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從“感悟”到“論證”再到“應(yīng)用”

2023-11-11 01:37:40浦夢婷
初中生世界·八年級 2023年10期
關(guān)鍵詞:高線頂角平分線

浦夢婷

第二章 軸對稱圖形

領(lǐng)? 銜? 人:朱建良(正高級教師、江蘇省特級教師)

組稿團(tuán)隊(duì):江蘇省太倉市朱建良名師工作室(初中數(shù)學(xué))

“軸對稱圖形”是蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊第二章內(nèi)容。初中階段幾何圖形有三大基本變化:平移、旋轉(zhuǎn)、翻折。下面,我們一起來了解本章的具體內(nèi)容。

一、動(dòng)手操作,感悟概念

本章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容從“軸對稱與軸對稱圖形”出發(fā),理解“軸對稱的性質(zhì)”,從而“設(shè)計(jì)軸對稱圖案”,再將軸對稱中的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到“線段與角的軸對稱性”和“等腰三角形的軸對稱性”。先從生活實(shí)際出發(fā),找出生活中的軸對稱,再抽象到數(shù)學(xué)模型,感悟從特殊到一般。

同學(xué)們在學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí),往往先觀察,形成初步了解。比如,研究等腰三角形的軸對稱性時(shí),很多同學(xué)通過觀察能夠得到“等腰三角形是軸對稱圖形、頂角平分線是對稱軸”以及“等腰三角形兩底角相等”,除此以外很難再發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論。但是,通過將等腰三角形兩腰進(jìn)行折疊重合,我們就能夠得到“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(三線合一)”這個(gè)性質(zhì)。

二、論證推理,明確概念

在動(dòng)手操作的過程中,同學(xué)們對所學(xué)知識(shí)有了基礎(chǔ)的感悟,但這也只能是“猜想”。在數(shù)學(xué)上,我們稱之為“定理”的,都必須要經(jīng)過嚴(yán)密的論證推理過程。

例1 如圖1,在等腰三角形ABC中,證明:等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合(三線合一)。

證明:(方法一)作AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD。

由題可得,AB=AC,AD=AD。

在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SAS)。

∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°。

∴AD是△ABC底邊上的高線、中線及頂角平分線。

(方法二)取BC中點(diǎn)D,連接AD。通過“SSS”可證△ABD≌△ACD,從而得到AD⊥BC,AD平分∠BAC。

(方法三)作AD⊥BC,通過“HL”可證Rt△ABD≌Rt△ACD,從而得到AD平分∠BAC,BD=CD。

通過上述論證的過程,我們利用全等三角形的證明,將數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)在一起,增加知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系,感受到數(shù)學(xué)的樂趣。

三、應(yīng)用知識(shí),提升能力

以一道典型題及解法作為根本﹐我們再深入研究和討論其他例題。在應(yīng)用知識(shí)的過程中,我們應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)規(guī)律的揭示、解題策略的優(yōu)化、合情推理與演繹推理的融合﹐目的是利用圖式啟智﹐探索和發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。

例2 如圖2,在△ABC中,AB=AC,D為線段BC上一點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F,且DE=DF,求證:BD=CD。

證明:連接AD。

∵DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,

∴∠BAD=∠CAD。

又∵AB=AC,

∴BD=CD。

本題將“軸對稱圖形”中的知識(shí)點(diǎn)融合,包含了“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”和“等腰三角形三線合一”兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。同學(xué)們也可嘗試通過全等證明,對比兩種方法,選擇適合自己的方法。

數(shù)學(xué)知識(shí)層層遞進(jìn),新老知識(shí)聯(lián)系緊密。因此,我們要學(xué)會(huì)推理,不斷思考,才能提升數(shù)學(xué)能力。

(作者單位:江蘇省太倉市第一中學(xué))

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