李琴霞

摘要：針對初中數(shù)學(xué)解題過程中常見的數(shù)學(xué)問題，巧妙利用幾何構(gòu)造法突破并巧解幾種特殊角的三角函數(shù)值、線段比例問題、三角形角與線段關(guān)系、代數(shù)最值問題、幾何最值問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力與綜合素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：幾何構(gòu)造；初中數(shù)學(xué)；解題過程；巧妙運用

構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法.

利用構(gòu)造法解題的思維模式是建立在靈活運用數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)之上的，效果獨特，思維跨度之大，有時出乎意料，但構(gòu)造不是輕而易舉之事，只有對數(shù)學(xué)知識有深刻的理解，把握其內(nèi)在聯(lián)系，這樣才會從“山重水復(fù)”至“柳暗花明”.特別是在構(gòu)造一些特殊幾何圖形的過程中，能更加巧妙地突破難點，解決相關(guān)問題.本文中歸納了初中數(shù)學(xué)解題過程中幾種幾何構(gòu)造法的巧妙運用.

1 構(gòu)造直角三角形巧解特殊角的三角函數(shù)值

例1? 求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值.

針對此類問題，我們一般都是利用相關(guān)工具書來解答，直接求出它們具體值的大小有些困難，但如果考慮到構(gòu)造直角三角形則可以巧妙破解這類問題.

如圖1，先構(gòu)造Rt△ABC，令∠BAC=30°，∠C=90°，再延長CA至點D，使得AD=AB，連接BD，這樣再次構(gòu)造了直角三角形BCD，從中可以計算得到∠D=15°，從而利用線段之間的關(guān)系可求解sin 15°，cos 15°，tan 15°的值.

同樣地，根據(jù)上述構(gòu)造方法，也可以求出75°和22.5°的三角函數(shù)值.

2 構(gòu)造最短路徑模型巧解代數(shù)最值問題

例2? 已知x為實數(shù)，則x2－4x+13+x2+2x+2的最小值為.

遇到此類問題，很難一下子找到解題思路.但是根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)，x2－4x+13與x2+2x+2可以轉(zhuǎn)化為（x－2）2+32與（x+1）2+12.根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點可以看作點P（x，0）到點A（2，3）和點B（-1，1）的距離之和.

于是，建立平面直角坐標系xOy，如圖2，點P在x軸上，[KF（]（x-2）2+3+（x+1）2+1

即表示點P到點A，B的距離和，求其最小值，符合最短路徑問題，從而建立將軍飲馬模型，巧妙解答此題.

3 構(gòu)造相似三角形巧解線段比例問題

在解答求長度、比值、乘積的問題時，常要借助相似三角形的性質(zhì)，這就需要在問題情景所體現(xiàn)的圖形中找到相似三角形.如果沒有明顯的相似三角形模型，則需要根據(jù)條件構(gòu)造相似三角形[1].

例3? 如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2.D為邊AB上的一點，連接CD，且tan ∠BCD=12，E為BC的中點，連接AE交CD于點F，求EFAE的值.

遇到此類問題，很難一下子找到求EF和AE的值的思路.如圖4，根據(jù)E是BC的中點，按常規(guī)思路可以延長中線構(gòu)造全等三角形.故延長AE至點K，使EK=AE，連接CK，得到△ABE≌△KCE，則∠BAE=∠CKE，從而得到AB∥CK.于是得到△ADF與△KCF是相似三角形，則AFFK=ADCK，再結(jié)合tan ∠BCD=12設(shè)出EF的長度，構(gòu)造方程求出相應(yīng)線段的大小，從而問題得解.

4 構(gòu)造三角形中位線巧解角的有關(guān)問題

當(dāng)問題條件中出現(xiàn)兩個或兩個以上的中點條件時，常常可將它們分別看成是三角形兩邊的中點構(gòu)造第三邊或者搭建具有公共邊的兩個三角形，使其能構(gòu)造出兩個三角形的中位線，并轉(zhuǎn)化為相等的兩條邊，從而轉(zhuǎn)化為等腰三角形，進而解決角的有關(guān)問題[2].

例4? 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，連接EF并延長，分別與BA，CD的延長線交于點M，N，則∠BME=∠CNE.

看到這個問題，我們發(fā)現(xiàn)∠BME和∠CNE沒有直接聯(lián)系，故不好直接比較兩個角的大小，但我們看到題干中多次提到了中點，而點E，F(xiàn)又不能直接連在一起形成中位線，所以此時可以根據(jù)它們所在的位置，重新構(gòu)造線段.如圖6，連接BD，取BD的中點為H，連接HE，HF，從而構(gòu)造了兩個三角形的中位線，很容易根據(jù)AB=CD得到HE=HF，從而得到∠HFE=∠HEF.又∠HFE=∠BME，∠HEF=∠CNE，所以∠BME=∠CNE，問題得證.

5 構(gòu)造全等三角形巧解線段問題

如圖7，四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點與點A重合，將此三角板繞點A旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交線段BC，CD于點M，N，試判斷BM，MN，DN長度的關(guān)系.

對于幾條線段長度之間的關(guān)系，解題時不可能采用測量的辦法，這就需要通過線段的位置進行轉(zhuǎn)化，將它們放在一條線段上或者一個三角形中，故需要重新構(gòu)造三角形才能突破難點，將問題化繁為簡.于是過點A作AG⊥AN交CB的延長線于點G（如圖8），證明△ABG≌△ADN（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AG＝AN，BG＝DN．再證明△AMG≌△AMN（SAS）．由全等三角形的性質(zhì)得出MN＝MG＝MB+BG＝MB+DN.

6 構(gòu)造圓巧解幾何最值問題

例5? 如圖9，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為1，試求線段DH長度的最小值．

幾何動態(tài)最值問題，最好的解決辦法就是根據(jù)題意化動為靜，確定取得最小值時的靜態(tài)問題，從而借助相關(guān)條件可以得到解答[3].根據(jù)條件很容易證明△ABE和△DCF全等，△ADG和△CDG全等，從而可得∠ABE=∠DCG，∠DCG＝∠DAG，則∠ABE＝∠DAG，然后求出∠AHB＝90°.這樣不管EF如何運動，H都是以AB為斜邊的直角三角形的頂點，故可以考慮構(gòu)造圓.如圖10，以AB的中點O為圓心，以AB為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，連接OD交半圓于點H′，此時DH′即為DH的為最小值，再利用相關(guān)條件即可求解.

綜上所述，可以看出構(gòu)造法在解決一些問題過程中的巧妙之處，這就需要教師在教學(xué)中要特別注意構(gòu)造幾何圖形，再借助數(shù)形結(jié)合突破問題難點，讓學(xué)生從疑難之中解脫出來，提高分析解題的能力，從而更好地借助訓(xùn)練提升綜合素養(yǎng).

參考文獻：

［1］王春鳳.挖掘題目信息 構(gòu)造幾何模型——例談直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（Z3）：3-4.

[2]宋亞洲.構(gòu)造幾何模型 巧解競賽難題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021（17）：33-34.

[3]鐵馨.“構(gòu)造法”在數(shù)學(xué)解題中的運用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2016（10）：13.