史寧中

關(guān)于絕對值和數(shù)軸的一個注

史寧中

（東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024）

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材關(guān)于絕對值的內(nèi)容，是通過線段長度或者距離定義絕對值，然后再論述有理數(shù)的絕對值性質(zhì)，這樣的表述并不合適．絕對值概念源于復(fù)數(shù)大小的表達，然后用于向量長度的表達，因此，實數(shù)的和線段長度的絕對值表達都是特例，可以分別稱為絕對值的代數(shù)表達和幾何表達．兩種表達在形式上的一致性，構(gòu)成了數(shù)形結(jié)合的理論基礎(chǔ)，成為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．建議：未來初中數(shù)學(xué)教材的編寫和教學(xué)，可以嘗試回歸絕對值的本原．

絕對值；數(shù)軸；復(fù)數(shù)；向量

至少對于數(shù)學(xué)教育而言，數(shù)形結(jié)合始于初中數(shù)學(xué)，是通過數(shù)軸和絕對值表述的．但仔細閱讀現(xiàn)行的教材可以發(fā)現(xiàn)，這些內(nèi)容的表述不盡合理，不僅不能自圓其說，也沒有揭示數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)本質(zhì)．正值《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》實施之際，特寫此文供教材編寫者、教研員和中學(xué)數(shù)學(xué)教師參考，歡迎批評指正．

現(xiàn)在，關(guān)于絕對值概念的論述出現(xiàn)了矛盾：非負數(shù)的絕對值到底是線段長度呢？還是它本身所表達的數(shù)量的多少呢？因為在本質(zhì)上，無論是正數(shù)還是負數(shù)都是對數(shù)量的抽象，數(shù)量相等、意義相反，而絕對值表達的正是相等的數(shù)量，因此才會有“相反數(shù)的絕對值相等”這樣的結(jié)論．事實上，這也是數(shù)學(xué)家定義絕對值的初衷．

因為在一般情況下，復(fù)數(shù)是無法比較大小的，于是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯于1841年發(fā)明了絕對值這個符號（參見：CAJORI F. A history of mathematical notations [M]. New York: Dover Publications, 1993: 123–124, 133．國內(nèi)著作參見：徐品方，張紅．數(shù)學(xué)符號史[M]．北京：科學(xué)出版社，2006：269．），用以表示復(fù)數(shù)的大?。簭?fù)數(shù)的實部與虛部平方和的開方．因此，對于實數(shù)的特殊情況，絕對值就是：非負數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．也就是說，任意實數(shù)的絕對值可以表示為

的形式．由此可見，最初定義的絕對值與數(shù)軸無關(guān)，可以稱為絕對值的代數(shù)表示．

的形式．這恰好是數(shù)軸上的線段長度，可以稱為絕對值的幾何表示．

茍直線上之點，裂為前后兩段，前段各點均在后段各點之左，如是則必有一點，且僅有一點使此兩段之分裂得以產(chǎn)生．

是說，數(shù)軸上的點是連續(xù)的，基本特征是：任意一個點都可以把數(shù)軸上的點劃分為兩類，一類點在另一類點的左邊，這樣的劃分能并且只能產(chǎn)生一個點．類比數(shù)軸上的點，戴德金認為實數(shù)的連續(xù)性也具有這樣的特征：任何一個實數(shù)都對應(yīng)一個劃分，可以把實數(shù)分為兩類，一類中的實數(shù)小于另一類中的實數(shù)，這樣的劃分能并且只能產(chǎn)生一個實數(shù)．借助連續(xù)性公理，戴德金最終定義了具有連續(xù)性的實數(shù)，使得極限的嚴謹定義與表達成為可能．

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容最好既包括絕對值的幾何表示，也包括代數(shù)表示．數(shù)學(xué)教育應(yīng)當讓學(xué)生知道，正是因為這兩種表示形式上的一致性，使得有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)（小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容）升華到數(shù)量與距離的對應(yīng)（初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容），幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的直觀，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

A Note on Absolute Value and the Number Axis

SHI Ning-zhong

(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

The content of absolute value in current middle school mathematics textbooks defines absolute value through segment length or distance, and then discusses the properties of absolute value for rational number, which is not an appropriate statement. The concept of absolute value originates from the expression of the magnitude of complex number, and later extends to the representation of vector lengths. Therefore, theabsolute value expressions of real numbers and segment lengths are both special cases, being termed algebraic and geometric expressions of absolute value, respectively. The formal consistency of these two expressions constitutes the theoretical foundation of the combination of numbers and shapes, becoming a pivotal aspect of middle school mathematics. This article suggests that the writing and teaching of future middle school mathematics textbooks should consider returning to the origin of absolute value.

absolute value; number axis; complex number; vector

G632

A

1004–9894（2023）05–0001–02

史寧中．關(guān)于絕對值和數(shù)軸的一個注[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2023，32（5）：1-2．

2023–09–03

史寧中（1950—），男，江蘇南京人，教授，博士生導(dǎo)師，國家教材委員會數(shù)學(xué)專業(yè)委員會主任委員、中國教育學(xué)會學(xué)術(shù)委員會主任、高中數(shù)學(xué)課程標準修訂組組長、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準修訂組組長、CAP數(shù)學(xué)專家委員會主任，主要從事數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]