑模控制器設(shè)計(jì)
考慮建模不確定性的n關(guān)節(jié)機(jī)器人末端受外力時的動力學(xué)方程可以表示為:
(8)
(9)
式中:Λ>0,a,b均為帶設(shè)計(jì)的正奇數(shù),且a 由于基于符號函數(shù)sgn設(shè)計(jì)的滑模控制切換頻繁,對關(guān)節(jié)電機(jī)力矩輸出要求較高,切換時需較大能量,因此為避免抖振帶來的影響,采用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)代替符號函數(shù)抑制抖振。雙曲正切函數(shù)的表達(dá)式為: (10) 式中:ε>0,雙曲正切函數(shù)的陡度與ε的值相關(guān),即可以通過調(diào)節(jié)切換函數(shù)的陡度來調(diào)節(jié)切換程度。 則采用基于指數(shù)趨近律與雙曲正切函數(shù)的控制器設(shè)計(jì)為: (11) 將控制律式(11)代入式(8)得: (12) (13) 由于慣性矩陣M(q)是對稱正定矩陣,設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)為: (14) 對式(14)求導(dǎo)得: (15) (16) 對于雙曲正切函數(shù)tanh存在以下性質(zhì): 針對任意給定的實(shí)數(shù)x,存在不等式: (17) (18) 式中:μ=0.278 5。 根據(jù)式(17)和式(18),經(jīng)適當(dāng)縮放可得: (19) 則有: (20) 根據(jù)式(20),結(jié)合引理[13]可得: (21) 為了進(jìn)一步提升基于快速終端滑模的阻抗控制系統(tǒng)性能,提出采用模糊控制對阻抗參數(shù)進(jìn)行實(shí)時調(diào)整。模糊控制不需要準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型,其逼近非線性系統(tǒng)的能力可以使其在非線性系統(tǒng)中進(jìn)行有效的控制?；诳焖俳K端滑模的模糊變阻抗控制框架如圖3所示。 圖3 基于滑模的模糊變阻抗控制框圖 圖3中,參考軌跡Xr由環(huán)境位置根據(jù)環(huán)境剛度自適應(yīng)生成,經(jīng)模糊變阻抗控制模塊輸出補(bǔ)償后的機(jī)器人軌跡命令,逆運(yùn)動學(xué)模塊將笛卡爾空間的軌跡命令轉(zhuǎn)化為機(jī)器人關(guān)節(jié)空間命令,快速終端滑模運(yùn)動控制器模塊負(fù)責(zé)輸出關(guān)節(jié)控制力矩,驅(qū)動機(jī)器人跟蹤關(guān)節(jié)軌跡命令Xr,再經(jīng)正運(yùn)動學(xué)模塊得出機(jī)器人末端笛卡爾空間坐標(biāo),通過環(huán)境剛度推算出磨拋力大小,與期望力進(jìn)行比較,差值輸入模糊變阻抗控制模塊中,形成閉環(huán)控制。 通過改變阻抗參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)增大阻尼參數(shù)可以減少系統(tǒng)超調(diào)量,但又會導(dǎo)致系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間變長,影響控制的實(shí)時性,而減小阻尼參數(shù)則可以提升系統(tǒng)響應(yīng)時間,減少調(diào)節(jié)時間長度,因此通過采用模糊控制調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)的方式能有效提高系統(tǒng)響應(yīng)時間,并減少超調(diào)量。由于阻抗控制使機(jī)器人呈現(xiàn)二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,當(dāng)力誤差E及力誤差率EC較大時,為了加快控制系統(tǒng)響應(yīng)速度,阻尼系數(shù)Bd應(yīng)該較小;當(dāng)力誤差及力誤差率較小時,為了減少控制系統(tǒng)的超調(diào)量,提升抗干擾能力,阻尼系數(shù)Bd應(yīng)該較大。 設(shè)阻尼系數(shù)初始值為Bd0,目標(biāo)磨拋力設(shè)為Fd,模糊控制器輸入設(shè)為力誤差E和力誤差變化率EC,輸出為阻尼的調(diào)節(jié)值ΔB,以上參數(shù)根據(jù)實(shí)際磨拋工況設(shè)定,根據(jù)前文分析可以確定模糊規(guī)則,本文以目標(biāo)磨拋力10 N、阻尼調(diào)節(jié)范圍為±600為例,其模糊規(guī)則輸出曲面圖如圖4所示。輸入輸出均采用三角形隸屬度函數(shù),力誤差、力誤差變化率、阻尼的調(diào)整值的論域分別為[0,FE]、[0,FEC]、[-Bm,Bm],分別將其模糊集定為{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB},即分別對應(yīng)在論域內(nèi)被模糊為{負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大},其隸屬度函數(shù)如圖5所示,輸入和輸出語言變量的模糊力誤差率也以相同方法進(jìn)行模糊化,經(jīng)模糊推理和反模糊化處理后輸出阻尼的調(diào)節(jié)值。 圖4 模糊規(guī)則輸出曲面圖 圖5 隸屬度函數(shù) 圖6是一種航空發(fā)動機(jī)渦輪工作葉片,其Solidworks三維圖如左圖所示,以該葉片作為仿真實(shí)例進(jìn)行柔順磨拋實(shí)驗(yàn)。 圖6 某型航空發(fā)動機(jī)渦輪葉片 采用等參數(shù)線法進(jìn)行加工路徑規(guī)劃,磨拋工具的進(jìn)給方向選擇為等v參數(shù)線,再利用D-H法在MATLAB機(jī)器人工具箱中建立常見六關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動模型,將所規(guī)劃的路徑點(diǎn)坐標(biāo)通過Solidworks宏命令輸出至MATLAB中,可建立如圖7所示的模型。 (a) Solidworks導(dǎo)出的磨拋軌跡 (b) 機(jī)器人磨拋示意圖 以S型磨拋路徑軌跡為例進(jìn)行柔順力磨拋進(jìn)行研究,在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型,對與機(jī)器人基座標(biāo)同高度的平面零件進(jìn)行磨拋,由于磨拋力大小主要與法向位移相關(guān),因此記錄實(shí)際法向位移軌跡X,首先根據(jù)系統(tǒng)剛度與目標(biāo)磨拋力大小規(guī)劃出參考軌跡Xr,阻抗控制模塊根據(jù)力誤差進(jìn)行位置補(bǔ)償,生成機(jī)器人軌跡命令Xc,對末端施加目標(biāo)磨拋力。 在MATLAB/Simulink中搭建基于快速終端滑模的模糊變阻抗控制(Fuzzy-FTSMC)仿真模型。設(shè)阻尼的初始值為Bd0=1000,目標(biāo)磨拋力F=10 N。根據(jù)磨拋力及變化率大小,可將輸入力誤差E和力誤差變化率EC的論域分別定為[0,10],[0,20],將輸出ΔB的論域定為[-600,600](即根據(jù)力誤差,阻尼值在400～1600之間進(jìn)行調(diào)節(jié)),采用三角形隸屬度函數(shù),在模糊推理時采用并行法,解模糊時,采用重心法,取Λ=diag{3}。 磨拋環(huán)境位置分別采用0 s時單位階躍輸入(即環(huán)境高度為1 m)和正弦輸入模擬平面磨拋和正弦曲面磨拋,為了更加準(zhǔn)確地仿真出實(shí)際機(jī)器人柔順磨拋?zhàn)鳂I(yè),分別在被加工的零件上增加高度為1 mm的脈沖信號模擬零件表面未知的較大毛刺,和一個高頻低幅值的正弦函數(shù)c=0.1sin30t,單位為mm,以模擬磨拋前表面粗糙度Ra=100 μm為的粗糙表面?；贔uzzy-FTSMC的阻抗控制的階躍和正弦輸入位置跟蹤結(jié)果分別如圖8和圖10所示。 (a) 較大毛刺磨拋工況 (b) 粗糙表面磨拋工況 (a) 較大毛刺磨拋工況 (b) 粗糙表面磨拋工況 (a) 較大毛刺磨拋工況 (b) 粗糙表面磨拋工況 為了證明基于快速終端滑模的模糊變阻抗控制(Fuzzy-FTSMC)性能優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制與未進(jìn)行優(yōu)化前的快速終端滑模阻抗控制(FTSMC),在保持其他參數(shù)相同情況下,對兩種磨拋工況進(jìn)行仿真,并將其與PID、基于FTSMC關(guān)節(jié)位置控制內(nèi)環(huán)的阻抗控制進(jìn)行磨拋仿真對比,其中PID控制經(jīng)過調(diào)參后,在參數(shù)Kp=320,Ki=500,Kd=300時能取得較好的跟蹤效果,仿真結(jié)果如圖8～圖11所示。 可粗略地將圖8中實(shí)際軌跡視為柔順磨拋后的表面,對存在未知毛刺的工件磨拋,由于阻抗控制使機(jī)器人系統(tǒng)呈現(xiàn)為質(zhì)量-阻尼-彈簧的二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,在毛刺處無論哪種方法都能表現(xiàn)出一定的柔順性,避免了末端與工件發(fā)生劇烈碰撞,損壞工件或機(jī)器人的情況,從圖8a可知此時工具末端的實(shí)際軌跡最大振幅為0.301 mm,發(fā)生在毛刺的位置,與磨拋加工規(guī)律一致,達(dá)到了柔順磨拋的目的;由圖8b可知,工具軌跡已近似為一條直線,表明表面粗糙度大幅度降低。對于整個粗糙表面也有較好的磨拋效果。 表1 基于阻抗控制的磨拋力跟蹤性能指標(biāo)對比 本文針對磨拋機(jī)器人的柔順控制,在傳統(tǒng)阻抗控制框架下提出了一種基于快速終端滑模的柔順自適應(yīng)變阻抗控制方法,并設(shè)計(jì)了控制器和模糊自適應(yīng)變阻抗模塊。該方法采用快速終端滑模代替?zhèn)鹘y(tǒng)PID進(jìn)行運(yùn)動控制,采用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)作為滑模切換項(xiàng),抑制抖振現(xiàn)象。并完成了不同的磨拋工況下的數(shù)值仿真驗(yàn)證。得到以下結(jié)論: (1)與存在調(diào)參難、調(diào)參時間長的PID阻抗控制相比,本文算法不需要繁瑣的調(diào)參過程就能達(dá)到較精確的控制效果,且滑?？刂瓶赏ㄟ^設(shè)計(jì)合適的滑模面和控制律,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速響應(yīng); (2)采用的快速終端滑模理論設(shè)計(jì)控制律能提升控制系統(tǒng)的動態(tài)性能,對系統(tǒng)參數(shù)的變化和外界擾動具有較強(qiáng)的魯棒性,改善了普通滑模在線性滑模面條件下狀態(tài)收斂較慢的缺點(diǎn),在進(jìn)行不同工況下自動柔順磨拋?zhàn)鳂I(yè)中,機(jī)器人的實(shí)際磨拋力能在有限時間內(nèi)較快地收斂到期望值; (3)增加模糊自適應(yīng)變阻抗模塊后控制器能根據(jù)磨拋力誤差及其變化率自適應(yīng)地實(shí)時調(diào)節(jié)阻抗,進(jìn)一步提升了控制系統(tǒng)響應(yīng)速度,與PID與SMC阻抗控制相比,其響應(yīng)時間與力超調(diào)量有明顯降低,控制精度與動態(tài)性能對比原方法也有顯著提高。在干擾和建模不確定性的情況下仍具有良好的魯棒性,能較好適應(yīng)復(fù)雜工況下的精確磨拋?zhàn)鳂I(yè)。為機(jī)器人磨拋貢獻(xiàn)了一種主動柔順控制方法。3 控制器穩(wěn)定性證明
4 模糊自適應(yīng)變阻抗控制
5 仿真分析
6 結(jié)束語
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