高丙麗　曹孝杰

摘 要：為研究地震作用下巖石動態(tài)開裂的復(fù)雜問題，基于最大周向應(yīng)力準則，考慮非奇異應(yīng)力三分量及地震作用，推導(dǎo)出了適用于地震作用下的裂紋擴展角度判據(jù)；采用霍普金森拉桿試驗結(jié)果對修正裂紋擴展角度判據(jù)可靠性進行驗證，針對驗證過程中樣本數(shù)較少的情況，基于貝葉斯理論，開發(fā)了巖石領(lǐng)域小樣本問題后驗分布估計程序，并采用該程序進一步驗證修正裂紋擴展角度判據(jù)的可靠性。結(jié)果表明：在霍普金森拉桿試驗中，MCTS試樣可以通過施加位移約束，實現(xiàn)可控模式復(fù)合比的復(fù)合型加載；最大周向應(yīng)力判據(jù)、修正最大周向應(yīng)力判據(jù)對霍普金森拉桿試驗中的MCTS試樣裂紋擴展角度預(yù)測值平均誤差分別為1.6°、1.37°；以試驗值、最大周向應(yīng)力判據(jù)預(yù)測值、修正最大周向應(yīng)力判據(jù)預(yù)測值為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)運行Gibbs算法分別進行十萬次迭代，求得這三種情況下的裂紋擴展角度均值分別為50.64°、48.96°、49.45°，修正最大周向應(yīng)力判據(jù)與最大周向應(yīng)力判據(jù)相比，其預(yù)測誤差由3.32%降低到了2.35%，表明其在地震作用下具有良好的適用性。研究對地震作用下的邊坡危巖減抗震設(shè)計及其風險控制具有重要意義。

關(guān)鍵詞：地震作用；非奇異應(yīng)力；裂紋擴展；霍普金森拉桿；貝葉斯理論

中圖分類號：TU 452文獻標志碼：A 文章編號：1672-9315（2023）05-0980-08

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2023.0515

Research on rock crack propagation angle? under earthquake action

GAO Bingli，CAO Xiaojie

Abstract：In order to study the complex problem of dynamic cracking of rocks under earthquake action，a crack propagation angle criterion is derived based on the maximum circumferential stress criterion，with the non-singular stress triplet component and earthquake action in view.The posterior distribution estimation procedure for small sample problems in the domain is designed based on Bayesian theory，and the procedure is used to further verify the reliability of the modified crack propagation angle criterion.The results show that the MCTS specimens in split Hopkinson tension bar test can be loaded in a composite manner with controlled mode composite ratio by applying displacement constraints.The average errors of the predicted values of the maximum circumferential stress criterion and the modified maximum circumferential stress criterion for the crack propagation angle of MCTS specimens in split Hopkinson tension bar test are 1.6° and 1.37°，respectively.The Gibbs algorithm was run for 100 000 iterations to obtain the mean values of 50.64°，48.96° and 49.45° for the crack propagation angles in these three cases，respectively，and the prediction error of the modified maximum circumferential stress criterion was reduced from 3.32% to 2.35% compared with that of the maximum circumferential stress criterion，which shows that it has good applicability under earthquake effects.The study is of great significance for the seismic design of slope hazardous rock and its risk control under seismic action.

Key words：earthquake action；T－stress；crack propagation；Hopkinson tension bar；Bayesian theory

0 引 言

無論是危巖體，還是礦山、巖質(zhì)邊坡、隧道等巖體工程中的巖石，他們在外界環(huán)境中的破裂與失穩(wěn)，都是其內(nèi)部微裂紋起裂、擴展、貫通的宏觀表現(xiàn)[1-3]。因此，對巖石中裂紋擴展特性進行研究，一直是當今巖石破壞與失穩(wěn)研究的熱點問題。巖石裂紋擴展準則及其相關(guān)判據(jù)的研究已經(jīng)受到許多關(guān)注[4-5]，但是動荷載作用下，尤其是地震等波動作用下的裂紋擴展特性研究仍存在很多不足。建立適用于地震作用下的裂紋動態(tài)擴展判據(jù)，是準確分析地震作用下巖體工程穩(wěn)定性的前提。

廣義最大周向應(yīng)力準則（GMTS）被廣泛應(yīng)用于巖石裂紋擴展研究中，但是其僅考慮了節(jié)理尖端應(yīng)力場分布中奇異應(yīng)力項的影響，而忽略了非奇異應(yīng)力項（T應(yīng)力）的影響[6-8]。隨著研究逐漸深入，學者發(fā)現(xiàn)T應(yīng)力對裂紋擴展方向，擴展角度及裂紋擴展穩(wěn)定性等方面都存在一定影響。COLOMBO等認為正T應(yīng)力會使得裂紋尖端應(yīng)力集中更為明顯，而負T應(yīng)力則會屏產(chǎn)生屏蔽效應(yīng)，這使得斷裂韌度會隨著T應(yīng)力的改變而改變[9]。MATVIENKO等對石灰?guī)r混合型裂紋的斷裂擴展角進行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)考慮T應(yīng)力后斷裂擴展角與試驗結(jié)果更為接近[10]。SIMTH等研究了復(fù)合型外荷載作用下，當裂紋為直線形時，T應(yīng)力對其開裂角度和脆性斷裂的影響[11]。但是上述研究結(jié)果均只考慮了T應(yīng)力沿裂紋面方向的應(yīng)力分量Tx，隨著研究的深入，學者對平行和垂直于裂紋表面的T應(yīng)力分量同時展開了研究。LI等研究了壓縮條件下的閉合裂紋，發(fā)現(xiàn)沿裂紋方向的分量Tx和垂直于裂紋方向的分量Ty在裂紋尖端同時存在，并發(fā)現(xiàn)Tx將減小翼裂紋起裂角，并增加Ⅱ型裂紋的斷裂韌度，而Ty則增加翼裂紋起裂角，并增加Ⅱ型裂紋的斷裂韌度[12]。唐世斌等發(fā)現(xiàn)非奇異應(yīng)力項Tx，Ty會影響壓剪巖石裂紋起裂及擴展[13]。王俊杰等引入相對鈍化系數(shù)和相對臨界尺寸，建立了考慮裂縫幾何特性和Tx，Ty的壓剪張拉斷裂準則。學者們對T應(yīng)力的研究使得最大周向應(yīng)力準則的使用范圍和精確性得到了提高[14]。

現(xiàn)有研究大部分只考慮了平行（Tx）和垂直（Ty）于裂紋表面的T應(yīng)力分量，而忽略了T應(yīng)力分量Txy。而且研究集中在靜力或擬靜力作用下的巖石，對動荷載作用下，尤其是地震等波動作用下的裂紋擴展特性研究仍存在很多不足。在地震等波動作用下，巖石裂紋面可能會發(fā)生閉合，此時裂紋面之間將在外力作用下相互影響并產(chǎn)生摩擦作用。摩擦力的存在勢必阻止裂紋面的相互滑動，因此Txy不應(yīng)被忽略。更關(guān)鍵的是學者對動荷載作用下的裂紋擴展準則研究聚焦于對動態(tài)應(yīng)力強度因子的求解上。隨著應(yīng)變片以及光學測量技術(shù)的發(fā)展，學者們對相對位移法[15]、J積分法[16]、應(yīng)變片法[17]等動態(tài)應(yīng)力強度因子計算方法展開了研究，并且取得了一些成果[18-20]。但是卻忽略了動荷載本身也會對裂紋尖端應(yīng)力場產(chǎn)生影響，這使得采用現(xiàn)有裂紋擴展準則無法很好的預(yù)測地震等動荷載作用下的巖石裂紋擴展。

通過考慮T應(yīng)力三分量及地震作用，對GMTS準則進行了修正，使其能準確預(yù)測地震作用下的巖石裂紋擴展角度。并采用霍普金森拉桿試驗數(shù)據(jù)對其可靠性進行驗證。針對試驗數(shù)據(jù)較少的情況，基于Bayes理論，采用Open BUGS語音編寫了巖石領(lǐng)域小樣本問題后驗分布估計程序，從而對試驗和理論推導(dǎo)數(shù)據(jù)進行再處理，形成均值化指標，進一步驗證了修正GMTS準則的有效性。

1 修正GMTS準則的推導(dǎo)

裂隙巖石常處于多向受壓的力學環(huán)境中，其裂紋擴展力學模型可以簡化如圖1所示。

分析地震作用對巖體應(yīng)力狀態(tài)影響的常用方法是將地震力轉(zhuǎn)化為應(yīng)力形式。其步驟為先將地震波的加速度利用公式變換成速度時程，然后根據(jù)巖石動力學中的波動理論公式，即可得到地震產(chǎn)生的動應(yīng)力公式。

考慮地震作用的裂隙巖石裂紋擴展力學模型如圖2所示。其在壓縮條件下的裂紋擴展力學模型的基礎(chǔ)上，考慮了地震產(chǎn)生的豎向應(yīng)力σn和地震產(chǎn)生的水平應(yīng)力σs。

為了研究地震作用對巖石裂紋擴展的影響，取裂紋尖端微單元（圖3）進行分析。其中r為極徑；θ為極角；σθ，σr和τrθ分別為周向應(yīng)力、徑向應(yīng)力和剪應(yīng)力。

為了更加直觀的表達裂紋尖端的應(yīng)力場，WILLIAMS將裂尖應(yīng)力場展開為滿足裂紋面應(yīng)力邊界條件的一系列特征函數(shù)的求和[21]，其中奇異應(yīng)力項為KⅠ或KⅡ，在裂紋尖端起主導(dǎo)作用。非奇異應(yīng)力項即T應(yīng)力，對裂紋尖端的影響隨著臨界尺寸的增大而增大。現(xiàn)有研究大部分只考慮了平行（Tx）和垂直（Ty）于裂紋表面的T應(yīng)力分量，而忽略了T應(yīng)力分量Txy。在地震等波動作用下，巖石裂紋面可能會發(fā)生閉合，此時裂紋面之間將在外力作用下相互影響并產(chǎn)生摩擦作用。摩擦力的存在勢必阻止裂紋面的相互滑動，因此不應(yīng)被忽略。

同時要準確計算地震荷載下的T應(yīng)力，就必須考慮地震對T應(yīng)力的影響。上文已得到地震所產(chǎn)生的豎向應(yīng)力σn和水平應(yīng)力σs，將其代入T應(yīng)力中，即可得到考慮了地震作用的T應(yīng)力三分量。將考慮了地震作用的T應(yīng)力三分量引入裂紋尖端應(yīng)力場，并取最大周向應(yīng)力準則的裂紋擴展臨界狀態(tài)，即可得到考慮T應(yīng)力三分量的最大周向應(yīng)力裂紋擴展角度判據(jù)。

為了更加直觀的體現(xiàn)修正GMTS判據(jù)與GMTS判據(jù)的區(qū)別，以中心直裂紋巴西圓盤模型（圖4）為例，取縱向載荷P=10 MPa，彈性模量E=20 GPa，泊松比μ=0.2，并假設(shè)無量綱特征距離d=0.5，σn，σs均取零，并使用MTS、GMTS、修正GMTS準則計算裂紋擴展角度預(yù)測值（圖5）。

在裂紋傾角大于45°時，MTS裂紋擴展角度預(yù)測值（黑色曲線）大于GMTS裂紋擴展角度預(yù)測值（紅色曲線）和修正GMTS裂紋擴展角度預(yù)測值（藍色曲線），說明T應(yīng)力對擴展角存在抑制作用，減小了擴展角。在裂紋傾角小于45°時，則恰好相反，T應(yīng)力會使擴展角增大。

而GMTS、修正GMTS裂紋擴展角度預(yù)測值曲線存在多處交叉點，表明地震作用對裂紋擴展角度沒有明顯的促進或抑制作用，相對于原始判據(jù)是否更加準確，可通過試驗測得數(shù)據(jù)進行分析。

2 試驗結(jié)果對比

聚甲基丙烯酸甲酯材料（PMMA）在低溫下會呈現(xiàn)良好的脆性，可以近似模擬巖石的脆性破裂行為，而且其均質(zhì)性可減小材料性質(zhì)對試驗結(jié)果的影響。諶赫采用PMMA材料制備MCTS試樣作為樣品，并采用霍普金森拉桿試驗系統(tǒng)以30°、45°、60°分別對MCTS試樣進行加載（圖6）[22]。

加載后試樣破碎成若干塊，并在孔邊發(fā)生破壞（圖7）。特別是加載角度30°的試樣在預(yù)制裂紋和切口處出現(xiàn)多個不同方向的裂紋，并觀察到裂紋擴展方向發(fā)生拐折，這是由于裂紋發(fā)生擴展之后加載并沒有停止而造成的持續(xù)破壞，因此應(yīng)以預(yù)制裂紋尖端處的初始擴展方向為準測量起裂角度。

基于試驗測得數(shù)據(jù)，使用文獻[23]提出的方法，得到加載角度為30°、45°、60°時MCTS試樣的動態(tài)應(yīng)力強度因子曲線（圖8）。

當加載角度為30°和45°時，應(yīng)力強度因子存在震蕩現(xiàn)象，其原因是MCTS試樣與夾具存在裝配間隙，從而導(dǎo)致加載過程中試樣孔邊發(fā)生局部滑動，其應(yīng)力波的傳播路徑也會發(fā)生偏折。從圖7也可以看出，破壞后的試樣在孔邊發(fā)生一定程度的塑性變形，在加載角度為30°時尤為明顯。

不同加載角度的MCTS試樣裂紋均在0.785 ms附近開始擴展，這表明加載角度對MCTS試樣擴展時間影響不大。不同加載角度下，KⅠ和KⅡ雖然大小不一樣，但是其變化的趨勢基本相同。尤其是加載角度為30°時，在0.735～0.785 ms，KⅠ和KⅡ的變化趨勢高度相似，這驗證了文獻[24]采用MCTS試樣來控制復(fù)合比加載的可行性。同時，和 變化趨勢相同也證明試驗所測得數(shù)據(jù)較為準確，則采用該試驗數(shù)據(jù)對修正GMTS準則進行驗證的可信度較高。

采用GMTS判據(jù)、修正GMTS判據(jù)分別計算加載角度為30°、45°、60°情況下的擴展角度預(yù)測值，其中Rc=2 mm。圖9為0.700～0.785 ms的MCTS試樣擴展角度預(yù)測值。

在3種加載角度下，修正GMTS判據(jù)與GMTS判據(jù)在裂紋擴展時刻的裂紋擴展角度預(yù)測值之間的差距并不大。但是修正GMTS判據(jù)預(yù)測的最大值大于GMTS判據(jù)，而最小值小于GMTS判據(jù)，這使得兩種判據(jù)的幅值之差已較為明顯?？梢灶A(yù)測，在振幅大，持續(xù)時間長的強震作用下，兩種判據(jù)的預(yù)測值之間的差距會進一步擴大。

將修正GMTS判據(jù)則與GMTS判據(jù)在裂紋擴展時刻的裂紋擴展角度預(yù)測值與試驗測得的裂紋擴展角度匯總見表1。

采用修正GMTS判據(jù)對裂紋擴展角度行預(yù)測，其平均誤差相對于GMTS判據(jù)由-1.60°變?yōu)榱?1.37°，擴展角度方差由3.16減少到了2.40，預(yù)測準確度明顯提升。但是文獻[23]由于只有3個MCTS試樣，只得到了3組裂紋擴展角度數(shù)據(jù)。雖然已經(jīng)使用PMMA材料來排除材料性質(zhì)對結(jié)果的影響，但由于試驗操作、試驗設(shè)備等不可控因素，試驗結(jié)果與真實值之間仍會存在一定的誤差。但由于試驗樣本數(shù)過少，采用常規(guī)數(shù)值擬合的方式會使得結(jié)果偏差較大，而數(shù)值模擬方法更多的是用來對規(guī)律進行分析。Bayes方法在處理這種小樣本問題中有著廣泛的應(yīng)用。

3 修正GMTS準則可靠性

Bayes方法[25-26]的核心是通過引入新的信息來對當前結(jié)果進行不斷的修正，伴隨引入信息量的增加，評估結(jié)果與真實結(jié)果也會越發(fā)接近。但想要獲得準確的參數(shù)值，需要大量的數(shù)據(jù)作為支撐，其成本花費巨大。計算機的發(fā)展使得樣本的迭代變得簡便，而更多次數(shù)的迭代讓結(jié)果變得更加準確。

Bayes理論在裂紋領(lǐng)域小樣本問題中有著廣泛的應(yīng)用[27]，其主要步驟如下。

先驗分布的確定是后續(xù)計算的前提，合適的先驗分布的選取能減少計算工作量并提升結(jié)果準確度。Weibull分布在可靠性評價中的應(yīng)用較為廣泛，對于巖石可靠性評價也具有良好的適用性，選用Weibull分布作為先驗分布。

聯(lián)合分布的推導(dǎo)是將Weibull分布與Bayes理論聯(lián)系的關(guān)鍵。將Weibull分布的概率密度函數(shù)代入Bayes公式，計算得到聯(lián)合分布的似然函數(shù)。

后驗分布的準確求解是方法的核心，求解的準確性直接決定可靠性研究的準確性。由于Weibull分布的復(fù)雜性，其參數(shù)后驗分布無法通過解析式求解，需借助計算機編程對其進行計算。通過Open BUGS軟件運行Gibbs算法求解Bayes后驗概率，采用BUGS語言開發(fā)了巖石領(lǐng)域小樣本后驗分布估計程序。

設(shè)置2條chains，進行一萬次迭代，當2條chains圖像均在固定區(qū)域內(nèi)，且幅值相近，則表示此時MCMC算法已收斂，可進行參數(shù)分析。設(shè)置迭代次數(shù)為十萬次，退火次數(shù)為一萬次，形狀參數(shù)K和尺度參數(shù)λ迭代過程如圖10、圖11所示。

通過對比形狀參數(shù)與尺寸參數(shù)迭代歷史圖可以發(fā)現(xiàn)，形狀參數(shù)的迭代數(shù)據(jù)相比于尺寸參數(shù)更為離散。這是因為在Weibull分布中，形狀參數(shù)是以指數(shù)函數(shù)的形式對整體分布產(chǎn)生影響，而尺寸參數(shù)是以一次函數(shù)的形式對整體分布產(chǎn)生影響，所以尺寸參數(shù)的曲線更為連貫，表現(xiàn)為圖11相對于圖10，其曲線更為密集。兩條曲線的迭代值始終在固定范圍內(nèi)，整體結(jié)果為收斂，證明先驗分布的選取是合理的。

取中位數(shù)作為參數(shù)估計的結(jié)果，則K=6.941，λ=52.89。由Weibull分布的均值計算公式計算可得E=49.45。同理，可計算得到GMTS準則的裂紋擴展角度均值為48.96°，試驗擴展角度均值為50.64°。

E不代表具體的裂紋擴展角度，其意義為在材料和其他加載條件確定的情況下，當加載角度處于30°～60°時，該材料所有可能擴展角度的均值。試驗與修正GMTS準則、GMTS準則之間的裂紋擴展角度均值之差分別為1.19°和1.68°?？梢钥闯觯捎眯拚鼼MTS準則對裂紋擴展角度進行預(yù)測，其誤差相對于GMTS準則由3.32%降低到了2.35%。

4 結(jié) 論

1）基于最大周向應(yīng)力準則，同時考慮T應(yīng)力三分量及地震作用，推導(dǎo)出適用于地震荷載作用下的巖石裂紋擴展角度判據(jù)。

2）不同加載角度情況下，MCTS試樣的KⅠ和KⅡ變化趨勢基本相同，驗證了MCTS試樣可以通過施加位移約束，實現(xiàn)可控模式復(fù)合比的復(fù)合型加載。KⅠ和KⅡ變化趨勢相同也證明試驗所測得數(shù)據(jù)較為準確，則采用該試驗數(shù)據(jù)對修正GMTS準則進行驗證的可信度較高。

3）采用霍普金森拉桿試驗結(jié)果和貝葉斯理論對修正最大周向應(yīng)力裂紋擴展判據(jù)的可靠性進行驗證，其結(jié)果表明修正判據(jù)相對于原始判據(jù)在地震等波動作用下的預(yù)測結(jié)果更為準確。

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（責任編輯：李克永）

收稿日期：2023-05-25

基金項目：國家重點研發(fā)計劃項目（2019YFC1509703）

通信作者：高丙麗，女，河南許昌人，博士，副教授，E－mail：gbl8001@126.com