周艷麗 徐碩 楊輝

摘要：城軌列車速度曲線研究對(duì)于優(yōu)化列車運(yùn)行過程具有重要的作用。為得到更好的城軌列車速度曲線優(yōu)化效果，本文針對(duì)列車運(yùn)行準(zhǔn)時(shí)性、運(yùn)行能耗和舒適度3個(gè)目標(biāo)，提出一種基于改進(jìn)多目標(biāo)差分進(jìn)化算法的速度曲線優(yōu)化方法。首先，建立城軌列車運(yùn)行過程的多目標(biāo)優(yōu)化模型；然后，通過采用精英鏡像初始化策略、引入?yún)?shù)自適應(yīng)和多變異策略，提升多目標(biāo)差分進(jìn)化（MODE）算法的性能，并通過與其他6種對(duì)比算法在ZDT系列測(cè)試函數(shù)上所得的反世代距離評(píng)價(jià)指標(biāo)（IGD）值進(jìn)行比較，驗(yàn)證了所提算法的優(yōu)越性；最后，結(jié)合南昌地鐵一號(hào)線某區(qū)間真實(shí)線路數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真。結(jié)果表明，改進(jìn)的MODE算法（IMODE）相較于對(duì)比算法在綜合性能方面具有一定優(yōu)勢(shì)，同時(shí)在列車節(jié)能優(yōu)化問題中具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：城軌列車；速度曲線；多目標(biāo)優(yōu)化；差分進(jìn)化算法

中圖分類號(hào)：U231 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

本文引用格式：周艷麗，徐碩，楊輝. 基于改進(jìn)多目標(biāo)差分進(jìn)化算法的城軌列車速度曲線優(yōu)化[J]. 華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，40（5）：76-82.

Optimization of Urban Rail Train Speed Profile Based on Improved Multi-objective Differential Evolution Algorithm

Zhou Yanli1，2，3，Xu Shuo1，2，3，Yang Hui1，2，3

（1. School of Electrical & Automation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China； 2. Jiangxi Key Laboratory Advanced Control and Optimization， East China Jiaotong University，Nanchang 330013， China； 3. State Key Laboratory for Performance Monitoring and Guarantee of Rail Transit Infrastructure， East China Jiaotong University，Nanchang 330013， China）

Abstract：The study of train speed profiles plays a crucial role in optimizing the train operation process for urban rail train. To achieve better optimization results of train speed profiles， aiming at the three goals of train running punctuality， running energy consumption and passenger comfort， an approach based on an improved multi-objective differential evolution algorithm is proposed. Firstly， a multi-objective optimization model for urban rail transit trains is established based on the train operation process. Then， by adopting an elite mirror initialization strategy， ntroducing parameter adaptation and multi-mutation strategies， the performance of the multi-objective differential evolution （MODE） algorithm is improved， and by comparing with the IGD values obtained by the other 6 comparison algorithms on the ZDT series test functions， the superiority of the proposed algorithm is verified. Finally， combined with the real line data of Nanchang Metro Line 1， the simulation results show that the improved MODE algorithm has certain advantages in comprehensive performance compared with the comparison algorithm， and has strong practicability in train energy-saving optimization problems.

Key words： urban railway; speed profile; multi objective optimization; differential evolutionary algorithm

Citation format：ZHOU Y L，XU S，YANG H. Optimization of urban rail transit train speed profile based on enhanced multi-objective differential evolution algorithm[J]. Journal of East China Jiaotong University，2023，40（5）：76-82.

軌道交通是現(xiàn)代城市交通的重要組成部分，為居民提供了便捷、安全、環(huán)保的出行選擇。城市軌道交通中的速度-距離（v-s）曲線對(duì)列車的運(yùn)行和調(diào)度至關(guān)重要，合理設(shè)計(jì)v-s曲線可以提高線路運(yùn)輸能力和運(yùn)行效率，為乘客提供安全、 舒適的乘車體驗(yàn)。列車速度-距離曲線的優(yōu)化問題作為一個(gè)典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題[1]，涉及準(zhǔn)時(shí)性、舒適性、停車精準(zhǔn)性等多個(gè)指標(biāo)的優(yōu)化。針對(duì)這一問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者目前采用的多目標(biāo)優(yōu)化方法有粒子群算法、遺傳算法、差分進(jìn)化算法等智能優(yōu)化方法[2-3]。

周艷麗等[4]針對(duì)北京某地鐵線路多目標(biāo)速度曲線節(jié)能優(yōu)化問題提出一種改進(jìn)的差分進(jìn)化算法，通過構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)將列車優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題進(jìn)行求解。黃江平等[5]將引入動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子及改進(jìn)速度更新公式的改進(jìn)粒子群算法用于列車速度曲線優(yōu)化過程，同時(shí)引入加權(quán)懲罰系數(shù)設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)。李婉婷等[6]采用加權(quán)法構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，并提出一種黃金正弦-鯨魚優(yōu)化算法對(duì)列車速度曲線優(yōu)化問題進(jìn)行求解。以上研究均通過將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題以加快求解進(jìn)程，忽略了各個(gè)目標(biāo)約束之間相互作用的復(fù)雜制約關(guān)系。徐凱等[7]提出一種協(xié)同進(jìn)化的多目標(biāo)混沌粒子群優(yōu)化算法對(duì)城軌列車速度曲線優(yōu)化問題進(jìn)行求解，得到了較好的尋優(yōu)效果，但其求解過程中未充分考慮計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間，忽略了實(shí)際運(yùn)營(yíng)的需求。列車運(yùn)行優(yōu)化本就是多目標(biāo)優(yōu)化問題，列車準(zhǔn)時(shí)性、舒適性及能耗都應(yīng)充分考慮。湯旻安等[8]將黃金比例策略引入快速非支配排序遺傳算法，提升了算法的綜合性能，快速有效地得到列車最優(yōu)控制策略。

基于當(dāng)前研究基礎(chǔ)，本文以列車運(yùn)行準(zhǔn)時(shí)性、能耗及舒適度為目標(biāo)，結(jié)合列車運(yùn)行過程，提出一種改進(jìn)的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法（improved multi-objective differential evolution algorithm， IMODE），通過數(shù)值仿真驗(yàn)證改進(jìn)算法的優(yōu)越性，并以南昌地鐵一號(hào)某區(qū)間線路為例，基于MATLAB仿真平臺(tái)驗(yàn)證其對(duì)列車節(jié)能優(yōu)化問題的有效性，得到列車速度曲線的多目標(biāo)優(yōu)化Pareto解集。

1 城軌列車多目標(biāo)優(yōu)化模型

1.1 列車動(dòng)力學(xué)模型

在此將城軌列車視為單質(zhì)點(diǎn)[9]，結(jié)合牛頓第二定律對(duì)其運(yùn)行過程進(jìn)行受力分析，建立城軌列車動(dòng)力學(xué)模型如下

式中：t為列車站間運(yùn)行時(shí)間；s為t時(shí)刻列車運(yùn)行位置；v為列車當(dāng)前運(yùn)行速度；μf，μb∈［0，1］為列車牽引力、制動(dòng)力的輸出比例系數(shù)；F為列車運(yùn)行時(shí)所受到的牽引力；B為列車運(yùn)行時(shí)所受到的制動(dòng)力；W為列車運(yùn)行過程中所受到的總阻力；W0為列車基本阻力；Wi為列車坡度附加阻力；Wc為列車曲線附加阻力。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化模型

基于對(duì)城軌列車單車站間駕駛策略的分析，構(gòu)建如下性能指標(biāo)來評(píng)價(jià)列車的運(yùn)行過程。

1） 準(zhǔn)點(diǎn)性指標(biāo)。城市軌道交通對(duì)準(zhǔn)時(shí)性有著較高的要求，本文將列車實(shí)際站間運(yùn)行時(shí)間T與計(jì)劃站間運(yùn)行時(shí)間Tp的差值作為列車準(zhǔn)點(diǎn)性指標(biāo)，具體公式如式（2）所示

2） 節(jié)能性指標(biāo)。本文根據(jù)列車縱向動(dòng)力學(xué)模型及列車站間運(yùn)行工況的分析，采用如下計(jì)算方式計(jì)算列車的運(yùn)行能耗

式中：F為列車所施加的牽引力； s為列車在0.1 s內(nèi)的運(yùn)行距離；T為列車的運(yùn)行時(shí)間。

3） 舒適度指標(biāo)。目前，我國(guó)城市軌道交通行業(yè)均以沖擊率指標(biāo)作為舒適度的衡量標(biāo)準(zhǔn)[12]，沖擊率的計(jì)算方式如式（4）所示

綜上所述，城軌列車速度曲線多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下

2 改進(jìn)的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法

本文采用自適應(yīng)的變異因子與交叉概率代替差分進(jìn)化算法（differential evolution，DE）的固定參數(shù)策略，同時(shí)引入多變異策略，并對(duì)初始化方式進(jìn)行改進(jìn)，以進(jìn)一步提升算法性能。

2.1 精英鏡像初始化策略

為提高初始化種群的多樣性，本文首先采用透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略得到含相反解的兩個(gè)種群，接著，對(duì)這兩個(gè)種群進(jìn)行非支配排序和擁擠度距離排序，得到一組優(yōu)秀的個(gè)體。最后，從這些優(yōu)秀的個(gè)體中選擇出所需數(shù)量的種群。

2.2 參數(shù)自適應(yīng)更新策略

DE算法的相關(guān)參數(shù)對(duì)算法優(yōu)化性能具有重要影響?？s放因子F決定了差分向量對(duì)變異個(gè)體的影響程度，在進(jìn)化過程中設(shè)置較大的縮放因子能保持種群多樣性但會(huì)減慢收斂速度，反之可以加快收斂速度但難保持多樣性；交叉概率（crossover rate，CR）能影響算法的局部搜索能力和全局搜索能力的平衡，當(dāng)CR越大，變異個(gè)體對(duì)試驗(yàn)個(gè)體的貢獻(xiàn)越多，有利于局部搜索和加快收斂速度；反之，當(dāng)CR越小，有利于種群的多樣性和全局搜索[13]。

然而傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法的參數(shù)值均是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)所得的，無法實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整。為使算法在進(jìn)化過程中逐漸從全局搜索轉(zhuǎn)到局部搜索，本文采用如式（6）所示遞減的數(shù)學(xué)函數(shù)模型作為變異因子F，而針對(duì)交叉概率，本文結(jié)合文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了隨迭代次數(shù)自適應(yīng)非線性變化的交叉概率，公式如式（7）所示

式中：Fmin，F(xiàn)max為縮放因子F的最小值和最大值；G為當(dāng)前迭代次數(shù)，Gmax為最大迭代次數(shù)；CRmin，CRmax分別為交叉概率的最小值和最大值。

2.3 多策略變異方法

常見的3種變異模式[13]如式（8）～式（10）所示

式中：“rand”為以隨機(jī)方式從種群中抽取進(jìn)行差分運(yùn)算的個(gè)體；“best”為從種群中選擇適應(yīng)度值最優(yōu)的個(gè)體。DE/rand/1策略的新個(gè)體是通過3個(gè)隨機(jī)選擇的個(gè)體之間的差異向量變異得到的，可以提高種群多樣性；DE/best/1策略中新個(gè)體是通過當(dāng)前種群中最優(yōu)個(gè)體與2個(gè)隨機(jī)個(gè)體之間的差異向量進(jìn)行變異得到的，能夠提升個(gè)體的收斂性。為平衡算法收斂性和多樣性，結(jié)合遺傳算法中的輪盤賭選擇，融合以上3種變異策略，提出了一種多策略的變異方法。

3種變異策略的具體選擇方式如下

為一個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)[14]，用以實(shí)現(xiàn)算法動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)不同進(jìn)化時(shí)期的重點(diǎn)搜索方向，使得改進(jìn)后的算法在早期具備更強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，在后期則具備更穩(wěn)定的收斂性能[15]。

2.4 IMODE算法執(zhí)行偽代碼

3 改進(jìn)多目標(biāo)差分進(jìn)化算法測(cè)試

3.1 測(cè)試函數(shù)

本文選擇多目標(biāo)優(yōu)化問題中常用的ZDT系列標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)[16]中的5個(gè)測(cè)試函數(shù)，進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)通過與多目標(biāo)灰狼優(yōu)化算法[17]（multi-objective grey wolf optimizer，MOGWO）、非支配排序的遺傳算法-Ⅱ[18]（NSGA-Ⅱ）、非支配排序的遺傳算法-Ⅲ[19]（non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅱ，NSGA-Ⅲ）、多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法[20]（multi-objective particle swarm optimization，MOPSO）、強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法2[21]（SPEA2）、基于網(wǎng)格的進(jìn)化算法[22]（grid-based evolutionary algorithm，GrEA）等一些經(jīng)典成熟的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行比較，進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)算法的優(yōu)越性。

3.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文采用綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)反世代距離（inverted generational distance，IGD）對(duì)不同算法的綜合性能進(jìn)行評(píng)價(jià)[23]。

IGD定義為

di計(jì)算的是Pareto近似前沿P上的參考點(diǎn)p與最近的解xi之間的歐氏距離。

3.3 算法測(cè)試結(jié)果

算法測(cè)試過程中所采用對(duì)比算法的參數(shù)設(shè)置與參考文獻(xiàn)[17-22]一致，只是種群規(guī)模與算法的最大迭代次數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為種群規(guī)模NP=200，最大迭代次數(shù)Gmax=200，外部存檔數(shù)P=100。在計(jì)算過程中，為保證所得結(jié)果的魯棒性，本文將所采用的算法獨(dú)立均運(yùn)行10次，所求得的具體數(shù)值如表1所示。

表1展示的是IMODE算法及6種對(duì)比算法在所選取的5個(gè)ZDT測(cè)試函數(shù)上IGD指標(biāo)計(jì)算結(jié)果。從表中可以看出，除了NSGA-Ⅱ算法在ZDT6測(cè)試函數(shù)所得的均值最優(yōu)之外，IMODE在其他測(cè)試函數(shù)的結(jié)果無論在均值還是標(biāo)準(zhǔn)差上均為最優(yōu)。因此本文所提改進(jìn)后的算法在IGD性能方面相比于其他對(duì)比算法具有更大的優(yōu)勢(shì)，證明了本文所提IMODE算法的優(yōu)越性。

4 實(shí)例仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證提出的IMODE算法對(duì)于城軌列車運(yùn)行過程多目標(biāo)優(yōu)化的有效性，本文針對(duì)南昌地鐵一號(hào)線某全長(zhǎng)2 031.39 m的區(qū)間A-B線路進(jìn)行實(shí)例研究。在該區(qū)段上，站間限制速度為80 km/h，列車編組規(guī)格為6節(jié)編組，4動(dòng)2拖，動(dòng)車質(zhì)量47.8 t，拖車質(zhì)量48 t，列車牽引/制動(dòng)特性曲線如圖1所示。

城軌列車區(qū)間運(yùn)行控制是通過牽引、巡航、惰行、制動(dòng)4種運(yùn)行工況之間的轉(zhuǎn)換來實(shí)現(xiàn)列車運(yùn)行控制的。根據(jù)文獻(xiàn)[4]對(duì)列車固定運(yùn)行策略下運(yùn)行能耗與區(qū)間長(zhǎng)度關(guān)系的研究，對(duì)于南昌地鐵一號(hào)線區(qū)間A-B采用四工況的運(yùn)行轉(zhuǎn)換方式（牽引-巡航-惰行-制動(dòng)）。同時(shí)為保證列車停車的精準(zhǔn)性，本文采用回溯法對(duì)列車制動(dòng)過程進(jìn)行處理。本文以準(zhǔn)時(shí)性、能耗、舒適度為優(yōu)化目標(biāo)建立優(yōu)化模型，為方便計(jì)算，在優(yōu)化過程中，將列車在不同工況下的持續(xù)時(shí)間作為優(yōu)化變量，采用IMODE算法進(jìn)行求解。算法的種群規(guī)模、迭代次數(shù)及外部存檔數(shù)，對(duì)算法的運(yùn)算速度均有影響，經(jīng)過多次仿真調(diào)試，參數(shù)設(shè)置為：NP=50，Gmax=100，P=100。仿真所得的列車速度曲線Pareto解集如圖2所示。

Pareto解集中的個(gè)體就代表著不同的v-s曲線運(yùn)行方案，個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值代表著方案的優(yōu)劣。從圖2中可以直觀的看出，不同方案對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度之間是相互制約的。Pareto前沿解中，不同指標(biāo)占優(yōu)下的個(gè)體是不同的，這就為其他需求下的列車運(yùn)行提供了選擇。

為直觀展示計(jì)算結(jié)果，在優(yōu)化得到每種運(yùn)行工況的持續(xù)時(shí)間后，通過計(jì)算求得列車不同工況的工況轉(zhuǎn)化點(diǎn)。經(jīng)過仿真求解，得到100組不同的運(yùn)行v-s運(yùn)行方案，具體的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

從圖2及表2的多目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果不難看出，各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)間存在互相影響、互相制約的關(guān)系，其中某一指標(biāo)最佳時(shí)其余指標(biāo)并沒有達(dá)到最優(yōu)效果。為驗(yàn)證所得Pareto解集的有效性，以Pareto解中能耗最低的v-s曲線100與列車2023年3月某日的實(shí)際運(yùn)行曲線進(jìn)行對(duì)比如圖3所示。從中可以看出，優(yōu)化曲線通過延長(zhǎng)列車惰行距離，充分利用線路坡度，實(shí)現(xiàn)了節(jié)能運(yùn)行。

對(duì)于每個(gè)運(yùn)行區(qū)間都可以得到一組Pareto最優(yōu)前沿，通過分析Pareto前沿，決策者可以了解不同目標(biāo)之間的權(quán)衡關(guān)系，并可以根據(jù)具體情況選擇最符合實(shí)際需求的解決方案。

5 結(jié)論

針對(duì)城軌列車速度曲線優(yōu)化問題，本文以準(zhǔn)時(shí)性、運(yùn)行能耗和舒適度為優(yōu)化目標(biāo)，建立了城軌列車運(yùn)行過程的多目標(biāo)優(yōu)化模型；提出了一種改進(jìn)的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法對(duì)該問題求解。為驗(yàn)證算法性能，進(jìn)行了算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)和實(shí)例仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與其他6種算法相比，所提IMODE算法在綜合性能方面具有一定的優(yōu)越性，且IMODE算法在實(shí)際城軌列車運(yùn)行曲線優(yōu)化問題方面具有可行性和實(shí)用性，對(duì)城軌列車運(yùn)行優(yōu)化和調(diào)度具有一定的輔助和參考意義。

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第一作者：周艷麗（1983—），女，講師，博士研究生，研究方向?yàn)檐壍澜煌ㄟ\(yùn)行優(yōu)化與控制。E-mail：yanlizhou@ecjtu.edu.cn。

通信作者：楊輝（1965—），男，博士，教授，研究方向?yàn)檐壍澜煌ㄟ\(yùn)行優(yōu)化與控制、復(fù)雜系統(tǒng)建模、控制與優(yōu)化等。E-mail：yhshuo@263.net。

（責(zé)任編輯：李 根）