趙軍圣,趙雪靜,孫宗耀

(1.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059;2.曲阜師范大學(xué) 自動化研究所,山東 曲阜 273165)

1 引言

許多化學(xué)過程和熱處理的實際工業(yè)過程會受到各種隨機(jī)擾動的影響,故可以被描述為隨機(jī)系統(tǒng)。然而,隨機(jī)擾動的存在可能會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定甚至使其性能變低。因此,如何針對隨機(jī)系統(tǒng)設(shè)計控制器并分析系統(tǒng)的性能變得尤為重要。針對這一問題,文獻(xiàn)[1-3]已經(jīng)取得了重大進(jìn)展。在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析過程中,對未知項的處理一直備受關(guān)注。模糊邏輯系統(tǒng)(FLS)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NNs)常被用來處理未知函數(shù)和未知非線性項[4,5]。在這些工具的幫助下,自適應(yīng)反步技術(shù)[6]已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各種隨機(jī)非線性系統(tǒng),例如隨機(jī)嚴(yán)格反饋系統(tǒng)[7]、隨機(jī)非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)[8]、隨機(jī)純反饋系統(tǒng)[9]。

另一方面,上述控制方法都是基于傳統(tǒng)的反步控制策略提出的,這就不可避免地存在虛擬控制器求導(dǎo)過程中“計算爆炸”的問題。為了解決這些問題,文獻(xiàn)[10]提出了動態(tài)面控制(DSC)方法。然而,該方法并未消除由一階濾波器引起的誤差。為此,Dong等人[12]將命令濾波技術(shù)與自適應(yīng)技術(shù)相結(jié)合,用于減少非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的濾波誤差。隨后,文獻(xiàn)[13]結(jié)合反步設(shè)計提出了一種輸出反饋模糊控制策略,有效地解決了具有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題。

有限時間控制[14]不僅具有響應(yīng)快、高跟蹤精度的優(yōu)點,還可以使系統(tǒng)具有較好的抗干擾性能?？紤]到實際工程的需要,文獻(xiàn)[15]首次建立了有限時間控制方案。在文獻(xiàn)[16]中,借助模糊邏輯系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù),解決了函數(shù)非線性問題,改進(jìn)了非線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性理論。文獻(xiàn)[17,18]總結(jié)了有限時間穩(wěn)定性的定義和常用判據(jù),并討論了基于二階滑動控制器的有限時間控制問題。隨后,文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步提出了半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP),并研究了有限時間穩(wěn)定性判據(jù)。然而,到目前為止,在有限時間框架內(nèi)對于具有不可測狀態(tài)的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析還沒有得到令人滿意的結(jié)果。

受上述研究成果的啟發(fā),提出利用有限時間命令濾波技術(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的命令濾波技術(shù),以實現(xiàn)對具有未知非線性函數(shù)的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP)。因此,本文主要有兩個方面貢獻(xiàn):

(1) 與文獻(xiàn)[20,21]中已有的結(jié)果相比,本文在有限時間范圍內(nèi)考慮了具有隨機(jī)擾動和未知非線性項的非線性系統(tǒng)。通過設(shè)計新的補(bǔ)償項來解決隨機(jī)非線性系統(tǒng)中一階濾波器所引起的誤差,克服了DSC控制方法的缺點,使系統(tǒng)能夠獲得更好的控制精度。該方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號幾乎處處都是有限時間有界的,并且跟蹤誤差在有限時間內(nèi)幾乎收斂到原點附近的鄰域內(nèi)。

(2) 針對現(xiàn)有方法的不足[22,23],本文提出了有限時間控制和命令濾波的方法,解決了隨機(jī)非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題,實現(xiàn)了更快的收斂速度。同時,將模糊自適應(yīng)控制技術(shù)與反步控制方法相結(jié)合,構(gòu)造了自適應(yīng)模糊跟蹤控制器,降低了計算復(fù)雜度,保證了閉環(huán)系統(tǒng)獲得更高的跟蹤精度。

2 問題陳述

考慮如下不確定隨機(jī)非線性系統(tǒng)

(1)

式中X=[x1,…,xn]T是系統(tǒng)狀態(tài),u?xn+1和y(t)分別是系統(tǒng)輸入與輸出。fi(·)和gi(·)是非線性連續(xù)光滑的未知函數(shù)。ω表示r維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,定義在一個完備概率空間上,其增量協(xié)方差為E{dω·dωT}=φ(t)φT(t)dt,φ(t)是一個未知的增量協(xié)方差矩陣。

在接下來的設(shè)計過程中,需要如下假設(shè)。

假設(shè)2 對任意X1,X2∈Ri,存在常數(shù)λi,使得

‖fi(X1)-fi(X2)‖≤λi‖X1-X2‖,

(2)

式中‖·‖表示2-范數(shù)。

3 預(yù)備知識

下面給出本文用到的一些關(guān)鍵定義和引理。

定義1[23]對任意初始值x(t0)=x0,存在常數(shù)τ和駐留時間T(τ,x0)<∞,使得E[‖x(t;x0)‖]≤τ,即稱隨機(jī)非線性系統(tǒng)(1)的平衡點是半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP)。

引理1[11]考慮隨機(jī)系統(tǒng)(1)存在一個連續(xù)可微函數(shù)U(x),給定λ1,λ2∈K∞,存在常數(shù)c1>0,c2>0,0<ν<∞,0

引理2[11]令k>0,s>0,ε>0有以下不等式成立:

接下來,引入模糊邏輯系統(tǒng)的概念。

式中Ψk是使得模糊隸屬度函數(shù)μAk(y)達(dá)到最大值的點,通常認(rèn)為μAk(Ψk)=1。令

則模糊邏輯系統(tǒng)可以重新描述為y(x)=ΨTQ(x),式中Q(x)=[Q1,…,QN]T,Ψ=[Ψ1,…,ΨN]T。

引理3[11]經(jīng)過有限時間瞬態(tài)過程,有如下不帶有輸入擾動的方程成立

(3)

式中ηr0=ηr并且解是有限時間穩(wěn)定的。

注1 由引理3可知,如果噪聲影響微分器的輸入,則αr=ηr0成立,如果噪聲不影響微分器的輸入,則可以使用引理4。

引理4[11]如果輸入擾動滿足|αr-αr0|≤κ,借助適當(dāng)?shù)膮?shù)W1和W2滿足

(4)

式中μ1>0,a1>0,?1>0和?2>0。

引理5[22]對于任意的ai∈R,i=1,…,n和給定的0

(|a1|+…+|an|)r≤|a1|r+…+|an|r≤n1-r(|a1|+…+|an|)r。

引理6[22]對于任意的ε>0和定義在緊集Ω上的連續(xù)函數(shù)χ(x),存在模糊邏輯系統(tǒng)ΨTQ(x),有

給出一階Levant微分器

(5)

式中αr為輸入信號,φ1和φ2為命令濾波的狀態(tài),W1和W2為待設(shè)計的參數(shù)。

4 設(shè)計過程

現(xiàn)將系統(tǒng)(1)改寫為以下形式

(6)

由于L是嚴(yán)格的Hurwitz矩陣,則存在兩個矩陣DT=D>0和BT=B>0,有LTD+DL=-B。

選擇李雅普諾夫函數(shù)V0=eTDe,并借助于引理6,假設(shè)1和假設(shè)2,可得

(7)

式中λmin(B)是B的最小特征值。

5 主要結(jié)果

接下來,將闡述本文的主要結(jié)果。就(5)而言,對i=1,2…,n-1,定義有限時間命令濾波

(8)

式中xd是期望跟蹤信號。為了處理由有限時間命令濾波引起的濾波誤差,提出了如下形式的補(bǔ)償機(jī)制

式中ξ(0)=0,這里ci,li是常數(shù)。

(9)

由引理2,不難得到

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

于是

(15)

定理1 設(shè)隨機(jī)非線性系統(tǒng)(6)滿足假設(shè)1～3,分別選擇有限時間命令濾波器、補(bǔ)償跟蹤誤差信號、虛擬控制器、實際控制器、自適應(yīng)律,則閉環(huán)系統(tǒng)(6)是半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP)的,且跟蹤誤差依概率有限時間收斂到原點附近的鄰域內(nèi)。

證明從(15)中,可以得到

(16)

式中

除此之外,a=min{K1,K2,K3},b=min{K4,K5,K6}。此時,選擇一個李雅普諾夫函數(shù)

可得

(17)

借助引理3和引理4,可以得到|xj+1,c-αj|≤?j1,于是有

(18)

注本文研究了有限時間命令濾波輸出反饋跟蹤控制問題,與文獻(xiàn)[20,21]相比,將結(jié)果擴(kuò)展到了隨機(jī)非線性系統(tǒng)中。通過設(shè)計一個新的補(bǔ)償項,克服了文獻(xiàn)[10]中提出動態(tài)面控制方法的缺點,補(bǔ)償了由一階濾波器引起的誤差。

6 仿真例子

作為設(shè)計方法的應(yīng)用,考慮如下數(shù)值示例

(19)

構(gòu)造虛擬控制輸入和實際控制器

(20)

選擇適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)律

(21)

選擇如下的設(shè)計參數(shù)的值

圖1 y和xd的軌跡

圖2 和的軌跡

圖3 x1和的軌跡

圖4 x2和的軌跡

7 結(jié)論

本文基于具有隨機(jī)擾動和未知狀態(tài)的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題提出了一種模糊有限時間命令濾波反步控制策略,利用更為簡易的狀態(tài)觀測器去估計測量狀態(tài),利用FLS技術(shù)估計未知函數(shù)。該方法不僅解決了中間變量函數(shù)多次求導(dǎo)引起的計算量大的問題,而且保證了有限時間內(nèi)所有參考信號依概率有界。仿真結(jié)果表明了該控制方法的有效性。此外,該方法在輸出函數(shù)未知的高階隨機(jī)非線性系統(tǒng)中是否具有可行性將是一個非常實際的課題。