尚 萍

(甘肅省白銀市平川中恒學校)

比較大小是高考數(shù)學經(jīng)?？疾榈囊活愔匾}型,問題求解方法較多.當題設條件中涉及三個變量的對數(shù)式連等或關于三個變量的指數(shù)式連等時,顯然比較大小具有一定的難度,此時就需要我們靈活運用特例法(僅適合選擇題)或設元法加以靈活求解.本文通過歸類舉例的形式,著重說明在比較大小問題中,如果題設條件涉及三個變量的對數(shù)式連等(或指數(shù)式連等),那么我們可靈活運用特例法進行簡捷求解,亦可在設元變形的基礎上,靈活運用相關函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式或其他知識加以求解.

1 對數(shù)式連等

若題目中涉及三個變量,且給出三個對數(shù)式連等,則可根據(jù)下面兩種不同的方法求解:一是運用特例法對變量進行靈活“賦值”分析,這樣有利于迅速比較大小;二是運用設元法對連等式“換元”,再將已知的對數(shù)式變形為指數(shù)式,最后利用相關冪函數(shù)的單調(diào)性求解.

例1 設x,y,z為 正 數(shù),且log2x＝log3y＝log5z＞0,則的大小關系不可能是( ).

解法1 取x＝2,則由log2x＝log3y＝log5z,可得y＝3,z＝5,從而可知,因此選項C正確.

取x＝2,則由log2x＝log3y＝log5z,可得y＝3,z＝5,從而可知,因此選項D 正確.

綜上,根據(jù)排除法可知選項A,C,D 均可能成立,故選B.

解法2 設log2x＝log3y＝log5z＝k,則x＝2k,y＝3k,z＝5k,即.又k＞0,所以只需比較k與1的大小.

該解法以“設元”作為解題的切入點,先將目標問題等價轉(zhuǎn)化為比較2k－1,3k－1,5k－1的大小,再根據(jù)冪函數(shù)f(x)＝xk－1的單調(diào)性,以分類討論的方式靈活求解.運用冪函數(shù)的單調(diào)性時,需關注常用結論:當α＞0時,y＝xα在(0,＋∞)上單調(diào)遞增;當α＜0時,y＝xα在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.

2 指數(shù)式連等

若題目中涉及三個變量,且給出三個指數(shù)式連等,則可根據(jù)下面兩種不同的方法加以求解:一是運用特例法對變量進行靈活“賦值”分析;二是運用設元法對連等式“換元”,再將已知的指數(shù)式變形為對數(shù)式,然后根據(jù)對數(shù)的運算法則以及其他相關知識加以靈活求解.

例2 (多選題)已知x,y,z為正數(shù),且3x＝4y＝6z,則以下說法中正確的是( ).

解法1 取z＝1,則由3x＝4y＝6,可得x＝log36,y＝log46,且x＞1,y＞1.于是,有

角差是井底儀器內(nèi)方位傳感器方位測量零點與動力鉆具彎接頭方位的差值。在MWD儀器下井之前，需要進行角差測量并需將角差值輸入MWD配套軟件中，儀器入井后開始正常工作時，地面工作軟件所顯示的工具面值就是井底儀器所測到的方位值經(jīng)角差值修正后的值。

故選項A 正確.

因為

所以3x＜4y.又

所以3x＜4y＜6z,故選項B錯誤.

因為

故選項C正確.

因為

所以xy＞2＝2z2,故選項D 正確.

綜上,選ACD.

該解法靈活利用了“特例”,其解題思想是先給定某一個變量的取值,再求解其他兩個變量的取值,進而利用直接推理法判斷各選項是否正確.實際上,對選項C 和D 還可以利用基本不等式加以分析.

解法2 設3x＝4y＝6z＝k,則x＝log3k,y＝log4k,z＝log6k,且k＞1.于是,有

故選項A 正確.

因為

所以3x＜4y.又

所以4y＜6z.從而3x＜4y＜6z,故選項B錯誤.

因為

因為

所以,故 選 項D正確.

綜上,選ACD.

該解法靈活利用了“設元法”,其解法具有一般性,充分體現(xiàn)了對數(shù)運算與基本不等式知識在解題中的綜合運用.

本文結合例題解析,旨在幫助學生理解、掌握處理此類涉及三個變量的比較大小問題的常用思維方法,提高其對相關基本知識、思想方法的靈活運用能力.

(完)