文/深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué) 郭朋貴

近幾年高考全國(guó)卷中，曲線的切線是高考的高頻考點(diǎn)。筆者所在學(xué)校的最近一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，有如下題目（多選題）：

D.當(dāng)a=2，b＞0 時(shí)，有且只有一條切線

此題如果用常規(guī)解法設(shè)切線再去求解，無(wú)異于做一道解答題，耗時(shí)頗多，可不可以小題小做呢？筆者不禁聯(lián)想到之前研究三次函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題，希望從中得到啟發(fā).

一、解法探究

關(guān)于三次函數(shù)的切線條數(shù)問(wèn)題，有如下結(jié)論：點(diǎn)P（x0，y0）為三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）所在平面上一點(diǎn).設(shè)函數(shù)f（x）的圖像在拐點(diǎn)處的切線為l.則有：

如圖1，若點(diǎn)P 位于區(qū)域I 和區(qū)域II 內(nèi)可作1 條切線；若點(diǎn)P 位于區(qū)域III 和區(qū)域IV 內(nèi)可作3 條切線；過(guò)拐點(diǎn)N 可作一條切線；若點(diǎn)P 在曲線y=f（x）和切線拐點(diǎn)N 處切線l（點(diǎn)N除外）上，可作2 條切線.此結(jié)論省略證明，有興趣的讀者可自行證之.

圖1

由可以看出，三次函數(shù)圖象和其拐點(diǎn)處的切線將平面劃分為4 個(gè)區(qū)域，各區(qū)域內(nèi)的切線條數(shù)、曲線和拐點(diǎn)處的切線上切線條數(shù)均可以由數(shù)形結(jié)合直接得出結(jié)果. 題目1 會(huì)不會(huì)也有類似的結(jié)果呢？

設(shè)過(guò)點(diǎn)（a，b）且與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x0，f（x0））的切線方程為y= f'（x0）（x－x0）+ f（x0），則b =，則過(guò)點(diǎn)（a，b）可做切線條數(shù)問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y=b 與y=g（x）圖象交點(diǎn)問(wèn)題。，且x→－∞，f（x）→+∞;x→+∞，f（x）→0.x 軸為g（x）的漸近線，g（2）=.則有：①a≤0 時(shí)，g（x）在（-∞，a），（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（a，2）上調(diào)遞增＞0.若b＜g（a），0 條切線；若b=g（a）或b＞h（a），1 條切線；若g（a）＜b≤0，2 條切線；若0＜b＜h（a），3 條切線.

②0＜a＜2 時(shí)，g（x）在（-∞，a），（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（a，2）上調(diào)遞增。＞0，g（2）=h（a）=＞0.若b≤0，0 條切線；若0＜b＜g（a）或b＞h（a），1 條切線；若b=g（a）或b=h（a），2 條切線；若g（a）＜b＜h（a），3 條切線.

③a=2 時(shí)，g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，g（a）=g（2）=h（a）.若b≤0，0 條切線；若b＞0，1 條切線；

④2＜a≤4 時(shí)，g（x）在（-∞，2），（a，+∞）上單調(diào)遞減，在（2，a）上調(diào)遞增.g＞0，g（2）=h（a）=若b≤0，0 條切線；若0＜b＜h（a）或b＞g（a），1 條切線；若b=g（a）或b=h（a），2 條切線；若h（a）＜b＜g（a），3 條切線.

⑤a＞4 時(shí)，g（x）在（-∞，2），（a，+∞）上單調(diào)遞減，在（2，a）上調(diào)遞增＜0.若b≤h（a），0 條切線；若b=h（a）或b＞g（a），1 條切線；若h（a）＜b ≤0 或b=g （a），2 條切線；若0＜b＜g（a），3 條切線.

根據(jù)以上結(jié)論，我們可得出如下結(jié)論：

圖2

題目1 所得結(jié)論與三次函數(shù)結(jié)論既有相似之處又有不同，三次函數(shù)沒(méi)有漸近線，而題目1 中的函數(shù)有一條漸近線，這使得區(qū)域劃分更加復(fù)雜，也為我們數(shù)形結(jié)合快速解題指明了方向.

二、數(shù)形結(jié)合圖解切線條數(shù)問(wèn)題

例1：已知函數(shù)f（x）=x3-3x，a＞0，如果過(guò)點(diǎn)A（a，2）可作曲線y=f（x）的三條切線，則a 的取值范圍為_(kāi)___.

圖解：f'（x）=3x2-3，f''（x）=6x，f（x）有唯一拐點(diǎn)（0，0），在拐點(diǎn)處的切線方程為：y=-3x，且在（-∞，0）為凹函數(shù)，（0，+∞）為凸函數(shù).如圖3 所示，由圖可得答案：a＞2.

圖3