彭旭龍, 謝小朋, 黃海平, 魏文超, 唐雪松

(1. 長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院 力學(xué)系, 長沙 410114;2. 中車株洲電力機(jī)車有限公司, 湖南 株洲 412000)

0 引 言

受輕量化和高性價(jià)比材料需求的驅(qū)動,復(fù)合材料在航空航天、交通運(yùn)輸、生物工程、核能發(fā)電、航海與軍事等領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用[1-3]．然而,不同的材料黏結(jié)界面成分差異明顯,界面出現(xiàn)強(qiáng)度不匹配,導(dǎo)致材料發(fā)生大尺度的變形和高梯度的殘余應(yīng)力從而使材料失效[4]．功能梯度材料(functionally graded materials,FGMs)因其力學(xué)性能隨著空間位置的變化而變化,所以可以解決這些問題．自然界中存在著很多具有功能梯度特性的材料,比如木材、動物的骨骼、貝殼等都是常見的天然功能梯度材料,且其截面都具有明顯的環(huán)形層狀結(jié)構(gòu)[5]．這類結(jié)構(gòu)因其良好的物理和力學(xué)特性,在機(jī)械和航空航天等工程應(yīng)用中有著極其重要的作用,許多研究人員對其帶來的新的力學(xué)問題產(chǎn)生了濃厚的興趣．Dai等[6]求得了在離心力和熱荷載作用下功能梯度圓環(huán)的應(yīng)力和應(yīng)變場的半解析解．Danesh和Asghari[7]基于應(yīng)變梯度理論分析了轉(zhuǎn)動圓盤的彈性力學(xué)行為．Obata和Noda[8]使用變分方法推導(dǎo)了功能梯度空心圓柱體和球體的控制方程和邊界條件,并求得了穩(wěn)態(tài)熱應(yīng)力的解析解．陳康等[9]假設(shè)盤心彈性模量分段梯度變化,提出了一種盤心局部梯度的輪盤結(jié)構(gòu),并采用等厚圓環(huán)法計(jì)算了輪盤的彈性應(yīng)力場分布．Abdalla等[10]假定材料沿徑向呈冪函數(shù)梯度變化,利用有限元法分析了功能梯度轉(zhuǎn)動空心盤的熱應(yīng)力行為．張瑩等[11]用England-Spencer板理論研究了材料梯度因子、板的厚度以及無量綱正應(yīng)力對功能梯度圓板的影響．Horgan[12]研究了功能梯度各向同性線彈性材料受內(nèi)壓作用空心圓柱體和旋轉(zhuǎn)圓盤的應(yīng)力響應(yīng)問題．Peng和Li[13-15]對任意梯度變化的各向同性受壓功能梯度空心圓筒和圓環(huán)等軸對稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行了彈性和熱彈性分析．

從力學(xué)研究的角度看,功能梯度材料最突出的特點(diǎn)是其材料的非均勻性,這使得描述其力學(xué)問題的控制微分方程都是變系數(shù)的．因此,以往在處理功能梯度材料相關(guān)問題時(shí),通常假設(shè)材料性能按某些特定函數(shù)變化,然后來求得相關(guān)問題的解析解[16-19]．然而,功能梯度材料性能的實(shí)際變化形式非常復(fù)雜,將材料性能簡單假設(shè)為坐標(biāo)的特定函數(shù)很難符合實(shí)際情況．因此,近年來發(fā)展了一些新的數(shù)值計(jì)算方法．劉思敏等[19]發(fā)展了一種用于求解典型連續(xù)及不連續(xù)各向異性穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值流形方法．俞海和劉云鵬[20]研究了層狀梯度對Cu/WCP功能梯度材料力學(xué)性能的影響,并通過有限元方法模擬了5層Cu/WCP功能梯度材料在沿層向方向拉伸作用下的變形特性及力學(xué)行為．Omer[21]基于Pascal多項(xiàng)式和多尺度技術(shù)提出了一種求解各向異性功能梯度材料平面彈性方程的無網(wǎng)格方法,且通過邊界元等方法證明了該理論的準(zhǔn)確性．彭旭龍等[22-23]采用積分方程方法,推導(dǎo)了轉(zhuǎn)動圓盤軸對稱平面應(yīng)力問題中關(guān)于徑向應(yīng)力的積分方程,并采用數(shù)值方法對該積分方程進(jìn)行了求解．劉旭和姚林泉[24]通過Hamilton原理,得到了在溫度變化和由旋轉(zhuǎn)運(yùn)動引起的面力作用下旋轉(zhuǎn)功能梯度納米環(huán)板的徑向和橫向耦合運(yùn)動微分方程,并通過數(shù)值計(jì)算對該環(huán)板進(jìn)行了振動分析．另一方面,從材料制備和材料性能來看,功能梯度材料更多地表現(xiàn)為各向異性．Bhattacharya等[25]設(shè)計(jì)、合成和表征了兩種沿軸向分布的多層功能梯度材料,并采用擴(kuò)展有限元法分析了各向異性功能梯度材料在機(jī)械荷載作用下的疲勞問題．Yildirim[26]采用解析與數(shù)值的方法,通過施加可能的邊界條件和常用的材料分級規(guī)則(如簡單冪次和指數(shù)模式),對極正交各向異性功能梯度材料制成的圓盤進(jìn)行了彈性分析．唐長亮等[27]考慮了各向異性功能梯度材料的飛輪,并建立了飛輪的力學(xué)方程,考察了橫向拉伸對應(yīng)力和變形的影響．有關(guān)各向異性功能梯度夾層圓環(huán)結(jié)構(gòu)相關(guān)力學(xué)問題的研究雖然取得了一些成果,但大都是針對材料性能呈特殊梯度變化的情況[28]．有關(guān)沿徑向任意梯度變化的夾層各向異性功能梯度圓環(huán)的研究還不多,如果能夠給出一種通用的方法得到夾層圓環(huán)材料關(guān)于任意梯度參數(shù)變化情況的解析解或近似解,無疑將會為功能梯度材料的設(shè)計(jì)和夾層圓環(huán)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供重要的理論指導(dǎo)意義．

鑒于此,本文仿照生物學(xué)中貝殼的三層環(huán)狀結(jié)構(gòu),建立了具有3個(gè)不同區(qū)域的各向異性圓環(huán),內(nèi)層與外層為均勻各向異性材料,中間層為材料性能沿徑向任意變化的功能過渡區(qū)域．考慮其繞剛性軸勻速轉(zhuǎn)動,推導(dǎo)得到其控制方程,并給出一種有效的積分方程方法,將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于徑向應(yīng)力的Fredholm積分方程,從而通過對積分方程的數(shù)值求解得到夾層圓環(huán)的應(yīng)力和位移場的分布情況,并研究了材料不同的梯度參數(shù)變化對應(yīng)力和位移場的影響．

1 模型建立問題描述

如圖1所示,仿照自然界中貝殼的三層環(huán)狀構(gòu)造結(jié)構(gòu),考慮一個(gè)固結(jié)于剛性軸上的功能梯度夾層圓環(huán),外部受均布壓力q0作用且以角速度ω繞剛性軸勻速轉(zhuǎn)動．該圓環(huán)由相互之間黏結(jié)非常好的3個(gè)區(qū)域組成,分別記為區(qū)域Ⅰ(a≤r

(1)

對于各向異性材料,Poisson比νrθ,νθr與徑向、環(huán)向彈性模量Er,Eθ之間存在以下關(guān)系:

(2)

假設(shè)圓環(huán)的軸向厚度很小,則本問題可以考慮為軸對稱的平面應(yīng)力問題．因此結(jié)構(gòu)內(nèi)僅有徑向位移ur不為零,其幾何方程為

(3)

(4)

本構(gòu)方程為

(5)

(6)

其中εr,εθ和σr,σθ分別表示結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)處的徑向、環(huán)向應(yīng)變和徑向、環(huán)向應(yīng)力．同時(shí),應(yīng)力分量應(yīng)滿足如下平衡方程:

(7)

現(xiàn)假定夾層圓盤繞剛性軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動且承受均布外壓q0作用,同時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)部各區(qū)域之間黏結(jié)得非常好,則應(yīng)滿足如下的邊界條件:

(8)

特別說明,與式(1)類似,本文用上標(biāo)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ來區(qū)分各區(qū)域的物理量．

2 過渡層材料性能沿徑向呈冪函數(shù)梯度變化

以往關(guān)于功能梯度材料相關(guān)的力學(xué)研究中,為求得問題的解析解,通常將材料性能假設(shè)為空間坐標(biāo)的某種特殊函數(shù),比如冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)．因此,我們首先也假設(shè)過渡區(qū)域Ⅱ的材料性能沿徑向呈冪函數(shù)變化:

(9)

下面給出功能過渡區(qū)域Ⅱ的求解過程,對于均勻各向異性區(qū)域Ⅰ和Ⅲ可由相似過程簡單求出．在區(qū)域Ⅱ,將式(9)代入本構(gòu)方程(5)和平衡方程(7)得

(10)

其中λ為材料的各向異性度,為環(huán)向彈性模量Eθ與徑向彈性模量Er的比值:

(11)

(12)

其中

系數(shù)A2,C2由邊界條件和連續(xù)性條件確定．因此,區(qū)域Ⅱ的應(yīng)力分量可以表示為

(13)

(14)

區(qū)域Ⅰ和Ⅲ的位移分量和應(yīng)力分量可類似求得．因此,夾層結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力和位移場表達(dá)式可整體表示為

(15)

(16)

(17)

其中a≤r1≤b,b≤r2≤c,c≤r3≤d,

待定系數(shù)A1,A2,A3,C1,C2,C3可由邊界條件以及連續(xù)性條件(8)得到．建立矩陣方程X=P-1Q即可求得X=[A1A2A3C1C2C3]T的值,其中P,Q的表達(dá)式詳見附錄．

3 過渡層材料性能沿徑向呈任意函數(shù)梯度變化

(18)

(19)

式(18)可改寫為

(20)

上式可看成是關(guān)于徑向位移的微分方程,其解可寫為

(21)

(22)

繼而聯(lián)立式(21)、(22),代入平衡方程(7),可得

(23)

(24)

其中

(25)

其中

(26)

(27)

h(r)為

4 數(shù)值算例與結(jié)果分析

假定功能過渡區(qū)域Ⅱ的材料性能按特殊冪函數(shù)形式變化,通過與第2節(jié)的精確解進(jìn)行比較,可驗(yàn)證第3節(jié)提出的Fredholm積分方程方法的有效性與精確度．同時(shí)本節(jié)主要運(yùn)用Fredholm積分方程方法分析材料性能沿徑向呈Voigt函數(shù)變化時(shí),梯度參數(shù)β、各向異性度λ、功能梯度區(qū)域的厚度t等對圓環(huán)結(jié)構(gòu)整體所帶來的影響．

4.1 Fredholm積分方程方法的有效性與精確度的驗(yàn)證

為驗(yàn)證提出的Fredholm積分方程方法的有效性和精確性,本小節(jié)假設(shè)過渡層以特殊冪函數(shù)形式(9)變化,與得到的精確解進(jìn)行對比驗(yàn)證．區(qū)域Ⅰ的材料屬性為:

區(qū)域Ⅲ的材料屬性與梯度參數(shù)β有關(guān)

由于Poisson比的變化對應(yīng)力與位移場的影響較小,因此假設(shè)夾層圓環(huán)各區(qū)域的Poisson比均為ν=0.3,此外假定外部荷載q0=0,角速度ω=100 rad/s,夾層圓環(huán)各區(qū)域內(nèi)外徑分別為a/d=0.1,b/d=0.4,c/d=0.7,1．

特殊冪函數(shù)時(shí)由彈性力學(xué)理論求得的精確解與Fredholm積分方程方法得到的數(shù)值解對比結(jié)果如圖2所示,可以看出精確解與數(shù)值解完全重合,由此可以認(rèn)為Fredholm積分方程方法不但具有精確性而且非常有效．

圖2 冪函數(shù)時(shí)數(shù)值解和解析解的比較Fig. 2 Comparisons of the exact and numerical results with the power law function (qn=ρⅢω2b2,

4.2 各向異性度對圓環(huán)結(jié)構(gòu)應(yīng)力與變形的影響

上述的驗(yàn)證是通過在特殊冪函數(shù)的情況下與精確解比較來進(jìn)行的,然而在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中,夾層圓環(huán)材料的屬性隨其組成成分的變化而變化．接下來,我們將考慮更加一般的形式,假設(shè)夾層圓環(huán)的材料屬性沿半徑呈Voigt函數(shù)模型變化:

(28)

4.3 梯度參數(shù)對應(yīng)力與位移場的影響

梯度參數(shù)β是夾層圓環(huán)結(jié)構(gòu)過渡區(qū)域彈性模量的重要控制指標(biāo),β改變過渡區(qū)域的材料性能也將隨之變化．夾層圓環(huán)材料的其余參數(shù)設(shè)置參照4.2小節(jié)．圖4為梯度參數(shù)對結(jié)構(gòu)應(yīng)力場和位移場的影響．

圖4 梯度參數(shù)β對應(yīng)力與位移場的影響Fig. 4 The influences of gradient parameter β on the stress field and displacement fields

由圖4(a)可知,隨著梯度參數(shù)β的增大,夾層圓環(huán)的徑向應(yīng)力顯著減小且在各個(gè)區(qū)域之間徑向應(yīng)力變化程度趨于平緩,對于各向異性材料來說,當(dāng)β的值增大到一定程度時(shí),徑向應(yīng)力在區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅱ的值將變得很小,且徑向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在區(qū)域Ⅲ中間的位置,這表明增大功能梯度參數(shù)對于改善夾層結(jié)構(gòu)的徑向應(yīng)力有明顯效果．由圖4(b)可知,隨著梯度參數(shù)β的增大,區(qū)域Ⅰ內(nèi)環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力變化一致,有著明顯減小的趨勢,且環(huán)向應(yīng)力逐漸趨于零,然而在過渡區(qū)域Ⅱ內(nèi)環(huán)向應(yīng)力會發(fā)生明顯的增大現(xiàn)象,且在區(qū)域Ⅱ內(nèi)大約在0.42的位置處隨著梯度參數(shù)β的增大環(huán)向應(yīng)力也隨之顯著增大,在過渡層與區(qū)域Ⅲ的交界處環(huán)向應(yīng)力達(dá)到最大值,隨之快速減?。@對設(shè)計(jì)各向異性材料來說也是需要特別關(guān)注的．由圖4(c)可知,隨著梯度參數(shù)β的增大徑向位移也隨之增大,與以往不同的是徑向位移的最大值不再出現(xiàn)在最外層邊界而是出現(xiàn)在過渡層區(qū)域．因此,可根據(jù)實(shí)際的需求通過調(diào)整夾層圓環(huán)的材料性能變化來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)．

4.4 過渡區(qū)域厚度對結(jié)構(gòu)應(yīng)力與位移場的影響

假定過渡層厚度參數(shù)為t(=(c-b)/d),通過固定區(qū)域Ⅰ的半徑((b-a)/d=0.2),調(diào)整t的大小來控制厚度參數(shù),從而分析功能過渡區(qū)域的厚度變化對結(jié)構(gòu)應(yīng)力與位移場的影響．其余的夾層圓環(huán)材料屬性參數(shù)參照4.2小節(jié),其中內(nèi)層半徑為a/d=0.1．

由圖5(a)可以明顯看到隨著功能梯度過渡區(qū)域厚度t增大,夾層圓環(huán)整體的徑向應(yīng)力也隨之減小,且徑向應(yīng)力的變化趨勢逐漸減緩,對于最外層區(qū)域Ⅲ的變化趨勢影響不大,滿足邊界條件．從圖5(b)中可以看到隨著厚度參數(shù)t的增大,環(huán)向應(yīng)力整體也隨之減小,環(huán)向應(yīng)力在界面交界處出現(xiàn)的尖點(diǎn)明顯趨于平緩,雖然在接近最外層的區(qū)域隨著t的增大環(huán)向應(yīng)力有增大的趨勢,但是變化不是很明顯．比較圖5(a)、5(b)可以發(fā)現(xiàn)隨著厚度參數(shù)t的增大,夾層圓環(huán)整體應(yīng)力都有明顯的減小,表明增大功能梯度過渡區(qū)域厚度能夠有效減緩應(yīng)力分布．由圖5(c)可以看出,隨著t的增大,徑向位移總體呈增大的趨勢．

圖5 功能過渡區(qū)域厚度參數(shù)t對應(yīng)力場和位移場的影響Fig. 5 The influences of thickness parameter t in the functional transition region on the stress field and the displacement field

5 結(jié) 論

本文主要分析了帶有功能梯度過渡區(qū)域的夾層圓環(huán)在外層受均布壓力作用且以角速度ω繞剛性軸勻速轉(zhuǎn)動時(shí)的彈性場問題．當(dāng)過渡層材料性能為特殊冪函數(shù)梯度形式變化時(shí),得到了結(jié)構(gòu)應(yīng)力場與位移場的解析解．而對于過渡層沿徑向呈任意梯度形式變化時(shí),采用積分方程方法將研究問題轉(zhuǎn)換為對關(guān)于徑向應(yīng)力的Fredholm積分方程的求解．通過與特殊冪函數(shù)梯度形式得到的精確解進(jìn)行對比,驗(yàn)證提出的積分方程方法的有效性和精確性．在此基礎(chǔ)上,重點(diǎn)研究了過渡區(qū)域材料性能以Voigt函數(shù)梯度變化時(shí)不同參數(shù)對夾層圓環(huán)結(jié)構(gòu)彈性場的影響．主要結(jié)論如下:

1) 梯度參數(shù)的增大可有效減緩徑向應(yīng)力的分布,但會引起環(huán)向應(yīng)力在過渡區(qū)域與區(qū)域Ⅲ的交界處的應(yīng)力增大．

2) 各向異性度的增大會明顯降低夾層圓環(huán)的最大徑向應(yīng)力,同時(shí)增加其最大環(huán)向應(yīng)力以及徑向位移．

3) 隨著功能梯度過渡區(qū)域厚度增加,夾層圓環(huán)的應(yīng)力變化趨勢明顯減緩,但徑向位移增大．

4) 提出的Fredholm積分方程方法適用于材料性能沿徑向呈任意梯度變化的情況,對于具體梯度變化情況只需代入相應(yīng)梯度變化進(jìn)行求解即可．

附 錄

精確解矩陣方程P,Q的表達(dá)式如下:

P=