葉俊倢

摘 ?要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有效區(qū)分和界定數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和要素，可以有效引領(lǐng)學(xué)生在觀察、分析與研究的過程中，學(xué)會(huì)自我反思與客觀評(píng)價(jià)。目前，部分學(xué)生由于對(duì)課堂知識(shí)與實(shí)際解題過程結(jié)合得不夠充分，導(dǎo)致無法解答課本范圍外的拓展題目；在解決較難的幾何問題時(shí)，過于依賴課后答案，無法進(jìn)行更深層次的理解?；谝陨犀F(xiàn)象，在幾何實(shí)踐教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)重要的知識(shí)點(diǎn)，變機(jī)械被動(dòng)式學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，這有利于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)、完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。文章重點(diǎn)研究了幾何要素加工以及要素結(jié)構(gòu)，探究了幾何信息加工的實(shí)踐策略，以提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；幾何要素；數(shù)學(xué)知識(shí)體系

一、相關(guān)概念概述

（一）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也叫關(guān)系結(jié)構(gòu)，是當(dāng)代數(shù)學(xué)的基本概念，是所有數(shù)學(xué)對(duì)象，如群、線性空間、序集、拓?fù)淇臻g和流形等，以關(guān)系和幾何的方式展現(xiàn)出的公理組合。

結(jié)合初中數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，本研究認(rèn)為“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”包含兩層意義：一是指數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)具有穩(wěn)定的特征，各知識(shí)點(diǎn)以穩(wěn)定的組織方式和發(fā)展方式結(jié)合在一起，形成了一個(gè)統(tǒng)一的整體，即數(shù)學(xué)知識(shí)體系；二是指這些知識(shí)按照固有、穩(wěn)定的方式聯(lián)結(jié)在一起，即數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)結(jié)形成的初中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這種聯(lián)結(jié)方式具有自我生長的力量。

（二）幾何要素與信息加工

幾何要素包括導(dǎo)出要素、公稱導(dǎo)出要素、實(shí)際（組成）要素、提取組成要素、提取導(dǎo)出要素、擬合組成要素和擬合導(dǎo)出要素等。學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過程中，學(xué)習(xí)方式逐步由簡單到復(fù)雜、單一到復(fù)合。初中生學(xué)習(xí)的幾何信息及要素結(jié)構(gòu)知識(shí)，是在小學(xué)基礎(chǔ)上的深化和延伸，從幾何知識(shí)中提取幾何要素，進(jìn)而在幾何要素的基礎(chǔ)上完成導(dǎo)出。

信息加工，即數(shù)學(xué)學(xué)科在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中，循環(huán)地應(yīng)用抽象、推理計(jì)算等方式進(jìn)行加工，也就是學(xué)生運(yùn)用信息整合的辦法，感知所學(xué)的知識(shí)，并進(jìn)一步深化、加工和整合。這個(gè)過程涉及了如何篩選、整理信息，以及有選擇地對(duì)接收到的信息進(jìn)行編碼、內(nèi)化和組織，并利用對(duì)這些信息的反饋?zhàn)龀鲋匾臎Q定。

二、對(duì)幾何信息進(jìn)行加工的實(shí)踐意義

初中階段有許多抽象的知識(shí)，需要學(xué)生具有想象力、抽象思維、邏輯推理能力和建模思維等，能夠在頭腦中構(gòu)建出幾何模型來舉一反三地解決數(shù)學(xué)問題。

目前，還有很多學(xué)生沒有完全適應(yīng)初中的學(xué)習(xí)節(jié)奏和方法，對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，多數(shù)學(xué)生還停留在“教師教什么、課本上說什么，自己就學(xué)什么”這樣的固定模式上。因此在解決許多幾何問題時(shí)，學(xué)生無法對(duì)題目內(nèi)容進(jìn)行信息加工；在做一些幾何定理推導(dǎo)或解決較難的幾何綜合題時(shí)，學(xué)生過度依賴教材或參考答案中的輔助線提示，很難對(duì)抽象性、邏輯性的幾何知識(shí)有更深層次的認(rèn)識(shí)和理解。

不僅是學(xué)生，還有部分教師受傳統(tǒng)應(yīng)試教育的影響，課堂教學(xué)仍以題海戰(zhàn)術(shù)為主，導(dǎo)致很多學(xué)生缺乏信息加工能力的同時(shí)思維固化愈加嚴(yán)重。因此在幾何實(shí)踐教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，基于幾何要素結(jié)構(gòu)進(jìn)行信息加工，使學(xué)生由淺層理解轉(zhuǎn)向深入把握十分必要。

三、基于初中數(shù)學(xué)幾何要素結(jié)構(gòu)的信息加工策略

（一）創(chuàng)建結(jié)構(gòu)化教學(xué)模式，培養(yǎng)幾何建模與想象能力

以幾何知識(shí)體系為例，最基本的幾何問題都是要從點(diǎn)出發(fā)，從點(diǎn)到線再到面，構(gòu)成幾何圖形。首先點(diǎn)的知識(shí)，要求學(xué)生掌握點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)到直線的距離以及兩點(diǎn)之間線段最短這三個(gè)概念；其次是學(xué)生需要掌握點(diǎn)與角、點(diǎn)與線之間的關(guān)系，即點(diǎn)處于不同線上時(shí)，點(diǎn)所在線的線段，與角形成的角度也各不相同，由此類推，研究點(diǎn)與角、線與角、角與角之間的位置關(guān)系。

在該部分教學(xué)中，教師可以采用結(jié)構(gòu)化的教學(xué)方式。在教學(xué)中，教師要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體把握，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系；要善于從教材中挖掘深層內(nèi)涵，追溯概念和定義的提出以及定理的發(fā)現(xiàn)過程，以拓寬學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生在深入探索某領(lǐng)域時(shí)，摸索出行之有效的解題思路，從而不斷地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的自我培養(yǎng)。這種結(jié)構(gòu)化的教學(xué)要求，符合幾何信息加工的教學(xué)方式。加上教師通過大單元整合教學(xué)內(nèi)容，能夠使學(xué)生對(duì)知識(shí)體系有一個(gè)整體的把握和認(rèn)識(shí)，并幫助學(xué)生從多角度、多層次分析問題，這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還培養(yǎng)了學(xué)生宏觀層面的思維能力。

知識(shí)內(nèi)容的整合、結(jié)構(gòu)化，不僅能夠防止教學(xué)內(nèi)容單一、避免知識(shí)的斷層，還能實(shí)現(xiàn)高效的課堂教學(xué)、更好地引領(lǐng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生達(dá)到以簡馭繁、觸類旁通的高階學(xué)習(xí)狀態(tài)。在教學(xué)中，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生查看目錄里的每一章節(jié)，讓學(xué)生從整體上對(duì)知識(shí)框架有一個(gè)的初步印象。具體而言，教師可以通過結(jié)構(gòu)關(guān)系明顯的思維導(dǎo)圖來呈現(xiàn)章節(jié)中幾何圖形的要點(diǎn)，以直白、醒目的方式，讓學(xué)生了解幾何知識(shí)體系。

例如，在講解“圓”這一章節(jié)時(shí)，首先教師以結(jié)構(gòu)關(guān)系圖的方式，呈現(xiàn)初中階段幾何圖形的知識(shí)框架，這種直觀的方式，能夠讓學(xué)生更好地了解圓是曲線型知識(shí)模塊，在整個(gè)圖形與幾何知識(shí)體系中，占有舉足輕重的地位，在幫助學(xué)生明確了單元目標(biāo)的同時(shí)，使學(xué)生理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，滲透教師結(jié)構(gòu)化的教學(xué)理念。其次，教師讓學(xué)生從整體上把握單元學(xué)習(xí)目標(biāo)、了解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，如圖1所示。教師根據(jù)章節(jié)知識(shí)搭建好框架后，繼續(xù)搭建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，以學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)體系為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展、深化或整合，形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的疊加。這能夠深化學(xué)生的認(rèn)知，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展。學(xué)生在學(xué)習(xí)中提煉了數(shù)學(xué)方法，總結(jié)與歸納了知識(shí)點(diǎn)。

因此初中數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，并不是教師單純地系統(tǒng)講解某一知識(shí)內(nèi)容，而是更加重視學(xué)生掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)，并能靈活運(yùn)用于實(shí)踐中。

（二）以教材為依托，分層提升幾何思維能力

無論是哪種教學(xué)方法，教師都需要以教材為依托，以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，梳理各要素的結(jié)構(gòu)模型及相關(guān)信息，形成適合每個(gè)學(xué)生的教學(xué)形式。教師應(yīng)熟悉教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，根據(jù)學(xué)生不同的思維能力，綜合考量其整體水平，并以教材為基礎(chǔ)，在教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣够蚪档碗y度。

例如，在班內(nèi)有一部分學(xué)生具有較好的幾何思維，他們能比其他學(xué)生率先想出構(gòu)建輔助線，或從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形結(jié)構(gòu)等解決問題的方法，這時(shí)教師需要觀察、了解班級(jí)其他無法解題的學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握水平，不能在講解較復(fù)雜幾何綜合題時(shí)，因?yàn)椴糠謱W(xué)生能夠回答就一帶而過。教師需要知道，教學(xué)過程注重的不是教學(xué)速度，而是學(xué)生能否從教學(xué)過程中提升幾何信息加工的能力。因此教師需要使用分層教學(xué)模式，將教材內(nèi)的例題與自己所設(shè)的例題，按照題型難度劃分為基礎(chǔ)題、提高題以及拓展題，在課堂教學(xué)過程中，按照題目難度有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考；帶動(dòng)整體課堂的氛圍，使學(xué)生在積極的課堂氛圍帶動(dòng)下，更積極地思考幾何圖形。

幾何信息加工在教學(xué)過程中要發(fā)揮最大的作用。首先，教師可以進(jìn)行動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生展示在實(shí)驗(yàn)中的思考過程；然后，根據(jù)具體的教學(xué)設(shè)計(jì)，自由變化這些幾何圖形；最后，根據(jù)自由變換出的圖形，設(shè)計(jì)難度不一的問題，讓能力水平不同的學(xué)生獨(dú)立思考該類問題的解決方法，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生解決更高難度的題目。

幾何題目中的幾何模型，可以更直觀地幫助學(xué)生了解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，以及變化形態(tài)和運(yùn)動(dòng)過程。以圖形的變換為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)后，教師即可展示例題：“以小組為單位，畫出三角形ABC，并以點(diǎn)O為圓心旋轉(zhuǎn)該三角形，可以看到哪些相同的角和線段？”教師從基本圖形出發(fā)，通過復(fù)雜的圖形，以及點(diǎn)線面的綜合知識(shí)，考查學(xué)生對(duì)幾何信息的處理能力。學(xué)生以小組的形式展示成果，然后師生進(jìn)行交流：1. AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′；2. ∠BAC=∠B′A′C′，∠ABC=∠A′B′C′。設(shè)計(jì)意圖在于教師通過實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和分析幾何圖形中的信息要素能力，使學(xué)生具有幾何思維。

教師在教學(xué)中，可以設(shè)立相關(guān)的學(xué)習(xí)小組，讓學(xué)生在小組探討的學(xué)習(xí)氛圍中，彌補(bǔ)自己在知識(shí)學(xué)習(xí)上的不足，同時(shí)能夠與其他學(xué)生交流自己解決相關(guān)問題的思路，達(dá)到取長補(bǔ)短的效果。

小組學(xué)習(xí)的方式，要求每一個(gè)學(xué)生都要參與到教師的教學(xué)設(shè)計(jì)中，只有親身參與其中，才能夠使自身的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷提高。

教師還應(yīng)該采取啟發(fā)式的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生，設(shè)置問題的難度，應(yīng)該由淺入深、循序漸進(jìn)，讓學(xué)生通過環(huán)環(huán)相扣的問題，找到可以有效解決相關(guān)問題的關(guān)鍵，進(jìn)而有效地鍛煉了學(xué)生解決問題的邏輯思維。

例題1：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心、r=2.3cm為半徑的圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？

此時(shí)，教師把問題引申到例題2：在平行四邊形ABCD中，∠ABC=70°，半徑為r的☉O經(jīng)過點(diǎn)A，B，D，弧線AD所對(duì)的圓心角為90°，延長CB至點(diǎn)P，使得PB=AB，試判斷直線PA與☉O的位置關(guān)系，并說明理由。

該題組循序漸進(jìn)地增加了問題的復(fù)雜程度。例題1以教材為主，教師通過給出的條件，讓學(xué)生思考圓與直線的位置關(guān)系，使學(xué)生形成了圓與直線位置的概念。這時(shí)教師互動(dòng)的對(duì)象，可以選擇一些幾何思維能力較弱的學(xué)生，以提高他們的課堂參與度。第二個(gè)例題將條件進(jìn)行了升級(jí)，對(duì)此教師可以選擇一些幾何能力較強(qiáng)的學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)，以提高他們的幾何思維能力，同時(shí)也要注意引導(dǎo)幾何能力較弱的學(xué)生。這樣的題組，能夠讓學(xué)生從不同的方面融會(huì)貫通自己的幾何思維、提高處理幾何信息的能力。教師利用例題作為鋪墊、用思考題拓展學(xué)生的思維，在使學(xué)生具有了數(shù)學(xué)探索精神的同時(shí)，尋找到了最優(yōu)的解決辦法。

（三）控制好課堂知識(shí)量，提升課堂效率

在單位時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生的知識(shí)量，是提高課堂教學(xué)效率的關(guān)鍵。但每個(gè)人的記憶容量有限，這需要教師注重對(duì)課堂知識(shí)量的把控，否則容易導(dǎo)致學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)接受大量信息，卻沒有足夠的時(shí)間消化知識(shí)，從而降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和課堂效率。幾何知識(shí)需要的抽象思維能力不是一蹴而就的，因此教師需要解決課堂效率與工作記憶容量之間的矛盾，在課堂上給予學(xué)生充分的自我思考的時(shí)間，結(jié)合學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)，逐步提高學(xué)生的幾何推理能力。幾何要素對(duì)初中生而言，較為抽象，但該部分內(nèi)容又對(duì)高中的幾何學(xué)習(xí)具有重要的影響，因此需要學(xué)生打好基礎(chǔ)。對(duì)此教師可以合理利用信息加工技術(shù)，簡要地講解幾何要素的重要內(nèi)容，并給予學(xué)生足夠的時(shí)間思考、消化。

四、結(jié)語

綜上所述，教師在問題化的教學(xué)情境中，開展幾何信息加工和要素結(jié)構(gòu)分析，進(jìn)而使用數(shù)學(xué)建模等多樣化的幾何信息加工策略，能有效鍛煉學(xué)生處理并解決數(shù)學(xué)難題的綜合能力，讓學(xué)生具備基本的數(shù)學(xué)、幾何信息的加工思維，有利于學(xué)生將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)學(xué)以致用，這對(duì)學(xué)生的幾何思維與幾何推導(dǎo)能力產(chǎn)生了積極的作用。

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（責(zé)任編輯：鄒宇銘）