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化隱為顯 揭示本質(zhì)

2023-11-01 07:05:42宋輝
數(shù)學(xué)之友 2023年14期
關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)化解題

宋輝

摘 要:

眾所周知,所謂的解題過程,就是在條件與結(jié)論之間架起橋梁,通過條件的不斷轉(zhuǎn)化、化隱為顯、揭示本質(zhì),最終解決問題的過程.本文通過幾類問題,探究“化隱為顯、揭示本質(zhì)”的解題過程.

關(guān)鍵詞: 解題;轉(zhuǎn)化;化隱為顯

1 隱“零點(diǎn)”問題

例1 ??已知函數(shù)f(x)=aex- ln ?x,a>0,求證:f(x)≥2+ ln ?a.

解: ?f ′(x)=aex- 1 x = axex-1 x (x>0),令h(x)=axex-1,則h′(x)=aex+axex=aex(1+x).

因?yàn)閍>0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又h(0)=-1<0,h ?1 a ?=e 1 a -1>0,所以存在x 0∈ 0, 1 a ?,使h(x 0)=0,即存在x 0∈ 0, 1 a ?,使 f ′(x 0)=aex ?0- 1 x 0 =0,即x 0= 1 aex ?0 ,

又當(dāng)x∈(0,x 0)時(shí),f ′(x)<0,所以f(x)在(0,x 0)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x 0,+∞)時(shí),f ′(x)>0,

所以f(x)在(x 0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x) ?min =f(x 0)=aex ?0- ln ?x 0= 1 x 0 - ln ??1 aex ?0 = 1 x 0 +x 0+ ln ?a≥2 ?1 x 0 ·x 0 + ln ?a=2+ ln ?a,

當(dāng)且僅當(dāng) 1 x 0 =x 0時(shí),即x 0=1時(shí)等號(hào)成立,所以f(x)≥2+ ln ?a.

例2 ??已知函數(shù)f(x)=ex-ax+b,其中a,b∈ R . 若f(x)在x=0處存在極值-1,且x∈(-1,+∞)時(shí),f(x)+2>k(x+1)恒成立,求實(shí)數(shù)k的最大整數(shù)值.

解: ?由f(x)在x=0處存在極值-1,得f ′(0) =0,f(0)=-1,所以a=1,b=-2;則f(x)=ex-x-2,f ′(x) =ex-1.

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f ′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f ′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

則f(x)在x=0處存在極值f(0)=-1,滿足題意.

由題意f(x)+2>k(x+1)恒成立,即ex-x>k(x+1)在x∈(-1,+∞)恒成立,

即k< ex-x x+1 ,設(shè)h(x)= ex-x x+1 ,只需k<h ?min ?(x).

因?yàn)閔′(x)= xex-1 x+1 ,令t(x)=xex-1,t′(x)=ex (x+1),

所以t′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,t(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,

因?yàn)閠 ?1 2 ?= 1 2 ?e -1<0,t(1)=e-1> 0,所以存在x 0∈ ?1 2 ,1 ,使得t(x 0)=x 0ex ?0-1=0.

即ex ?0= 1 x 0 ,且在(-1, x 0)上,t′(x)<0,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;

在(x 0,+∞)上,t′(x) >0,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

所以,h ?min (x)=h(x 0)= ex ?0-x 0 x 0+1 = ?1 x 0 -x 0 x 0+1 = 1 x 0 -1.

又x 0∈ ?1 2 ,1 ,所以h(x 0)∈(0,1) ,

所以k的最大整數(shù)值為0.

小結(jié): ?隱“零點(diǎn)”問題,就是零點(diǎn)不能精確求出,通過尋找零點(diǎn)滿足的隱性條件,不斷化簡(jiǎn)問題,最后解決問題.

2 隱“軌跡”問題

例3 ??(多選題) :已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),若圓(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在點(diǎn)M,滿足MA ·MB =3,則實(shí)數(shù)a的值可以為( ?).

A. ?-2

B. ?-1

C. ?2

D. ?0

解: ?設(shè)點(diǎn)M(x,y),則MA =(-x-1,-y),MB =(-x+1,-y),因?yàn)镸A ·MB =(-x-1)(-x+1)+y2=3,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=4,圓心為(0,0),半徑為2.

由題意知,圓(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1與圓x2+y2=4有公共點(diǎn),又圓(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1的圓心為(2a-1,2a+2),半徑為1,所以1≤ (2a-1)2+(2a+2)2 ≤3,解得-1≤a≤ 1 2 .

故選擇答案: B 、 D .

例4 ??過點(diǎn)P(2,4)任作兩條互相垂直的直線l 1,l 2.若l 1交x軸于A點(diǎn),l 2交y軸于B點(diǎn),記線段AB中點(diǎn)為M,求PM的最小值.

解: ?設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn),所以A(2x,0),B(0,2y).又l 1⊥l 2,且l 1,l 2交于點(diǎn)P,所以PA⊥PB,即PA ·PB =0.

又P(2,4),所以PA =(2x-2,-4),PB =(2,2y-4),

所以-2(2x-2)-4(2y-4)=0,

化簡(jiǎn),得x+2y-5=0.所以點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.

PM的最小值就是點(diǎn)P(2,4)到直線x+2y-5=0的距離,故PM的最小值為 2+2×4-5 ?12+22 ?= 5 .

小結(jié): ?對(duì)于隱“軌跡”問題,當(dāng)問題中出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)時(shí),探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是必然的過程.

3 隱“結(jié)構(gòu)”問題

例5 ??已知函數(shù)f(x)= ln ?x+ ln ?a+(a-1) x+2(a>0),若不等式ex-2≥f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解: ?ex-2≥f(x)即ex-2≥ ln ?x+ ln ?a+(a-1)x+2

即ex-2+x-2≥ ln ?(ax)+ax即 ln ?ex-2+ex-2≥ In ?(ax)+ax

觀察不等式兩邊的結(jié)構(gòu),得是同一種結(jié)構(gòu).

設(shè)g(x)= ln ?x+x,則原不等式恒成立等價(jià)于g(ex-2) ≥g(ax)在(0,+∞)上恒成立,

因?yàn)間′(x ) = 1 x +1>0,所以g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),

則g(ex-2)≥g(ax)在(0,+∞)上恒成立,等價(jià)于ex-2≥ax在(0,+∞)上恒成立,

等價(jià)于a≤ ex-2 x 在(0,+∞)上恒成立,

令h(x)= ex-2 x (x>0),則h′(x )= (x-1)ex-2 x2 .

又(0,1)上,h′(x)<0,(1,+∞)上h′(x)>0,所以h(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1, +∞)上為增函數(shù),

所以h ?min (x)=h(1)= 1 e ,故 1 e ≥a>0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為 0, 1 e ?.

小結(jié): ?對(duì)于隱“結(jié)構(gòu)”問題,將“不同”結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成相同結(jié)構(gòu),利用同構(gòu)解決問題是關(guān)鍵.

4 隱“函數(shù)”問題

例6 ??試求函數(shù)f(x)=(3x-1)( 9x2-6x+5 +1)+(2x-3)( 4x2-12x+13 +1)的零點(diǎn).

解: ?f(x)=(3x-1)( (3x-1)2+4 +1)+(2x-3)( (2x-3)2+4 +1).

令f(t)=t( t2+4 +1), t∈ R ,由 f(-t)=-f(t),得f(t)為奇函數(shù),易知f(t)在 R 上單調(diào)遞增,原函數(shù)可表達(dá)為y=f(3x-1)+f(2x-3).

令y=0,即f(3x-1)+f(2x-3)=0,f(3x-1)=-f(2x-3)=f(3-2x),由f(t)在 R 上單調(diào)遞增,得3x-1=3-2x,解得x= 4 5 .所以f(x)的零點(diǎn)為 4 5 .

小結(jié): ?對(duì)于隱“函數(shù)”問題,通過合元、并元、消元等方法轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題.

參考文獻(xiàn):

[1] 單墫.解題研究[M].上海:上海教育出版社,2013.

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