■河南省鄭州市第三十一高級(jí)中學(xué) 董衛(wèi)剛 王夢(mèng)娜

電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的“桿+導(dǎo)軌”模型是近幾年高考中的常見(jiàn)考點(diǎn)之一,比如2020年高考全國(guó)Ⅰ卷第21題、全國(guó)Ⅲ卷第24題,2021年高考全國(guó)乙卷第25 題、北京卷第7 題,2022年高考全國(guó)甲卷第20 題、遼寧卷第15題,2023年高考全國(guó)甲卷第25題、湖南卷第14題、遼寧卷第10 題等。涉及“桿+導(dǎo)軌”模型的物理試題幾乎涵蓋了高中物理所有的核心內(nèi)容,綜合性較強(qiáng),區(qū)分度較高。下面將涉及“桿+導(dǎo)軌”模型的物理試題進(jìn)行系統(tǒng)梳理,總結(jié)求解此類問(wèn)題的思路和方法,為同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考提供參考。

一、電磁感應(yīng)核心知識(shí)梳理

1.感應(yīng)電流方向的判斷方法:

2.感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小的求法:

圖1

圖2

圖3

3.感應(yīng)電荷量的計(jì)算:

4.動(dòng)量定理在“桿+導(dǎo)軌”模型中的應(yīng)用:

二、“桿+導(dǎo)軌”模型梳理

模型一:單桿,無(wú)電源,受恒定外力

如圖4 所示,金屬桿MN放在水平放置的光滑導(dǎo)軌上,空間存在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng),金屬桿MN受到恒定的外力作用。以金屬桿MN為研究對(duì)象,根據(jù)牛頓第二定律得,解得,因此隨著速度v的增大,加速度a逐漸減小,當(dāng)a=0的時(shí)候,金屬桿MN達(dá)到平衡狀態(tài),以恒定的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。上述規(guī)律不僅適用于水平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng),豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)或斜面上的運(yùn)動(dòng)也適用,只不過(guò)是將恒力稍微變化了一下。

圖4

例1如圖5所示,兩根足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌豎直放置,間距為L(zhǎng),頂端接阻值為R的電阻。勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌所在平面(紙面)向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒在距磁場(chǎng)上邊界某處由靜止釋放,金屬棒和導(dǎo)軌始終接觸良好。不計(jì)導(dǎo)軌的電阻,重力加速度為g,則下列說(shuō)法中正確的是( )。

圖5

A.金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),通過(guò)電阻R的電流方向?yàn)閍→b

B.金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)一定做加速運(yùn)動(dòng)

C.金屬棒的速度為v時(shí),金屬棒所受的安培力大小為

D.金屬棒以穩(wěn)定的速度下滑時(shí),電阻R的熱功率為

思路點(diǎn)撥:金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)后,產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv,回路中的感應(yīng)電流,通過(guò)電阻R的電流方向?yàn)閎→a,金屬棒所受的安培力大小,當(dāng)金屬棒穩(wěn)定下滑時(shí),F=mg,電阻R的熱功率,解得。

答案:D

模型二:單桿,無(wú)電源,有初速度

如圖6 所示,給金屬桿ef一個(gè)初速度(初始沖量),讓金屬桿ef運(yùn)動(dòng)起來(lái),金屬桿ef切割磁感線,在回路cbef中產(chǎn)生感應(yīng)電流,金屬桿ef相當(dāng)于電源,此時(shí)金屬桿ef受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向相反的安培力,阻礙金屬桿ef的運(yùn)動(dòng),金屬桿ef做減速運(yùn)動(dòng),速度減小會(huì)讓安培力隨著減小,加速度就跟著減小,因此金屬桿ef做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng),直到速度減為零,停止運(yùn)動(dòng)。若導(dǎo)軌是光滑的,則金屬桿ef的初動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電阻R產(chǎn)生的焦耳熱,即,金屬桿ef通過(guò)克服安培力做功把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為了電能。同時(shí)還可以根據(jù)動(dòng)量定理得,又有q=·Δt,求出在此過(guò)程中通過(guò)電阻R的電荷量。

圖6

例2(2021年高考北京卷)如圖7所示,在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,水平U 型導(dǎo)體框左端連接一阻值為R的定值電阻,質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab置于導(dǎo)體框上。不計(jì)導(dǎo)體框的電阻、導(dǎo)體棒與框間的摩擦。導(dǎo)體棒以水平向右的初速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng),最終停在導(dǎo)體框上。在此過(guò)程中( )。

圖7

A.導(dǎo)體棒做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

B.導(dǎo)體棒中感應(yīng)電流的方向?yàn)閍→b

C.電阻R消耗的總電能為

思路點(diǎn)撥:導(dǎo)體棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng),導(dǎo)體棒中感應(yīng)電流的方向?yàn)閎→a。安培力的變化會(huì)引起加速度的變化,根據(jù)能量守恒定律和動(dòng)能定理可知,電阻R消耗的總電能為,導(dǎo)體棒克服安培力做的總功等于。

答案:C

模型三:單桿,有電容,受恒定外力

如圖8所示,水平放置的光滑平行導(dǎo)軌左側(cè)接電容為C的電容器,空間存在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng),金屬棒MN和導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì),摩擦力不計(jì),金屬棒MN在水平向右的恒定拉力F的作用下,由靜止開(kāi)始做加速運(yùn)動(dòng),持續(xù)對(duì)電容器充電,則存在充電電流時(shí),有F-BIl=ma,,ΔQ=CΔU,ΔU=ΔE=BlΔv,整理得,其中,解得,因此金屬棒MN做加速度恒定的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。從能量的角度分析,存在功能關(guān)系。

圖8

例3如圖9所示,間距為L(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌豎直平行放置,空間存在垂直于導(dǎo)軌所在平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,在導(dǎo)軌上端接一電容為C的電容器,一質(zhì)量為m的金屬棒與導(dǎo)軌始終保持良好接觸。將金屬棒距地面高度為h處由靜止開(kāi)始釋放,已知重力加速度為g,一切摩擦及電阻均不計(jì)。在金屬棒下滑至地面的過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是( )。

圖9

A.若h足夠大,則金屬棒最終勻速下落

B.金屬棒下滑至地面時(shí),電容器儲(chǔ)存的電勢(shì)能為mgh

思路點(diǎn)撥:根據(jù)牛頓第二定律得mg-BIL=ma,又有,v=at,Q=It,解得,金屬棒在下降過(guò)程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng),金屬棒下滑至地面時(shí)的動(dòng)能,又有,根據(jù)能量守恒定律得電容器儲(chǔ)存的電勢(shì)能。

答案:D

模型四:雙桿,等長(zhǎng),有初速度

如圖10所示,光滑導(dǎo)軌上放置兩根導(dǎo)體棒,給導(dǎo)體棒1 一個(gè)初速度,導(dǎo)體棒1受安培力的作用做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng),導(dǎo)體棒2受安培力的作用做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng),最后兩導(dǎo)體棒以相同的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),對(duì)兩導(dǎo)體棒運(yùn)用動(dòng)量守恒定律可以求出最終的共同速度。從能量的角度分析,導(dǎo)體棒1動(dòng)能的減少量=導(dǎo)體棒2 動(dòng)能的增加量+焦耳熱。

圖10

例4如圖11所示,兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上,所在空間存在方向垂直于水平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng),導(dǎo)軌的間距為L(zhǎng),電阻不計(jì);導(dǎo)軌上靜置兩根有效長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒PQ和MN,其中導(dǎo)體棒PQ的質(zhì)量為2m、阻值為R,導(dǎo)體棒MN的質(zhì)量為m、阻值為2R。若在t=0 時(shí)刻給導(dǎo)體棒PQ一個(gè)平行于導(dǎo)軌向右的初速度v0,不計(jì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩導(dǎo)體棒的相互作用,則( )。

圖11

A.t=0 時(shí)刻,兩導(dǎo)體棒的加速度大小相等

B.t=0時(shí)刻,導(dǎo)體棒PQ兩端的電壓為

C.導(dǎo)體棒PQ勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率為

D.從t=0時(shí)刻到導(dǎo)體棒PQ勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,導(dǎo)體棒MN中產(chǎn)生的焦耳熱為

思路點(diǎn)撥:導(dǎo)體棒PQ向右運(yùn)動(dòng),產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv0,此時(shí)路端電壓為,回路中的感應(yīng)電流,兩導(dǎo)體棒受到的安培力大小均為F=BIL,則,因此t=0 時(shí)刻,兩導(dǎo)體棒的加速度大小不相等,受到的安培力大小相等,方向相反,兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足動(dòng)量守恒定律,則2mv0=(m+2m)v共,最終兩導(dǎo)體棒以速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。兩導(dǎo)體棒中的電流相等,產(chǎn)生的焦耳熱分別為,則QMN∶QPQ=2∶1。根據(jù)能量守恒定律可知,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的總熱量等于系統(tǒng)總動(dòng)能的減少量,即,解得。

答案:BD

模型五:雙桿,等長(zhǎng),受恒定外力

如圖12所示,足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌上放置兩根導(dǎo)體棒,導(dǎo)體棒1 受到一個(gè)恒定的力F的作用,導(dǎo)體棒1 做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng),導(dǎo)體棒2做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動(dòng),最終兩導(dǎo)體棒以相同的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng),兩導(dǎo)體棒的速度差恒定,回路中存在恒定的感應(yīng)電流,兩導(dǎo)體棒受到的安培力大小相等,對(duì)整體有F= (m1+m2)a,對(duì)導(dǎo)體棒2 有,聯(lián)立以上兩式可以求出兩導(dǎo)體棒的速度差值。從能量的角度分析,外力做的功=導(dǎo)體棒1的動(dòng)能+導(dǎo)體棒2的動(dòng)能+焦耳熱。

圖12

例5(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷)如圖13所示,U 型光滑金屬框abcd置于水平絕緣平臺(tái)上,ab邊和dc邊平行,和bc邊垂直。ab、dc邊足夠長(zhǎng),整個(gè)金屬框的電阻可忽略。一根具有一定電阻的導(dǎo)體棒MN置于金屬框上,用水平恒力F向右拉動(dòng)金屬框,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,裝置始終處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,導(dǎo)體棒與金屬框保持良好接觸,且與bc邊保持平行。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后( )。

圖13

A.金屬框的速度大小趨于恒定值

B.金屬框的加速度大小趨于恒定值

C.導(dǎo)體棒所受安培力的大小趨于恒定值

D.導(dǎo)體棒到金屬框bc邊的距離趨于恒定值

思路點(diǎn)撥:金屬框向右的加速度與導(dǎo)體棒的加速度不同,同一時(shí)刻兩者速度也不同,設(shè)金屬框的質(zhì)量為m1,速度為v1,導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m2,速度為v2,則回路中的感應(yīng)電流,感應(yīng)電流從0 開(kāi)始增大,導(dǎo)體棒的加速度a2從零開(kāi)始增大,金屬框的加速度a1從開(kāi)始減小,二者的加速度差值減小,當(dāng)a1=a2時(shí),有F=(m1+m2)a,則恒定,根據(jù)F安=m2a可知,安培力不再變化,感應(yīng)電流不再變化,金屬框與導(dǎo)體棒的速度差保持不變,但導(dǎo)體棒的速度小于金屬框的速度,則導(dǎo)體棒到金屬框bc邊的距離越來(lái)越大。

答案:BC

模型六:雙桿,不等長(zhǎng),有初速度

如圖14 所示,光滑導(dǎo)軌水平放置,勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于水平面向下,左側(cè)導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),右側(cè)導(dǎo)軌間距為2L,且兩側(cè)導(dǎo)軌均足夠長(zhǎng)?，F(xiàn)給金屬桿cd一水平向右的初速度v0,金屬桿cd做切割磁感線運(yùn)動(dòng),產(chǎn)生感應(yīng)電流,金屬桿cd受到的安培力阻礙它的運(yùn)動(dòng),金屬桿ab受到的安培力使它做加速運(yùn)動(dòng),兩金屬桿長(zhǎng)度不同,所受安培力大小不相等,系統(tǒng)動(dòng)量不守恒,一旦金屬桿ab開(kāi)始運(yùn)動(dòng),金屬桿ab也要做切割磁感線運(yùn)動(dòng),產(chǎn)生一個(gè)反電動(dòng)勢(shì),使得回路中的感應(yīng)電流減小,當(dāng)感應(yīng)電流為零時(shí),兩金屬桿均做勻速運(yùn)動(dòng),此時(shí)兩金屬桿的速度關(guān)系為vab=2vcd,分別對(duì)兩金屬桿應(yīng)用動(dòng)量定理可以求出最終的速度。

圖14

例6如圖15所示,光滑導(dǎo)軌水平放置,勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于水平面向下,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,左側(cè)導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),右側(cè)導(dǎo)軌間距為2L,且兩側(cè)導(dǎo)軌均足夠長(zhǎng)。質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab和質(zhì)量為2m的導(dǎo)體棒cd均垂直于導(dǎo)軌放置,處于靜止?fàn)顟B(tài)。導(dǎo)體棒ab接入電路的電阻為R,導(dǎo)體棒cd接入電路的電阻為2R,兩導(dǎo)體棒始終在對(duì)應(yīng)的導(dǎo)軌部分上運(yùn)動(dòng),并始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好, 導(dǎo)軌電阻不計(jì)?，F(xiàn)瞬間給導(dǎo)體棒cd一水平向右的初速度v0,則對(duì)此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,下列說(shuō)法中正確的是( )。

圖15

A.兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒

B.導(dǎo)體棒cd最終的速度為

C.整個(gè)過(guò)程中,通過(guò)導(dǎo)體棒cd的電荷量為

D.從導(dǎo)體棒cd獲得初速度到二者穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱為

思路點(diǎn)撥:因?yàn)閷?dǎo)體棒ab和cd的長(zhǎng)度不同,所以受到的安培力大小不相等,兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒。當(dāng)導(dǎo)體棒ab和cd產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等時(shí),兩導(dǎo)體棒都做勻速直線運(yùn)動(dòng),則BLvab=B·2Lvcd,對(duì)兩導(dǎo)體棒分別應(yīng)用動(dòng)量定理得,解得。結(jié)合,解得。根據(jù)能量守恒定律得整個(gè)過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱,解得。

答案:CD

總結(jié):“桿+導(dǎo)軌”是一個(gè)經(jīng)典的模型,涉及知識(shí)點(diǎn)比較多。在以“桿+導(dǎo)軌”模型為素材的電磁感應(yīng)問(wèn)題中,若滿足動(dòng)量守恒條件,則應(yīng)優(yōu)先選用動(dòng)量守恒定律列式求解;若已知位移,則需結(jié)合動(dòng)能定理列式求解;若已知時(shí)間,則需結(jié)合動(dòng)量定理列式求解;若需要求電荷量,則需要應(yīng)用安培力的沖量I安=BLq,并結(jié)合能量守恒定律列式求解?？傊?求解以“桿+導(dǎo)軌”模型為素材的電磁感應(yīng)問(wèn)題時(shí),需要充分挖掘題目隱含條件,使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,將難點(diǎn)逐個(gè)突破。