李丹 張勇輝

運(yùn)動(dòng)變化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思想方法之一，很多數(shù)學(xué)問題都呈現(xiàn)出“動(dòng)中有定、動(dòng)定相倚”的特點(diǎn)，教學(xué)中教師若能敏銳抓住這些特點(diǎn)，從“動(dòng)”中尋找規(guī)律，從“定”中尋求突破，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，對(duì)夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、開闊數(shù)學(xué)思維、提升解題能力將大有裨益.

下面，筆者從一道圓錐曲線試題的解題探究說起，談?wù)劷忸}教學(xué)中如何巧抓“動(dòng)定關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).

1 試題呈現(xiàn)，條分縷析

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)M和N，動(dòng)點(diǎn)A在圓x2+y2=1上，動(dòng)點(diǎn)B在橢圓C上，直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，且k1=5k2.

（?。┳C明：N，A，B三點(diǎn)共線；

（ⅱ）（略）.

這是臨近高考的一次統(tǒng)測(cè)中的解析幾何壓軸題.筆者所教授的班級(jí)屬于中等層次，多數(shù)學(xué)生第（2）問只能草草書寫一些方程，蹭一些步驟分.一個(gè)中等難度的試題成了本班學(xué)生的難題.

對(duì)于第（2）（i）問，從試題條件和結(jié)論分析，在前提條件下，“k1=5k2”是“N，A，B三點(diǎn)共線”的主要條件，條件與結(jié)論中的“動(dòng)”“定”關(guān)系如表1.

因此，只要抓住主動(dòng)點(diǎn)A，設(shè)出直線MA的方程，解出點(diǎn)A的坐標(biāo)，同法解出從動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)，再比較直線AN，BN的斜率，問題便得以解決.第（2）（i）問的解答通法如下.

知kNA=kNB，所以N，A，B三點(diǎn)共線.

學(xué)生失分的主要因素有以下三個(gè)方面：（1）學(xué)生普遍對(duì)解析幾何大題有一種畏懼之心，長(zhǎng)期的碰壁使其逐漸降低了得分的心理預(yù)期，不少學(xué)生抱著繞著走的心態(tài)；（2）圓錐曲線相關(guān)知識(shí)方法、重要二級(jí)結(jié)論等儲(chǔ)備不足，對(duì)一些條件不熟悉，不知如何破題，缺乏題感；（3）也是最重要的一點(diǎn)，雖然做過不少題，但缺乏深度學(xué)習(xí)，解題方法零散、碎片化，不成系統(tǒng)，下次遇到同類型的問題仍然重復(fù)犯錯(cuò)，解題自信心屢受打擊，從而喪失信心.

2 逆向思考，存疑設(shè)問

對(duì)于這道試題的學(xué)習(xí)，如果到此為止，學(xué)生的解題思維和能力仍然得不到提高，因此有必要把探究引向深入.評(píng)講之后，筆者問了學(xué)生兩個(gè)問題：條件“k1=5k2”中的定值為什么恰好是“5”？這個(gè)“5”從何而來？立馬引得了幾個(gè)學(xué)生的附和，之后學(xué)生們陷入沉思.筆者將這些問題留給他們課后研討，準(zhǔn)備第二天針對(duì)此題上一堂探究課.

3 展開實(shí)驗(yàn)，初步探究

為了探究“5”的來由，筆者制作了幾何畫板課件，便于隨時(shí)改換條件進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究和展示，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式展開探究之旅.以下是課堂上的一些片段.

片段一：

師：誰能告訴大家，這個(gè)“5”從何而來？

生甲：我認(rèn)為，這個(gè)“5”就是橢圓方程中的a2=5.

師：能給個(gè)理由嗎？

生甲：說不太清楚，直覺.

片段二：

師：能確保你們的運(yùn)算是正確的嗎？

生?。耗埽液屯瑢W(xué)丙都算過兩遍.

片段三：

師：通過前面的探究，我們有必要把前面討論的重點(diǎn)問題重新歸結(jié)一下，可以得到以下命題.

（把時(shí)間留給學(xué)生，思考該如何證明，教師巡視.）

師：同學(xué)們?nèi)绻抡胀ǚㄗC明，運(yùn)算量將非常大！有些同學(xué)已經(jīng)開始怠工了.我發(fā)現(xiàn)同學(xué)乙找到了簡(jiǎn)潔的證明方法，請(qǐng)他給大家展示一下.

生乙：由題意，得

師：多么簡(jiǎn)潔?。ㄈ喙恼疲。┩瑢W(xué)乙用到了我們以前學(xué)過的關(guān)于橢圓的一個(gè)重要的二級(jí)結(jié)論.雙曲線也有類似的性質(zhì)，我們?cè)僖黄鸹仡櫼幌拢?/p>

師：圓錐曲線的一些重要的二級(jí)結(jié)論在解決相關(guān)問題時(shí)非常有用，請(qǐng)同學(xué)們多總結(jié)，多運(yùn)用，這樣一定能提高解題能力！

4 深度探究，精彩紛呈

針對(duì)本試題的課堂探究到此為止，但意猶未盡.作為課后作業(yè)，筆者要求學(xué)生模仿本題的命題思路及證明方法，命制一些類似的新命題.以下是學(xué)生的部分作品：

5 教學(xué)反思，啟迪智慧

（1）本課從試題條件“k1=5k2”中的“動(dòng)”與“定”——k1，k2的關(guān)聯(lián)變動(dòng)和定值5的分析入手，明辨出“5”是“N，A，B三點(diǎn)共線”的決定性因素.問題“為什么恰恰是5？5從何而來？”則撓到了學(xué)生思維的“癢癢處”，激起了共鳴，激發(fā)了探究的熱情，引出了一系列真實(shí)有效的探究.

（2）探究的過程符合認(rèn)知規(guī)律，經(jīng)歷了驗(yàn)證、試錯(cuò)、證偽、猜測(cè)、論證等過程，從特殊到一般，從簡(jiǎn)到繁又以簡(jiǎn)馭繁，用一個(gè)二級(jí)結(jié)論輔助證明歸納出的命題，不僅避免了繁雜的運(yùn)算，還將探究引向深入.

（3）拓展探究把整個(gè)探究過程推向一個(gè)新高度.學(xué)生從一般性命題的簡(jiǎn)潔證明中，找到了與其他背景知識(shí)的契合點(diǎn)，有效遷移，命制出了嶄新的命題.若將這些命題作為“題源”，將字母系數(shù)數(shù)值化，再更換背景，又能命制出成串的數(shù)學(xué)試題！

（4）本課運(yùn)用《幾何畫板》輔助教學(xué)，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式展開探究之旅，形象地展示了問題中的“動(dòng)”“定”關(guān)系，為快速證偽、猜測(cè)驗(yàn)證提供了幫助.

6 結(jié)語

高中數(shù)學(xué)各知識(shí)板塊，特別是函數(shù)、數(shù)列、三角、向量、立體幾何、解析幾何大量問題中都蘊(yùn)含著“動(dòng)定關(guān)系”.通過動(dòng)與定的轉(zhuǎn)化，加深對(duì)問題本質(zhì)的理解，培養(yǎng)思維的深刻性.對(duì)動(dòng)與定的關(guān)系的觀察，便于尋求規(guī)律，培養(yǎng)思維的靈活性與廣闊性.靈活處理數(shù)學(xué)中動(dòng)與定的關(guān)系，動(dòng)中明定，定中求變，是創(chuàng)造性思維的一個(gè)體現(xiàn).

深度學(xué)習(xí)具有以下特征：淺層加工與深層加工的統(tǒng)一，多重理解與整體建構(gòu)的統(tǒng)一，掌握知識(shí)和提升能力的統(tǒng)一，自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的統(tǒng)一.教師只有熟悉這些特征，才能有效制定策略，設(shè)計(jì)實(shí)施路徑，把學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究引向深入.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在闡述高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)中指出，要讓學(xué)生獲得“四基”，提高“四能”，發(fā)展“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”.教師不僅要把這些理念深深植根于腦海，更重要的是踐行于每一次數(shù)學(xué)活動(dòng)、每一個(gè)教育細(xì)節(jié)中，而引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)就是很好的途徑之一.安于心而敏于行，點(diǎn)滴浸潤(rùn)，長(zhǎng)期堅(jiān)守，方能見穿石之效，收尺寸之功！