賀文宇, 谷林清, 任偉新, 李 苗

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省基礎(chǔ)設(shè)施安全檢測與監(jiān)測工程實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009; 3.深圳大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院,廣東 深圳 518061; 4.湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院,湖南 益陽 413000)

0 引 言

模態(tài)參數(shù)是橋梁的本質(zhì)動力特性,其識別是橋梁領(lǐng)域的一項(xiàng)重要內(nèi)容。若橋梁出現(xiàn)損傷,則其剛度會減小,模態(tài)參數(shù)也將發(fā)生改變,因此可根據(jù)模態(tài)參數(shù)的變化進(jìn)行損傷識別。目前模態(tài)參數(shù)識別方法分為2種:① 已知輸入和輸出的識別方法;② 僅依據(jù)輸出的識別方法,即環(huán)境激勵下的識別方法。后者不需要對橋梁進(jìn)行人工激勵和測試輸入,實(shí)驗(yàn)成本低,不影響正常交通,得到長足的發(fā)展。

基于環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)識別中,通常認(rèn)為運(yùn)營狀態(tài)下橋梁受到的激勵滿足白噪聲假定,將橋梁上的隨機(jī)車流視為外荷載激勵的一部分,未考慮車輛附加質(zhì)量的影響,識別出的模態(tài)參數(shù)屬于車流-橋梁系統(tǒng)而非橋梁本身。文獻(xiàn)[1]采用在簡支梁跨中位置靜置單個(gè)車輛的方式,模擬車輛對簡支梁橋一階頻率的影響,結(jié)果表明,車輛引起簡支梁一階頻率改變2.14%,而裂縫導(dǎo)致簡支梁一階頻率改變5.38%;文獻(xiàn)[2]研究車輛參數(shù)對橋梁頻率的影響,發(fā)現(xiàn)車輛剛度和質(zhì)量是最重要的因素;文獻(xiàn)[3]對3座橋梁進(jìn)行交通荷載下的振動實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明,對于質(zhì)量相對較小的短跨徑橋梁,測得的頻率降低5.4%;文獻(xiàn)[4]進(jìn)行2次實(shí)橋?qū)嶒?yàn),結(jié)果表明,當(dāng)車輛處于不同位置時(shí),橋梁頻率和振型均會發(fā)生變化,在車輛與橋梁質(zhì)量比較高時(shí)模態(tài)參數(shù)的變化幅度更加明顯;文獻(xiàn)[5]研究單個(gè)移動車輛對橋梁模態(tài)參數(shù)識別的影響,結(jié)果表明,橋梁損傷和移動車輛均會引起橋梁模態(tài)發(fā)生變化,在基于模態(tài)參數(shù)改變的損傷識別中需要考慮移動車輛因素。

本文基于元胞自動機(jī)模型模擬隨機(jī)車流,研究隨機(jī)車流下橋梁模態(tài)參數(shù)的變化情況,與橋梁損傷引起的模態(tài)參數(shù)變化進(jìn)行對比分析,并探討相關(guān)參數(shù)對識別結(jié)果的影響。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 元胞自動機(jī)模型

目前,關(guān)于車流-橋梁系統(tǒng)頻率特性的研究,大多采用單輛車或少量車按照固定速度行駛,探究移動車輛對橋梁模態(tài)參數(shù)的影響[6]。實(shí)際上,采用隨機(jī)車流模擬橋上車輛荷載更符合實(shí)際,一些研究者假設(shè)交通流遵循簡單的隨機(jī)過程,如泊松分布[7],或采用蒙特卡羅方法[8],根據(jù)已有或假設(shè)的交通流統(tǒng)計(jì)分布生成交通數(shù)據(jù)。此類研究缺乏對現(xiàn)實(shí)交通規(guī)則的考慮,在交通流中單個(gè)車輛的尺度上信息不足,如缺乏車輛的空間位置和瞬時(shí)速度信息等。元胞自動機(jī)模型基于離散的時(shí)間和空間,能夠提供車輛的詳細(xì)時(shí)變信息,非常適合模擬實(shí)際隨機(jī)車流。

Nagel-Schreckenberg(NS)模型是一種單車道元胞自動機(jī)模型[9],該模型將道路進(jìn)行離散化,并等距劃分為各個(gè)元胞,每個(gè)車輛按照規(guī)定的行駛規(guī)則從當(dāng)前元胞中行進(jìn)到目標(biāo)元胞,進(jìn)而通過模擬每輛車的行為來生成概率交通信息。傳統(tǒng)元胞自動機(jī)模型采用長度為7.5 m或5.0 m的元胞代表1輛車,對于中小跨徑橋梁的模擬精度偏低。文獻(xiàn)[10]指出,細(xì)化元胞尺寸可以更加細(xì)致地描述車流現(xiàn)象,并可以通過設(shè)定車輛大小和速度等來增加隨機(jī)車流的模擬精度。為更加準(zhǔn)確地模擬中小跨徑橋梁中的交通流,本文采用細(xì)化元胞尺寸的NS模型,其演化規(guī)則[11]包括加速、減速、隨機(jī)慢化、輔助變量更新和位置更新規(guī)則,具體如下所述。

表1 4種工況下簡支梁前3階頻率識別結(jié)果 單位:Hz

1) 加速規(guī)則。

vi(t+Ts)=min{vi(t)+accTs,vmax}

(1)

其中:Ts為更新時(shí)間步長;vi(t)為第i輛車在時(shí)刻t的速度;vmax為車輛最大速度;acc為車輛加速度。當(dāng)前方車距大于安全距離時(shí),車輛會加速行駛。

2) 減速規(guī)則。

vi(t+Ts)=min{vi(t+Ts),Dij(t)}

(2)

其中,Dij(t)為第i輛車與前方第j輛車的距離。當(dāng)前方車距小于安全距離時(shí),車輛會減速行駛。

3) 隨機(jī)慢化。若rand(0,1)≤P,則有:

vi(t+Ts)=max{vi(t+Ts)-decTs,0}

(3)

其中:P為隨機(jī)慢化概率;dec為車輛減速度。速度值大于0的車輛會按照慢化概率減速。

4) 輔助變量更新。

Yi(t+Ts)=Yi(t)+vi(t+Ts)

(4)

其中,Yi(t)為第i輛車位置更新時(shí)的輔助變量。

5) 位置更新。若Yi(t)≥1,則有:

Xi(t+Ts)=Xi(t)+fix(Yi(t))

(5)

Yi(t)=Yi(t)-fix(Yi(t))

(6)

其中:Xi(t)為第i輛車在時(shí)刻t的位置;fix(x)為將x中元素向0方向取整的函數(shù)。

在每個(gè)更新時(shí)間步,車輛都會根據(jù)上述預(yù)定義的規(guī)則移動、加速、減速和隨機(jī)慢化。

1.2 隨機(jī)車流模擬

元胞自動機(jī)演化規(guī)則是根據(jù)實(shí)際交通規(guī)則制定的,因此,采用元胞自動機(jī)模型可有效模擬車輛在橋梁上的實(shí)際運(yùn)行情況。本文采用元胞尺寸細(xì)化后的NS模型,各參數(shù)設(shè)置[12]如下:車道模擬長度為30 m,元胞長度為1 m,更新時(shí)間步長Ts=1 s,最大車速vmax=80 km/h,隨機(jī)慢化概率P=0.1,車輛加速度acc=4 m/s2,車輛減速度dec=2 m/s2。模擬中將車輛按質(zhì)量劃分為3類,質(zhì)量分別設(shè)定為5 000、6 000、7 000 kg。交通流觀測開始時(shí)刻t=10C(C為元胞數(shù),取值為30),即車流在300 s后變得穩(wěn)定[13]。車流密度為車輛所占元胞數(shù)與總元胞數(shù)的比值,車流密度K=0.12時(shí)的交通流模擬結(jié)果如圖1所示。圖1中,橫軸Di為車輛與橋梁起點(diǎn)的距離。在圖1縱軸上的任何時(shí)刻,通過繪制一條水平線,可以找到每個(gè)車輛沿空間模擬區(qū)域(橫軸)的分布信息;類似地,在橫軸上的任何空間位置,也可以通過繪制垂直直線來檢索特定位置處車輛的時(shí)變信息,由此得到時(shí)刻t時(shí)橋梁上的車輛位置信息。

圖1 車流密度K=0.12時(shí)的交通流模擬結(jié)果

1.3 隨機(jī)車流下動力響應(yīng)計(jì)算

為了便于研究,本文主要考慮車輛的質(zhì)量屬性,不考慮其剛度和阻尼,將車輛簡化為質(zhì)量塊模型,通過高斯白噪聲模擬環(huán)境激勵。當(dāng)假定車輛質(zhì)量為m0,以速度v在梁上勻速移動時(shí),作用于梁的外荷載[14]為:

(7)

其中:δ為狄拉克(Dirac)函數(shù);g為重力加速度;u(x,t)為梁的動位移。

(8)

其中,m、c、EI分別為簡支梁的單位長度質(zhì)量、阻尼系數(shù)、抗彎剛度。

隨機(jī)車流下車-橋系統(tǒng)動力響應(yīng)計(jì)算基本流程為:

1) 基于元胞尺寸細(xì)化后的NS模型模擬隨機(jī)車流,獲取某時(shí)間段內(nèi)車流的位置信息。

2) 建立橋梁有限元模型。

3) 將車輛位置信息導(dǎo)入有限元模型,采用質(zhì)量單元模擬車輛。

4) 根據(jù)元胞自動機(jī)模型的思想,在每個(gè)更新時(shí)間步長1 s內(nèi)的車輛移動速度是恒定的,實(shí)現(xiàn)對動力響應(yīng)計(jì)算步長的細(xì)分,從而得到車-橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

1.4 隨機(jī)子空間法

隨機(jī)子空間法是一種環(huán)境激勵下的時(shí)域識別方法。首先通過脈沖響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)建立Hankel矩陣,然后對Hankel矩陣加權(quán)并進(jìn)行奇異值分解,得到離散狀態(tài)空間矩陣和輸出矩陣,實(shí)現(xiàn)參數(shù)識別[15]。

線性振動系統(tǒng)在連續(xù)時(shí)間空間內(nèi)的振動方程為:

(9)

模態(tài)參數(shù)識別需要求解特征值μ和特征向量ψμ,計(jì)算公式為:

(Mμ2+Cμ+K)Ψμ=0

(10)

ψμ=LΨμ

(11)

其中,Ψμ為連續(xù)時(shí)間狀態(tài)矩陣。

系統(tǒng)在離散的時(shí)間空間內(nèi)的關(guān)系式為:

(12)

eδ μ=λ

(13)

ψμHΦλ

(14)

其中:Xk、Yk、Vk分別為第k個(gè)時(shí)間樣本對應(yīng)的狀態(tài)向量、輸出向量和輸入向量;F為狀態(tài)變換矩陣;H為Hankel矩陣;δ為采樣時(shí)間間隔;λ、Φλ分別為狀態(tài)變換矩陣F的特征值和特征向量。

由以下兩式計(jì)算λ、Φλ,具體如下。

(15)

(16)

其中:Ri為第i個(gè)時(shí)間間隔輸出的協(xié)方差;E為數(shù)學(xué)期望算子。

對Hankel矩陣H進(jìn)行奇異值分解可得:

H=OC

(17)

(18)

(19)

(20)

其中,O、C、G分別為觀測矩陣、控制矩陣、狀態(tài)向量與輸出向量之間的協(xié)方差矩陣。

(21)

其中,N為Hankel矩陣的列數(shù)。

2 數(shù)值算例

本文以簡支梁和連續(xù)梁為例,采用隨機(jī)子空間法識別模態(tài)參數(shù),研究隨機(jī)車流-橋系統(tǒng)和橋梁本身頻率和振型的區(qū)別,具體步驟為:① 確定車流信息;② 隨機(jī)車流-橋系統(tǒng)有限元建模;③ 系統(tǒng)動力響應(yīng)計(jì)算;④ 模態(tài)參數(shù)識別。

2種算例均設(shè)定4種工況如下:

工況1 無隨機(jī)車流作用的無損橋梁。

工況2 無隨機(jī)車流作用的有損橋梁。

工況3 隨機(jī)車流作用下的無損橋梁。

工況4 隨機(jī)車流作用下的有損橋梁。

2.1 簡支梁算例

采用箱型截面的簡支梁[16],隨機(jī)車流-簡支梁模型如圖2所示,簡支梁箱形截面尺寸如圖3所示。圖2中:mi、mj分別為第i個(gè)、第j個(gè)質(zhì)量塊的質(zhì)量;h為質(zhì)量塊數(shù);v為質(zhì)量塊的移動速度;n為簡支梁的劃分單元數(shù)。簡支梁主要參數(shù)為:長度L=30 m,彈性模量E=26 GPa,質(zhì)量密度ρ=2 500 kg/m3。

圖2 隨機(jī)車流-簡支梁模型

圖3 簡支梁箱形截面尺寸

1) 首先將梁等分為30個(gè)梁單元,共31個(gè)節(jié)點(diǎn),建立梁有限元模型;然后基于元胞自動機(jī)模型模擬車流,車流密度設(shè)為K=0.12,采用周期性邊界條件,即每個(gè)時(shí)間步均有3輛車行駛在橋梁上,車輛與橋梁的質(zhì)量比值約為5.8%。

2) 將第10單元、第15單元、第20單元設(shè)置為損傷單元(抗彎剛度折減),損傷程度α均設(shè)為20%。

3) 通過元胞自動機(jī)模型截取30 s的車流信息,將車輛簡化為質(zhì)量塊模型,計(jì)算隨機(jī)車流-橋系統(tǒng)的動力響應(yīng),隨機(jī)車流作用下無損簡支梁節(jié)點(diǎn)16的加速度響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 隨機(jī)車流作用下無損簡支梁節(jié)點(diǎn)16的加速度響應(yīng)曲線

4) 選取節(jié)點(diǎn)4、節(jié)點(diǎn)7、節(jié)點(diǎn)10、節(jié)點(diǎn)13、節(jié)點(diǎn)16、節(jié)點(diǎn)19、節(jié)點(diǎn)22、節(jié)點(diǎn)25、節(jié)點(diǎn)28共9個(gè)節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng),采用隨機(jī)子空間法得到穩(wěn)定圖如圖5所示,選取清晰的穩(wěn)定點(diǎn)來確定模態(tài)階次,分別識別出4種工況下簡支梁的前3階頻率和最大值歸一化振型值。

圖5 隨機(jī)車流作用下無損簡支梁橋典型穩(wěn)定圖

工況1下,橋梁為無隨機(jī)車流作用下的無損橋梁,不涉及任何損傷和車輛影響,對應(yīng)的模態(tài)參數(shù)屬于梁自身。為了更加直觀地說明損傷、隨機(jī)車流、損傷與隨機(jī)車流的影響,計(jì)算工況2、工況3、工況4下與工況1相比,簡支梁前3階頻率識別結(jié)果的差值,見表1所列。由表1可知:隨機(jī)車流和局部損傷均可引起識別的頻率發(fā)生改變,相應(yīng)結(jié)果均小于梁自身的頻率,變化幅度在同一數(shù)量級;當(dāng)梁同時(shí)受到損傷與隨機(jī)車流影響時(shí),頻率變化幅度更大,這說明橋梁由于損傷導(dǎo)致的頻率變化會被隨機(jī)車流所引起的變化掩蓋。4種工況下簡支梁前3階振型識別結(jié)果如圖6所示。由圖6可知,4種工況下,第1階和第2階振型差異相對較小,第3階振型變化幅值最大。

圖6 4種工況下簡支梁前3階振型識別結(jié)果

下面以第3階振型為例,研究隨機(jī)車流和局部損傷對橋梁歸一化振型的影響。與工況1相比,工況2、工況3、工況4下在9個(gè)節(jié)點(diǎn)處識別的第3階振型差值見表2所列。

表2 3種工況下簡支梁9個(gè)節(jié)點(diǎn)處第3階振型與工況1的差值 %

從表2可以看出,損傷和隨機(jī)車流作用導(dǎo)致的簡支梁橋振型變化處于同一量級,而損傷與隨機(jī)車流共同作用導(dǎo)致的振型變化較兩者單獨(dú)作用時(shí)更為明顯。

2.2 連續(xù)梁算例

采用兩等跨連續(xù)梁,各跨參數(shù)、損傷設(shè)置均與2.1節(jié)簡支梁相同。將梁等分為60個(gè)梁單元,節(jié)點(diǎn)數(shù)為61。車流密度設(shè)為K=0.11,每個(gè)時(shí)間步均有6輛車行駛在橋梁上。模擬過程和識別方式與簡支梁算例類似。

選取節(jié)點(diǎn)4、節(jié)點(diǎn)10、節(jié)點(diǎn)16、節(jié)點(diǎn)22、節(jié)點(diǎn)28、節(jié)點(diǎn)34、節(jié)點(diǎn)40、節(jié)點(diǎn)46、節(jié)點(diǎn)52、節(jié)點(diǎn)58共10個(gè)節(jié)點(diǎn)的動力響應(yīng),分別識別4種工況下的前3階頻率和振型,頻率結(jié)果見表3所列,振型結(jié)果如圖7所示。以第3階振型為例,與工況1相比,工況2、工況3、工況4下在10個(gè)節(jié)點(diǎn)處識別的第3階振型差值見表4所列。

表4 3種工況下連續(xù)梁10個(gè)節(jié)點(diǎn)處第3階振型與工況1的差值 %

表3、表4及圖7結(jié)果表明,局部損傷和隨機(jī)車流對識別的連續(xù)梁頻率和最大值歸一化振型的影響與簡支梁類似。

2種算例結(jié)果都表明,隨機(jī)車流和局部損傷會導(dǎo)致識別的橋梁模態(tài)參數(shù)發(fā)生改變,且兩者導(dǎo)致的模態(tài)變化處于同一量級。因此,基于模態(tài)參數(shù)的損傷識別中,若不考慮隨機(jī)車流的影響,頻率和振型的變化將被誤判為損傷引起的,影響損傷識別的準(zhǔn)確性。

3 討 論

隨機(jī)車流會對環(huán)境激勵下識別的橋梁頻率和振型造成影響,影響程度取決于車流密度的大小。下面以簡支梁為例,探討不同車流密度對參數(shù)識別的影響,并對比分析隨機(jī)車流、單個(gè)移動車輛和靜置車輛3種車流模擬方式對結(jié)果的影響。

3.1 車流密度的影響

隨機(jī)車流-橋梁系統(tǒng)與橋梁自身的模態(tài)參數(shù)有所區(qū)別,主要原因在于車輛本身具有質(zhì)量屬性,車流密度的大小是關(guān)鍵指標(biāo)。在某時(shí)間段內(nèi)截取4份30 s時(shí)長的車流數(shù)據(jù),車流密度分別為K0=0、K1=0.04、K2=0.08、K3=0.12、K4=0.16,每個(gè)更新時(shí)間步中車輛與橋梁的質(zhì)量比值分別為0、2.2%、4.7%、5.8%、9.1%。參照2.1節(jié)的計(jì)算流程,比較不同車流密度下識別的頻率和第3階振型相對變化情況。頻率識別結(jié)果見表5所列。由表5可知,車流密度越大,識別的頻率越小,在車流密度為K1=0.04時(shí),第3階頻率的變化可達(dá)0.69 Hz。4種車流密度下簡支梁9個(gè)節(jié)點(diǎn)處第3階振型與K0下振型的差值見表6所列。由表6可知,同一節(jié)點(diǎn)在不同車流密度下振型識別結(jié)果不同,其變化程度與車流密度關(guān)系較為復(fù)雜。

表6 4種車流密度下簡支梁9個(gè)節(jié)點(diǎn)處第3階振型與K0下的差值 %

3.2 車流模擬方式的影響

考慮3種車流模擬方式:① 隨機(jī)車流,車流密度設(shè)為K=0.12,具體模擬過程同2.1節(jié);② 靜置車輛,將質(zhì)量分別為m1=5 t、m2=5 t、m3=6 t的3個(gè)質(zhì)量塊分別?？坑诠?jié)點(diǎn)8、節(jié)點(diǎn)16、節(jié)點(diǎn)24來模擬靜置車輛,如圖8所示;③ 單個(gè)移動車輛,將車輛簡化為點(diǎn)質(zhì)量模型,采用質(zhì)量m4=16 t的質(zhì)量塊,速度v=10 m/s來模擬單個(gè)移動車輛。隨機(jī)車流、單個(gè)移動車輛和靜置車輛與橋梁的質(zhì)量比值均約為5.8%。

圖8 靜置車輛作用下的簡支梁示意圖

損傷設(shè)置與2.1節(jié)相同,考慮5種工況如下:

工況J1無車輛作用的完好簡支梁。

工況J2無車輛作用的有損簡支梁。

工況J3隨機(jī)車流作用下的完好簡支梁。

工況J4單個(gè)移動車輛作用下的完好簡支梁。

工況J5靜置車輛作用下的完好簡支梁。

分別模擬隨機(jī)車流、單個(gè)移動車輛和靜置車輛作用下的頻率和振型,識別的頻率和第3階振型差值分別見表7、表8所列。

表7 不同車流模擬方式下簡支梁前3階頻率與工況J1下的差值 單位:Hz

表8 不同車流模擬方式下簡支梁9個(gè)節(jié)點(diǎn)處第3階振型與工況J1下的差值 %

由表7、表8可知:局部損傷、隨機(jī)車流、單個(gè)移動車輛和靜置車輛都會引起簡支梁頻率和振型的識別結(jié)果發(fā)生變化;不同車流模擬方式下的差值不同,如隨機(jī)車流、單個(gè)移動車輛和靜置車輛導(dǎo)致的簡支梁第1階頻率改變量分別為-0.08、-0.15、-0.11 Hz。

因此,考慮到現(xiàn)實(shí)中多為隨機(jī)車流,采用隨機(jī)車流模擬方式相對更加合理。

4 結(jié) 論

本文通過元胞自動機(jī)模型模擬隨機(jī)車流,研究隨機(jī)車流對梁式橋模態(tài)參數(shù)識別的影響,得出如下結(jié)論:

1) 局部損傷和隨機(jī)車流都會導(dǎo)致識別的簡支梁和連續(xù)梁頻率發(fā)生變化,識別結(jié)果均小于梁自身的頻率;兩者單獨(dú)作用下識別的簡支梁和連續(xù)梁與梁自身的第3階振型差值處于同一量級。若不考慮隨機(jī)車流的影響,則頻率和振型的變化將被誤判為損傷引起的,從而影響后續(xù)損傷識別的準(zhǔn)確性。

2) 車流密度越大,車質(zhì)量越大,識別的簡支梁頻率越小;不同車流密度下振型識別結(jié)果不同,其變化程度與車流密度關(guān)系較為復(fù)雜。

3) 實(shí)際中考慮車流因素影響時(shí),相對于單個(gè)移動車輛和靜置車輛的方式,采用隨機(jī)車流更為合理。

運(yùn)營狀態(tài)下的橋梁,只有剔除隨機(jī)車流因素對橋梁固有模態(tài)參數(shù)的影響,才能保證其損傷識別的準(zhǔn)確性。下一步將針對指定橋型建立實(shí)際識別出的橋梁模態(tài)參數(shù)、固有模態(tài)參數(shù)與相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)車流因素(如車流密度、橋梁跨徑等)之間的經(jīng)驗(yàn)公式,進(jìn)而通過實(shí)際識別出的橋梁模態(tài)參數(shù)和經(jīng)驗(yàn)公式擬合出橋梁的固有模態(tài)參數(shù)。此外,本文僅分析了中小跨徑梁式橋,需進(jìn)一步研究隨機(jī)車流對更復(fù)雜橋型模態(tài)參數(shù)識別的影響。