韓靜波 石麗娜

(人大附中北京經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)學(xué)校)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用之一是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考,幫助學(xué)生積淀,形成數(shù)學(xué)思維模式.在高中階段,這種數(shù)學(xué)思維模式主要表現(xiàn)為從特例入手、嘗試性探索和歸納猜想一般規(guī)律或結(jié)論.本文將進(jìn)一步探討如何從特例入手、嘗試性探索和歸納解決“新問(wèn)題”的思路和方法,其中“新問(wèn)題”是指學(xué)生感覺(jué)不熟悉、比較新穎、不容易找到解題突破口或難以形成解題思路的問(wèn)題.

1 探究“新問(wèn)題”的策略

合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供解決問(wèn)題的思路和方法的作用.在探究“新問(wèn)題”時(shí),若缺少觀察、試驗(yàn)、歸納、類比、聯(lián)想、猜測(cè)的思維過(guò)程,就不善于應(yīng)用合情推理探索問(wèn)題的規(guī)律.因此,下面探討如何利用合情推理——?dú)w納和類比,探究“新問(wèn)題”.

1.1 歸納的應(yīng)用策略

歸納是特殊到一般的推理,當(dāng)我們遇到“新問(wèn)題”時(shí),可以通過(guò)觀察研究一些特例,并總結(jié)特例蘊(yùn)含的一般規(guī)律,猜測(cè)一般結(jié)論或總結(jié)解決此問(wèn)題的一般方法,思維過(guò)程如圖1所示.

圖1

上述思維過(guò)程是從觀察、試驗(yàn)、歸納反思,到再觀察、再試驗(yàn)的循環(huán)往復(fù)過(guò)程,這是一個(gè)需要多次觀察試驗(yàn)、逐步深化認(rèn)識(shí)規(guī)律的過(guò)程,其具體策略如下.

1)從已知條件出發(fā)尋找特例,正向歸納規(guī)律

復(fù)雜、困難的問(wèn)題其規(guī)律往往隱藏于一些特例之中,因此面對(duì)“新問(wèn)題”,應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將已知條件特殊化,并從特殊的情況開(kāi)始,逐個(gè)分析嘗試總結(jié)規(guī)律,并根據(jù)總結(jié)的規(guī)律,進(jìn)一步改進(jìn)特例繼續(xù)分析探究規(guī)律.筆者通過(guò)例1,總結(jié)選取特例及研究特例的策略.

例1 已知數(shù)列{an}滿足,k∈N?),[an]表示不超過(guò)an的最大整數(shù)(如[1.6]＝1),記bn＝[an],數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.

(1)若數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,求T4;

(2)若數(shù)列{an}是公比為k＋1 的等比數(shù)列,求bn.

(1)T4＝6(求解過(guò)程略).

(2)方法1 對(duì)k歸納

猜想:對(duì)任意的k≥2,k∈N?,有

方法2 對(duì)n歸納

猜想:對(duì)任意的k≥2,k∈N?,有

方法3 演繹推理

由例1可知,困難問(wèn)題的解決往往在于解決好特殊、簡(jiǎn)單的特例,且特例的尋找不是隨意的,而是建立在思考的基礎(chǔ)上,是有策略的.一方面,開(kāi)始尋找的特例應(yīng)該是特殊的、簡(jiǎn)單的,即特例與已知條件聯(lián)系緊密,容易尋找和研究,并且有時(shí)需要多個(gè)特例;另一方面,需要研究特例的簡(jiǎn)單性質(zhì),并在特例的性質(zhì)中找到一般規(guī)律.

2)從結(jié)論出發(fā)假設(shè)、試驗(yàn),反向歸納規(guī)律

逆向思維是一種很重要的推理方式,當(dāng)解決問(wèn)題遇到困難時(shí),從反面思考往往能幫助我們?nèi)〉猛黄?在進(jìn)行歸納推理時(shí)也是如此,除了從已知條件尋找、分析特例,還可以從結(jié)論出發(fā),合理假設(shè)、試驗(yàn),反向歸納規(guī)律.下面筆者通過(guò)例2,總結(jié)反向歸納策略.

例2 某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30s跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段,表1為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī),其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.

表1

在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30s跳繩決賽的有6人,則( ).

A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30s跳繩決賽

B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30s跳繩決賽

C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30s跳繩決賽

D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30s跳繩決賽

由表1可知,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的為1至8號(hào)學(xué)生,因?yàn)橥瑫r(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30s跳繩決賽的有6人,所以1至8號(hào)學(xué)生中有6人進(jìn)入跳繩決賽,即有2人被淘汰.

首先從已知條件出發(fā)找出特殊數(shù)據(jù),即較低的幾個(gè)30s跳繩成績(jī)?yōu)?0,63,a,a－1;其次從結(jié)論出發(fā)假設(shè)試驗(yàn),對(duì)以上特殊數(shù)據(jù)進(jìn)行嘗試與推理.假設(shè)30s跳繩成績(jī)?yōu)?3的學(xué)生被淘汰,則30s跳繩成績(jī)?yōu)?0也一定被淘汰,因此被淘汰的學(xué)生至少有3人,這與“1至8 號(hào)學(xué)生中有6 人進(jìn)入跳繩決賽”矛盾,所以30s跳繩成績(jī)?yōu)?3的學(xué)生(即1號(hào)和5號(hào))進(jìn)入跳繩決賽,故選B.

正難則反是一種重要的思維方式,從正反兩方面全面分析問(wèn)題也是良好的思維習(xí)慣,因此對(duì)“新問(wèn)題”進(jìn)行觀察歸納時(shí),學(xué)生除了從已知條件出發(fā)正向?qū)ふ?、分析特?還可以從結(jié)論出發(fā)假設(shè)、試驗(yàn),從反面歸納規(guī)律.

1.2 類比的應(yīng)用策略

類比是特殊到特殊的推理,當(dāng)遇到“新問(wèn)題”時(shí),可以聯(lián)想與“新問(wèn)題”具有相似特征的“舊問(wèn)題”(即已解決問(wèn)題),然后遷移“舊方法”,即嘗試用解決“舊問(wèn)題”的方法解決“新問(wèn)題”,思維過(guò)程如圖2所示.

圖2

由上可知聯(lián)想“舊問(wèn)題”與遷移“舊方法”,是做好類比的關(guān)鍵.下面筆者通過(guò)例3,總結(jié)聯(lián)想“舊問(wèn)題”與遷移“舊方法”的策略.

例3 6名學(xué)生在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換,任意兩名學(xué)生之間最多交換一次,進(jìn)行交換的兩名學(xué)生互贈(zèng)一份紀(jì)念品,已知6名學(xué)生之間共進(jìn)行了13 次交換,則收到4 份紀(jì)念品的學(xué)生人數(shù)為( ).

A.1或3 B.1或4

C.2或3 D.2或4

記這6名學(xué)生為a,b,c,d,e,f.由“任意兩名學(xué)生之間最多交換一次”聯(lián)想到“任意兩名學(xué)生之間交換一次”.

表2

“任意兩名學(xué)生之間最多交換一次,共交換13次”與上述理想情況差了2次,有如下兩種可能.

三人之間少交換2次,不妨設(shè)a與b,c各少交換一次,交換情況如表3所示.

表3

四人之間少交換2次,不妨設(shè)a與b,c與d各少交換一次,交換情況如表4所示.

表4

綜上,收到4份紀(jì)念品的學(xué)生人數(shù)為2或4.

由“新問(wèn)題”聯(lián)想到“舊問(wèn)題”,需要將“新問(wèn)題”特殊化、理想化、簡(jiǎn)單化,即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊且容易解決的問(wèn)題.本題將“任意兩名學(xué)生之間最多交換一次”類比為“任意兩名學(xué)生之間交換一次”;另一方面,遷移“舊方法”需要找出“新”與“舊”的差異,處理好差異,問(wèn)題也就隨之解決.

2 策略的應(yīng)用

例4 (2022年北京卷15)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和Sn滿足an?Sn＝9(n＝1,2,…).給出下列四個(gè)結(jié)論:

①{an}的第2項(xiàng)小于3;

②{an}為等比數(shù)列;

③{an}為遞減數(shù)列;

④{an}中存在小于的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.

題目有對(duì)“雙基”的考查,但主要考查學(xué)生的思維,考查學(xué)生如何思考問(wèn)題,考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

1)基于“雙基”的初步信息加工

根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法對(duì)已知、未知條件進(jìn)行初步的分析,具體思考如下.

a)因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以數(shù)列{Sn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列;

b)因?yàn)閍n＞0,Sn＞0,an?Sn＝9(n＝1,2,…),所以an越大,Sn越小,an越小,Sn越大;

c)由an與Sn的關(guān)系

可將an?Sn＝9(n＝1,2,…)轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為前n項(xiàng)和的關(guān)系.

由b)或c)都可以判斷③是否正確,由b)可以建立對(duì)④的直觀認(rèn)識(shí).

2)基于合情推理的進(jìn)一步探究

對(duì)于an?Sn＝9(n＝1,2,…),依次令n＝1,n＝2,可求得a1,a2,由此可判斷①正確.

對(duì)②和④進(jìn)行假設(shè)、試驗(yàn).

對(duì)于②,若通過(guò)計(jì)算an歸納驗(yàn)證其是否正確,計(jì)算量大,耗時(shí)多,易出錯(cuò),因此從結(jié)論出發(fā)假設(shè)、試驗(yàn),反向歸納規(guī)律.假設(shè)②成立,根據(jù)a22＝a1a3,求出a3,驗(yàn)證其是否滿足an?Sn＝9(n＝1,2,…),以此類推歸納規(guī)律.

對(duì)于④,直接歸納或證明都比較困難,因此從結(jié)論出發(fā)假設(shè)、試驗(yàn),反向歸納規(guī)律.假設(shè){an}中不存在小于的項(xiàng),即(n＝1,2,…),則可用反證法證明④的正確性.

由題意可知?n∈N?,an＞0,所以?n∈N?,Sn＋1＞Sn＞0.

綜上,正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.

例5 (2020年北京卷21)已知{an}是無(wú)窮數(shù)列,給出兩個(gè)性質(zhì):

①對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)ai,aj(i＞j),在{an}中都存在一項(xiàng)am,使得

②對(duì)于{an}中任意項(xiàng)an(n≥3),在{an}中都存在兩項(xiàng)ak,al(k＞l),使得

(1)若an＝n(n＝1,2,…),判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①,說(shuō)明理由;

(2)若an＝2n－1(n＝1,2,…),判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說(shuō)明理由;

(3)若{an}是遞增數(shù)列,且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:{an}為等比數(shù)列.

1)基于“雙基”的初步信息加工

根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法對(duì)已知、未知條件進(jìn)行初步分析,具體思考如下.

考慮aj,ai,am是否成等比數(shù)列,首先要考慮ai,am能否為0,由性質(zhì)①可知{an}中任意一項(xiàng)都不為0,因此在上式中ai,am不為0;其次考慮aj,ai,am是否為三項(xiàng),即m是否等于j或i;再次通過(guò)觀察每一問(wèn)的條件,發(fā)現(xiàn)前兩問(wèn)的具體數(shù)列都是遞增正數(shù)列,所以,則m＞i＞j,第(3)問(wèn)的條件“{an}是遞增數(shù)列”和前兩問(wèn)是一致的,但能發(fā)現(xiàn)研究的一個(gè)重要問(wèn)題就是“{an}各項(xiàng)的正負(fù)”,再結(jié)合第(3)問(wèn)的結(jié)論“{an}為等比數(shù)列”可猜測(cè)數(shù)列{an}各項(xiàng)同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)(需要證明),無(wú)論哪種情況都可證出重要的結(jié)論:若,則ai＞ai,所以m＞i＞j.

2)基于合情推理的進(jìn)一步探究

a)對(duì)數(shù)列{an}的特殊化.

本題分層設(shè)問(wèn),逐層遞進(jìn),前兩問(wèn)將{an}具體化,從某種意義上就是引導(dǎo)學(xué)生從特例中理解抽象的性質(zhì)①和性質(zhì)②,又由上述分析可以看出第(3)問(wèn)的條件“{an}是遞增數(shù)列”和前兩問(wèn)是一致的,因此也可由前兩問(wèn)的特殊數(shù)列發(fā)現(xiàn)第(3)問(wèn)的一些規(guī)律,比如,若,則,所以

b)對(duì)性質(zhì)①和性質(zhì)②的特殊化.

下面驗(yàn)證k＝5的情形.

通過(guò)對(duì)性質(zhì)①和性質(zhì)②的特殊化,以及(?)和{an}是遞增數(shù)列,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)a1＞0,即數(shù)列{an}各項(xiàng)同為正時(shí),a1,a2,a3成等比,若a1,a2,a3,…,ak成等比,性質(zhì)②的作用是發(fā)現(xiàn)ak＋1都是以a1,a2,a3為前三項(xiàng)的等比數(shù)列中的項(xiàng),性質(zhì)①的作用是發(fā)現(xiàn)

上面通過(guò)歸納、類比、探究得出規(guī)律,接下來(lái)只需將規(guī)律用符號(hào)嚴(yán)格地表示出來(lái).另外,問(wèn)題還有一個(gè)難點(diǎn)需要解決,就是要證明數(shù)列{an}各項(xiàng)同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù),即當(dāng)a1＜0,數(shù)列{an}各項(xiàng)均為負(fù).此處對(duì)邏輯推理能力要求較高,而且考查創(chuàng)造性,可用反證法證明:假設(shè)am是一個(gè)為正的項(xiàng),則m≥2且{an}只有前m－1 項(xiàng)為負(fù)數(shù),由性質(zhì)①可構(gòu)造,這m項(xiàng)不同的負(fù)數(shù),都是{an}中的項(xiàng),這就與{an}只有前m－1項(xiàng)為負(fù)數(shù)矛盾.

假設(shè)存在n∈N?,使bn≠an,記

當(dāng)a1＜0時(shí),下證an＜0(n＝1,2,…).

假設(shè)存在n∈N?,使an＞0,記

則n1≥2,且an＜0(n＝1,2,…,n1－1),因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以當(dāng)n≥n1時(shí),an＞0,當(dāng)n＜n1時(shí),an＜0.

綜上,{an}為等比數(shù)列.

題目情境新穎,求解時(shí)模式化地照搬、套用公式作用不大,只有經(jīng)歷觀察、嘗試、歸納、類比、聯(lián)想、猜測(cè)等思維過(guò)程,才能找到解題突破口,這也是處理復(fù)雜、困難、陌生問(wèn)題的正確思考方式,筆者認(rèn)為題目的設(shè)計(jì)意圖也是考查學(xué)生是否會(huì)思考、探究新問(wèn)題.

3 小結(jié)

在探究“新問(wèn)題”時(shí),要有敢于嘗試的勇氣,要有良好的思維習(xí)慣,要會(huì)思考,即從特例入手、嘗試性探索、歸納和猜想一般規(guī)律或結(jié)論,更要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中深刻理解知識(shí)方法的本質(zhì),不斷提升能力和素養(yǎng).因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中,要注重知識(shí)的形成過(guò)程,因?yàn)橹R(shí)的形成過(guò)程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的思維方法,體現(xiàn)了如何思考數(shù)學(xué)問(wèn)題;其次,要注重總結(jié)如何思考問(wèn)題,對(duì)于每一個(gè)問(wèn)題要做好總結(jié)反思,努力做到“知其然,知其所以然,知其所以必然”;最后,還要培養(yǎng)敢于嘗試的勇氣,研究“新問(wèn)題”時(shí)需要大膽嘗試,從特例中尋找、總結(jié)規(guī)律是必須的,也是我們解決任何困難問(wèn)題需要具備的品質(zhì).

(完)