李軍

摘 要：新課程、新教材、新高考的貫徹和落實(shí)，使核心素養(yǎng)成為教育工作的核心所在，旨在幫助學(xué)生提高自身能力。其中，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要前提和基礎(chǔ)。然而實(shí)際上，高中階段學(xué)生所展現(xiàn)出來的運(yùn)算能力相對(duì)較差一些，這不僅會(huì)影響自身成績(jī)的提高，還會(huì)對(duì)思維能力、空間能力培養(yǎng)造成制約和阻礙。文章以分析運(yùn)算素養(yǎng)的基本內(nèi)涵以及培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)需要遵循的原則為出發(fā)點(diǎn)，研究影響運(yùn)算能力提升因素，并以“解三角中的最值問題”為例，探討如何在新高考視角下培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的策略，以期能夠促進(jìn)學(xué)生協(xié)同發(fā)展、綜合發(fā)展。

關(guān)鍵詞：新高考視角；數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；培養(yǎng)策略

新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施不僅明確數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵、內(nèi)容，新高考的提出也將高考重心轉(zhuǎn)移到核心素養(yǎng)考查上，這就要求高中數(shù)學(xué)教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)方向，切實(shí)提高核心素養(yǎng)重視程度?；趯W(xué)生角度分析，運(yùn)算能力可以說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的開端，但在高中階段教學(xué)中，因?yàn)楦鞣N因素造成的影響使學(xué)生參與運(yùn)算的機(jī)會(huì)少之又少，最終在日常作業(yè)、考試中出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤的概率相對(duì)較高的現(xiàn)象，而最終將問題歸結(jié)為做題粗心，并未從根本上尋找解決這一問題方法，導(dǎo)致數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)局限在自身能力范圍內(nèi)，無法實(shí)現(xiàn)有效培養(yǎng)和提升。

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的基本內(nèi)涵以及需要遵循的原則

（一）數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的基本內(nèi)涵

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)這門學(xué)科核心素養(yǎng)之

一[1]。對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)來說，學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)以相應(yīng)的計(jì)算法則為基準(zhǔn)，圍繞數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象展開全方位、多角度的剖析，確定運(yùn)算目標(biāo)，完成計(jì)算，其間，除了能夠直接運(yùn)用運(yùn)算法則尋求正確答案外，還可利用與運(yùn)算對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)，得出解決問題路徑，既能提高學(xué)生運(yùn)算能力，又能降低運(yùn)算錯(cuò)誤發(fā)生率，使解題準(zhǔn)確度得到顯著提升。

（二）培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)需要遵循的原則

新高考視角下培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的原則可以從靈活性、趣味性兩點(diǎn)來說。第一，靈活性原則。具備較高復(fù)雜性、抽象性是高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)所在，并且在實(shí)際學(xué)習(xí)中常常伴隨突發(fā)情境的發(fā)生，所以并不能完全按部就班地實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，故在培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)過程中要遵循靈活性原則，通過設(shè)計(jì)靈活度較強(qiáng)的教學(xué)活動(dòng)以及強(qiáng)化自身靈活變通性，同時(shí)結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況做出合理預(yù)設(shè)，避免在課堂教學(xué)中出現(xiàn)僵化現(xiàn)象，不僅能提高教師課堂應(yīng)變能力、優(yōu)化教學(xué)方式，還能使課堂教學(xué)質(zhì)量和效率得到顯著提升。第二，趣味性原則。由于高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)具備一定復(fù)雜性，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥、乏味的感覺，降低數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)興趣。為此教師要遵照趣味性原則，通過營(yíng)造充滿趣味性的課堂氛圍，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性，進(jìn)而萌生探索知識(shí)欲望。另外，教師還要在充分觀察和了解學(xué)生發(fā)展特征基礎(chǔ)上，增強(qiáng)教學(xué)設(shè)計(jì)的科學(xué)性，使學(xué)生保有較高學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算素養(yǎng)的有效培養(yǎng)和提升。

二、新高考視角下影響數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的因素

根據(jù)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，影響高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的因素主要是由思維定式、缺乏解題反思習(xí)慣、不具備良好數(shù)學(xué)思維意識(shí)，以及運(yùn)算過程欠缺一定嚴(yán)謹(jǐn)性造成的。第一，思維定式。高中階段的學(xué)生已經(jīng)擁有一定解題能力、思維和學(xué)習(xí)方法，所以在學(xué)完某一知識(shí)點(diǎn)后經(jīng)常性地選擇運(yùn)用自己的方法解決問題，這就是思維定式。雖然說思維定式在促進(jìn)學(xué)生能力提升上具有積極作用，但在長(zhǎng)期思維定式影響下很容易讓學(xué)生從思維上產(chǎn)生惰性，不再主動(dòng)思考運(yùn)用其他方式解決問題，不利于數(shù)學(xué)思考、思維能力發(fā)展，久而久之，就會(huì)影響運(yùn)算能力培養(yǎng)。第二，未養(yǎng)成解題反思習(xí)慣。上述提到高中數(shù)學(xué)知識(shí)具備一定復(fù)雜性，計(jì)算過程中極易出現(xiàn)迷茫心理、進(jìn)入計(jì)算盲區(qū)，導(dǎo)致所學(xué)形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)、重點(diǎn)知識(shí)整理缺乏一定完整性，尤其是在運(yùn)算結(jié)束后，大部分學(xué)生認(rèn)為只需要掌握一種解題方法即可，不會(huì)再轉(zhuǎn)換思維，主動(dòng)尋求其他解題方法[2]。此外，教師在針對(duì)某一題目講解時(shí)，為了讓學(xué)生了解知識(shí)重點(diǎn)，就會(huì)忽略題目的簡(jiǎn)便運(yùn)算方式引導(dǎo)，這是缺乏反思意識(shí)培養(yǎng)的直接體現(xiàn)。要知道，如果缺少了思維引導(dǎo)，將不利于運(yùn)算能力、運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)。第三，缺乏數(shù)學(xué)思維意識(shí)，數(shù)學(xué)教育不單單是運(yùn)算方法的教授，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性的邏輯思維意識(shí)也是非常重要的。故需要運(yùn)用相同類型的數(shù)學(xué)題目，通過不斷分析、探索帶領(lǐng)學(xué)生逐漸掌握解題方法、解題規(guī)則，此過程思維意識(shí)占據(jù)重要地位。第四，運(yùn)算過程不嚴(yán)謹(jǐn)，是否能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)算素養(yǎng)的有效培養(yǎng)與學(xué)生本身有著密不可分的關(guān)系，比如，運(yùn)算開始前未能認(rèn)真審題，那么后邊的解題思路、解題方法都會(huì)出現(xiàn)偏差；如果解題不認(rèn)真、不仔細(xì)，就會(huì)無法將所學(xué)知識(shí)充分運(yùn)用到解題過程，除了會(huì)使結(jié)果出現(xiàn)誤差外，還不利于運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)。

三、新高考視角下數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的有效策略

（一）規(guī)范思考，培養(yǎng)科學(xué)精神

數(shù)學(xué)運(yùn)算是在圍繞運(yùn)算規(guī)則基礎(chǔ)上展開的邏輯推理，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)一方面能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，另一方面能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范化思考習(xí)慣、學(xué)習(xí)品質(zhì)，培養(yǎng)“嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)”的科學(xué)精神?，F(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的“會(huì)而不對(duì)、會(huì)而不簡(jiǎn)以及解不全、解不優(yōu)”等問題給學(xué)生帶來極大挑戰(zhàn)。為此，數(shù)學(xué)教師要合理設(shè)計(jì)運(yùn)算教學(xué)程序，通過提高運(yùn)算的準(zhǔn)、精、優(yōu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

例如，在解三角形面積的取值范圍類題目時(shí)，部分學(xué)生解決問題時(shí)的思路也較為明確，知道借助正弦定理或者是余弦定理完成運(yùn)算，但是卻對(duì)到底采用哪一定理完成運(yùn)算產(chǎn)生迷茫心理[3]。此種問題解決中，當(dāng)三角形給定一個(gè)角度以及一鄰邊后，如果選擇從余弦定理著手解決的話，從本質(zhì)上來講，探索的是一個(gè)二元二次方程兩未知邊的變量關(guān)系。如果說兩未知邊是正數(shù)，那么方程就是一個(gè)圖像在第一象限的函數(shù)；如果說題目中要求去求面積或者是邊長(zhǎng)取值范圍，那么就可以從函數(shù)角度思考，借助導(dǎo)數(shù)探索該函數(shù)的性質(zhì)，求出范圍。運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從理解算理、掌握算法、探究運(yùn)算規(guī)律等方面帶領(lǐng)學(xué)生分析運(yùn)算，這樣才能做到“知其然，亦知其所以然”，進(jìn)而養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，提升運(yùn)算素養(yǎng)[4]。

（二）設(shè)計(jì)活動(dòng)，鍛煉運(yùn)算素養(yǎng)

做好高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)工作，盡可能多地開展運(yùn)算練習(xí)活動(dòng)，不僅能鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律效果，還能調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)運(yùn)算的積極主動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的學(xué)以致用[5]。為此，教師要圍繞教材內(nèi)容設(shè)計(jì)和開發(fā)一些具備較強(qiáng)針對(duì)性的運(yùn)算活動(dòng)，來培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)[6]。對(duì)于解三角形的最值問題來講，通常會(huì)借助未知條件變化解決問題，大體可以分為三種類型：其一，已經(jīng)知道一個(gè)角和一條鄰邊，求范圍；其二，題目中給出一個(gè)角和其中一個(gè)對(duì)邊，求范圍；其三，已知兩條邊，求范圍?？v觀近幾年高考例題，前兩個(gè)問題出現(xiàn)得相對(duì)頻繁，而第三類問題在全國(guó)范圍內(nèi)暫未出現(xiàn)，但是仍不能忽略教學(xué)引導(dǎo)。

學(xué)習(xí)三角形最值的問題，通常都是將正弦定理和余弦定理作為解題橋梁，運(yùn)用“知二求二”的方式將問題呈現(xiàn)出來，尋找解題路徑[7]。通過盡可能多地設(shè)計(jì)運(yùn)算活動(dòng)，能讓學(xué)生在不斷練習(xí)中加深知識(shí)理解、掌握運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升。

（三）經(jīng)典剖析，掌握運(yùn)算規(guī)律

高中階段的學(xué)生已經(jīng)具備相對(duì)扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且大腦中擁有相對(duì)完善的知識(shí)體系，所以可以運(yùn)用相對(duì)清晰的解題思路和辨析能力分析題目中的運(yùn)算條件。然而，因基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)是相互交通的，雖然能夠明確解題思路，但在實(shí)踐應(yīng)用中在探究方向這方面缺乏一定敏銳度、靈活性，需要后期訓(xùn)練和多加磨合，為此，教師要收集一些經(jīng)典例題，帶領(lǐng)學(xué)生展開深入剖析、歸納和總結(jié)，以此來探尋更為簡(jiǎn)便、合理的運(yùn)算途徑，積累經(jīng)驗(yàn)，掌握規(guī)律。

以2015年高考真題（全國(guó)卷）中一題為例，假設(shè)的內(nèi)角Ａ、Ｂ、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=btanA，并且內(nèi)角B為鈍角。求sinA+sinC的取值范圍。

此題的運(yùn)算是以已知條件的一個(gè)邊角關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，分析A與B兩者關(guān)系，進(jìn)而得出C與A的關(guān)系，也就是C=（π/2）-2A。從角的結(jié)構(gòu)特征來看，其中包含了誘導(dǎo)公式和二倍角關(guān)系，可以判斷出。而余弦定理中的二倍角公式中囊括較為豐富的二次關(guān)系，不僅能幫助學(xué)生在腦海中建立關(guān)于正弦、余弦二次函數(shù)模式，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方式解決最值問題。值得一提的是，解答過程對(duì)重要角的范圍、三角函數(shù)范圍求解予以高度關(guān)注，這樣才能較為精準(zhǔn)地求出二次函數(shù)最值。針對(duì)此題展開重點(diǎn)分析，還可將其做出以下變式：

對(duì)于解三角形問題的題型，主要考查三角函數(shù)的概念、和差半誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理的知識(shí)掌握情況以及知識(shí)運(yùn)用能力。其中與同角的關(guān)系為sin2A+cos2A=1；余弦的二倍角公式為cos2A=2cos2A-1=1-2sin2A……這些都屬于二次型結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生在面對(duì)解三角形問題中經(jīng)常出現(xiàn)的一邊或者某一個(gè)角，以三角函數(shù)為變?cè)亩魏瘮?shù)[8]。

四、新高考視角下培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的教學(xué)反思與探究

上述題型屬于中檔題的范疇，具有解法多樣、計(jì)算量適當(dāng)?shù)蕊@著特征。但就不同解法之間，其計(jì)算量也是存在明顯差異的，所以，學(xué)生選擇也就成為得分難易程度的關(guān)鍵。上述題目大約有66%的學(xué)生存在扣分情況，得分在一半及以下的學(xué)生占到了35%，這也是數(shù)學(xué)運(yùn)算方面能力不足的直接體現(xiàn)。對(duì)此，通過切實(shí)可行的策略提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)顯得尤為緊迫。

（一）加大對(duì)知識(shí)相關(guān)性的重視度

任何知識(shí)都不是孤立存在的，數(shù)學(xué)知識(shí)也不例外，且系統(tǒng)性和邏輯性較強(qiáng)，那么如何遴選和把握整體教學(xué)的線索呢？基于此，可以教材為基礎(chǔ)，將相關(guān)性強(qiáng)的知識(shí)納入同一單元教學(xué)當(dāng)中，打破以往知識(shí)被冊(cè)、章節(jié)割裂的局面。之后，立足知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別，通過引導(dǎo)幫助學(xué)生清晰掌握知識(shí)之間的來龍去脈，增強(qiáng)所學(xué)知識(shí)的全面性和系統(tǒng)性，由此一來，可以有效減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和壓力，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)核心概念的把握，同時(shí)也有助于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升。

（二）聚焦常識(shí)性算法的積累

新課標(biāo)提到，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指以明晰運(yùn)算對(duì)象為基礎(chǔ)，結(jié)合運(yùn)算法則進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決的素養(yǎng)?！八幕焙粚?shí)與發(fā)展能夠?yàn)閷W(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升則需要教師發(fā)揮自身引導(dǎo)作用，讓學(xué)生對(duì)算理有清晰的了解，并以此為基礎(chǔ)熟練掌握算法，借助具體問題分析和解決從中感知數(shù)學(xué)基本思想，并逐漸累積處理對(duì)象方法、靈活使用運(yùn)算法則策略以及優(yōu)化運(yùn)算思路的經(jīng)驗(yàn)。算理能夠?yàn)樗惴ㄌ峁┮罁?jù)，當(dāng)明晰算理之中行為時(shí)，也就賦予了算理更強(qiáng)的操作性，并不僅僅是簡(jiǎn)單、機(jī)械化的計(jì)算，更不是數(shù)字游戲，而是能力的直接反映和個(gè)人素養(yǎng)的充分體現(xiàn)。算法在算理支撐下也更加鮮活，教師在開展日常教學(xué)時(shí)可以加大對(duì)算理、算法的重視力度，并著重強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)注意常識(shí)性算法的積累，由此實(shí)現(xiàn)常識(shí)性算法程序化。

例如“求未知數(shù)找方程”“n個(gè)未知數(shù)需要n個(gè)方程（條件）”“求范圍找不等式”等題目，就可以為學(xué)生找出解決思路提供一定的幫助，進(jìn)而得出運(yùn)算結(jié)果。這不僅是高中數(shù)學(xué)常識(shí)，而且也為解決數(shù)學(xué)問題提供了明確的方向。針對(duì)此考題，我們可以將其等同于“求x的值”問題，其中，x為“求D、A之間的距離”，這樣即可以通過△CAD和中公共角CAD，結(jié)合余弦定理構(gòu)建方程組，獲得解法一。提高對(duì)算法教學(xué)和常識(shí)性算法的積累，應(yīng)將其貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中，尤其是要注重引導(dǎo)學(xué)生回顧并反思整個(gè)解題過程，從中總結(jié)、提煉出與數(shù)學(xué)本質(zhì)概念和算法接近的內(nèi)容，幫助學(xué)生獲取到解決問題的切入口。

結(jié)束語

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，而是需要在教師的有效指導(dǎo)中逐漸養(yǎng)成，為此，教師要對(duì)需要培養(yǎng)學(xué)生什么能力、運(yùn)用什么樣的方法有一個(gè)深入了解，同時(shí)，通過深入觀察、分析和研究自身教學(xué)行為，在做到揚(yáng)長(zhǎng)避短的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。

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本文系廈門市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“新高考視角下數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：21063）的研究成果。