摘 要：閱讀叔本華的哲學(xué)名著《人生的智慧》，梳理書中的數(shù)學(xué)元素，得到啟示：數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系為落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科德育構(gòu)建了路徑，為數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置留白活動(dòng)提供了參照。

關(guān)鍵詞：《人生的智慧》；數(shù)學(xué)哲學(xué)；學(xué)科德育；教學(xué)留白

在歷史上，數(shù)學(xué)與哲學(xué)有著緊密的聯(lián)系。哲學(xué)家總是被數(shù)學(xué)吸引。據(jù)說，柏拉圖學(xué)院在入口處刻著以下警句：“不懂幾何者勿入?！痹诖笠?guī)模學(xué)科分科之前，很多數(shù)學(xué)家也是哲學(xué)家，如笛卡兒、羅素等。當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)家夏皮羅（S.Shapiro）認(rèn)為，有多種理由將數(shù)學(xué)與哲學(xué)聯(lián)系起來：第一，它們都屬于為理解我們周圍世界所做的最初的理智上的嘗試；第二，數(shù)學(xué)是哲學(xué)家一個(gè)重要的研究案例；第三，數(shù)學(xué)幾乎在所有以理解物質(zhì)世界為目的的科學(xué)中都扮演著核心的角色。［1］

近期，筆者閱讀了著名哲學(xué)家叔本華（A.Schopenhauer，1788—1860）的哲學(xué)名著《人生的智慧》，試圖在獲得人生的智慧啟迪的同時(shí)，探尋數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系，得到關(guān)于數(shù)學(xué)教育的啟示。

一、 叔本華與《人生的智慧》

叔本華誕生于但澤（今波蘭的格旦斯克）的一個(gè)異常顯赫的富商家庭。他自小就跟隨父母周游列國(guó)。在上大學(xué)之前，從15歲到17歲，更專門游歷了歐洲國(guó)家，在各種不同的語言、文化氛圍中實(shí)地接受熏陶。叔本華在哥廷根念大學(xué)的前兩年里，學(xué)習(xí)了物理學(xué)、礦物學(xué)、自然歷史、植物學(xué)，也旁聽了生理學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、人種學(xué)、法學(xué)的課。他留下來的筆記本密密麻麻地寫滿了他對(duì)聽課內(nèi)容的肯定、否定、質(zhì)疑、感想。廣泛、深入的知識(shí)為他以后成為哲學(xué)家鋪墊了必不可少的基礎(chǔ)。

叔本華很早就顯現(xiàn)出超群的思想能力，25歲左右就完成了哲學(xué)名篇《論充足根據(jù)律的四重根》，而為他奠定不朽哲學(xué)家地位的著作《作為意志和表象的世界》也是在29歲前完成的。

1820年1月，叔本華獲得了柏林大學(xué)講師的資格。1833年6月，45歲的叔本華在德國(guó)的法蘭克福安頓了下來，直到72歲去世。

叔本華一生并不得志，一直過著隱居的生活，到去世前幾年才獲得應(yīng)有的聲譽(yù)。但他從不懷疑自己的天賦使命，而是堅(jiān)信自己思想的價(jià)值，他高傲、堅(jiān)韌的性格也導(dǎo)致他對(duì)待真理的問題完全不可能有妥協(xié)。

從早年起，他就筆耕不輟，隨時(shí)把自己的思考記錄下來，并整理成著作。

到1844年，叔本華已經(jīng)寫下討論廣闊話題的文章。他希望出版商能把擴(kuò)充了內(nèi)容的《作為意志和表象的世界》再版發(fā)行。但是，鑒于這本著作第一次出版遭受的冷遇，出版商熱情不大，最后只是很不情愿地出版了兩冊(cè)本的擴(kuò)充本。

到1850年，叔本華一生中的最后一部巨著《附錄和補(bǔ)遺》終于完成。費(fèi)盡周折、經(jīng)歷耽誤和失望之后，他的密友和崇拜者弗勞恩斯塔德終于成功說服柏林一家出版商把這兩冊(cè)著作付梓出版，印數(shù)只有750本?！度松闹腔邸芬粫∽浴陡戒浐脱a(bǔ)遺》，它其實(shí)是獨(dú)立成書的。這本書討論的話題與我們的世俗生活十分接近，如健康、財(cái)富、名聲、榮譽(yù)和待人接物所應(yīng)遵守的原則等。正如叔本華所說，在這本書里，他盡量從世俗、實(shí)用的角度考慮問題。因此，這本書尤其適合大眾閱讀。［2］

二、 《人生的智慧》中的數(shù)學(xué)元素

在《人生的智慧》中，叔本華借助諸多數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)，充分闡釋了其哲學(xué)思想和觀點(diǎn)。以下做簡(jiǎn)要的梳理。

（一） 分?jǐn)?shù)與財(cái)富

在數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)mn的大小是由分子m和分母n的大小共同決定的。叔本華從分?jǐn)?shù)的這一性質(zhì)入手，闡述了其對(duì)財(cái)富的看法：

一個(gè)人在擁有財(cái)產(chǎn)方面能否得到滿足并不由某一財(cái)產(chǎn)的絕對(duì)數(shù)量所決定。這其實(shí)取決于一個(gè)相對(duì)的數(shù)量，也就是說，由一個(gè)人所期待得到的財(cái)產(chǎn)和自己已經(jīng)實(shí)際擁有的財(cái)產(chǎn)之間的關(guān)系決定。因此，僅僅考察一個(gè)人的實(shí)際擁有毫無意義，這種情形就猶如在計(jì)算一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，只計(jì)算分子而忽略了分母一樣。當(dāng)對(duì)某樣?xùn)|西的要求還沒有進(jìn)入一個(gè)人的意識(shí)的時(shí)候，這個(gè)人完全不會(huì)感覺到對(duì)它有所欠缺。沒有這樣?xùn)|西，他照樣心安理得。但一個(gè)擁有百倍以上財(cái)產(chǎn)的人，只要他對(duì)某樣?xùn)|西產(chǎn)生了要求，而又得不到它，那他就會(huì)感到怏怏不樂。［3］

這里，叔本華通過分?jǐn)?shù)的大小說明：人們需要給自己對(duì)財(cái)富獲取的欲望界定一個(gè)限度，否則，就難以擺脫人生的匱乏和操勞。

（二） 正比例與社交

在數(shù)學(xué)中，如果兩個(gè)量的比值總是一定的，我們就說，這兩個(gè)量成正比例。叔本華利用正比例關(guān)系，論述了其對(duì)社交的認(rèn)識(shí)：

在獨(dú)處的時(shí)候，每個(gè)人都只能返求于自身，這個(gè)人的自身擁有就會(huì)暴露無遺。因此，一個(gè)愚人背負(fù)著自己可憐的自身——這一無法擺脫的負(fù)擔(dān)——而嘆息呻吟。而有著優(yōu)越精神思想稟賦的人卻以其思想使所處的死氣沉沉的環(huán)境變得活潑和富有生氣……我們可以發(fā)現(xiàn)：大致而言，一個(gè)人對(duì)與人交往的熱衷程度，與他智力的平庸及思想的貧乏成正比。［4］

這里，叔本華通過正比例關(guān)系說明了豐富的精神思想的可貴，否則，即使熱衷于與人交往，也不能填補(bǔ)內(nèi)心的空虛。

（三） 反比例與學(xué)習(xí)

與正比例相反，當(dāng)兩個(gè)量的乘積總是一定時(shí)，我們就說，這兩個(gè)量成反比例。關(guān)于社交，叔本華還從另一個(gè)角度說明了其與年齡的關(guān)系：

我們的年齡和我們對(duì)社交的熱衷程度成反比——在這里，我們還可以發(fā)現(xiàn)哲學(xué)上的目的論發(fā)揮了作用。一個(gè)人越年輕，他就越需要在各個(gè)方面學(xué)習(xí)。這樣，大自然就為年輕人提供了互相學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。人們?cè)谂c自己相仿的人交往時(shí)，也就是互相學(xué)習(xí)了。在這方面，人類社會(huì)可被稱為一個(gè)龐大的貝爾·蘭卡斯特模式的教育機(jī)構(gòu)。一般的學(xué)校和書本教育是人為的，因?yàn)檫@些東西遠(yuǎn)離大自然的計(jì)劃。所以，一個(gè)人越年輕，他就越感興趣進(jìn)入大自然的學(xué)?！@合乎大自然的目的。［5］

由此可見，叔本華沒有完全否定社會(huì)交往的作用，他利用反比例關(guān)系說明了年輕人社交的重要性，鼓勵(lì)年輕人在獲得豐富的精神世界之前，通過交往來促進(jìn)互相學(xué)習(xí)。

（四） 圓與自控

在數(shù)學(xué)中，圓是一類基本圖形。叔本華利用圓心、半徑與周長(zhǎng)的關(guān)系，說明了其關(guān)于自控的思考：

當(dāng)然，能夠自如地支配自己，自我約束是必不可少的——要做好任何事情莫不如此。為達(dá)到這一目的，我們必須強(qiáng)化這一想法：每個(gè)人都必須承受許許多多來自外在的艱難制約，沒有了這些制約，生活也就不稱之為生活了。對(duì)自己適時(shí)的小小約束會(huì)在以后的日子里避免許多外在的桎梏，這正如在一個(gè)圓圈里，緊靠著圓心的小圓圈對(duì)應(yīng)著圓周圈，后者經(jīng)常比前者大上百倍以上。約束自己比任何其他手段都更有效地使我們避免了外在束縛。［6］

這里，叔本華利用圓的特征說明了自我約束的重要性：與其抵御來自外界的如同圓周般巨大的制約，不如對(duì)自己的內(nèi)心施加一些小小的約束。

（五） 周期性與生活

在數(shù)學(xué)中，周期性被用來刻畫“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。叔本華基于“周期”這一概念，提出了著名的“人生鐘擺說”：

痛苦和無聊是人類幸福的兩個(gè)死敵。關(guān)于這一點(diǎn)，我可以做一個(gè)補(bǔ)充：每當(dāng)我們感到快活，在我們遠(yuǎn)離上述一個(gè)敵人的時(shí)候，我們也就接近了另一個(gè)敵人，反之亦然。所以說，我們的生活確實(shí)就是在這兩者中或強(qiáng)或弱地?fù)u擺。這是因?yàn)橥纯嗯c無聊之間的關(guān)系是雙重的對(duì)立關(guān)系。一重是外在的，屬于客體；另一重則是內(nèi)在的，屬于主體。外在的一重對(duì)立關(guān)系其實(shí)也就是生活的艱辛和匱乏產(chǎn)生痛苦，而豐裕和安定就產(chǎn)生無聊……而內(nèi)在的或者說屬于主體的痛苦與無聊之間的對(duì)立關(guān)系則基于以下這一事實(shí)：一個(gè)人對(duì)痛苦的感受能力和對(duì)無聊的感受能力成反比，這是由一個(gè)人的精神能力的大小所決定的。［7］

以上觀點(diǎn)指出，人們的生活在痛苦和無聊之間重復(fù)著周期性的運(yùn)動(dòng)。因此，大多數(shù)人認(rèn)為叔本華的觀點(diǎn)過分悲觀。實(shí)際上，叔本華進(jìn)一步指出，這種周期性的運(yùn)動(dòng)是由于人內(nèi)在的空虛所導(dǎo)致的，一個(gè)精神富足的人能夠走出人生的鐘擺，從而使得自身始終處于一種平衡的狀態(tài)。

三、 對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示

《人生的智慧》一書表明，夏皮羅的論述可以進(jìn)一步擴(kuò)展為“數(shù)學(xué)在以理解人生與世界為目的的哲學(xué)中扮演著重要的角色”。同時(shí)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間的聯(lián)系，也給中小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來了一些啟示。

（一） 數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系，為落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科德育構(gòu)建了路徑

立德樹人是當(dāng)今教育的根本任務(wù)。如何在教學(xué)過程中落實(shí)立德樹人，是數(shù)學(xué)教育研究的重要課題。

在《人生的智慧》一書中，數(shù)學(xué)元素蘊(yùn)含了豐富的德育內(nèi)涵。在理性方面，叔本華教導(dǎo)人們，學(xué)會(huì)對(duì)自我的約束和控制，將對(duì)外部物質(zhì)條件的追求限定在合理的程度。在情感方面，叔本華勸誡大家，增加對(duì)精神思想的追求，因?yàn)槟遣攀钦嬲呒?jí)的樂趣——最好是“老老實(shí)實(shí)地走進(jìn)學(xué)問的天地中”，享受如“江上的清風(fēng)與山間的明月”般取之不盡、用之不竭的人類精神財(cái)富（知識(shí)寶藏）［8］。在品質(zhì)方面，叔本華更是提到了多種需要培養(yǎng)的優(yōu)良品質(zhì)，包括克制、好學(xué)、自省等。特別地，叔本華一直強(qiáng)調(diào)人的幸福主要來自自身豐富的精神世界。在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透這一思想（這樣的數(shù)學(xué)價(jià)值觀），有利于彰顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值，幫助學(xué)生克服浮躁和功利的心態(tài)，從而專注于對(duì)數(shù)學(xué)的純粹思考與學(xué)習(xí)。

（二） 數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系，為數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置留白活動(dòng)提供了參照

在書畫藝術(shù)創(chuàng)作中，留白是指為使整個(gè)作品的畫面、章法更為協(xié)調(diào)、精美而有意留下相應(yīng)的空白，留有想象的空間。隨著我國(guó)的課堂教學(xué)從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)向，教學(xué)留白逐漸成為教育改革的重要理念之一。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，留白具有多種表現(xiàn)形式。其中，超越知識(shí)自身、指向思想和精神目標(biāo)的“白”被稱為“超越之白”，而用數(shù)學(xué)來思考人生是“超越之白”的高層次體現(xiàn)。［9］《人生的智慧》一書中，無處不彰顯著叔本華對(duì)數(shù)學(xué)與人生的思考。基于這些素材，我們可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中更好地設(shè)置“超越之白”的留白與補(bǔ)白活動(dòng)。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)“正比例”后，教師可以提問學(xué)生：生活中的哪些事物存在正比例關(guān)系？學(xué)生暢所欲言之后，教師可以進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：各位同學(xué)的努力與成績(jī)、思想與幸福也有正比例關(guān)系。如此，鼓勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)、提升自我。

（三）數(shù)學(xué)教師發(fā)展的方向

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的深入發(fā)展，無論是創(chuàng)新育人方式，還是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，都有賴于跨科學(xué)內(nèi)容的教學(xué)。［14］隨著STEM教育、創(chuàng)客教育等跨學(xué)科教育深入基礎(chǔ)教育領(lǐng)域，教師的教學(xué)勝任力發(fā)生了從學(xué)科教學(xué)素養(yǎng)向跨學(xué)科教學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)階式轉(zhuǎn)變。［15］從以上內(nèi)容中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系，為數(shù)學(xué)教師提升跨學(xué)科素養(yǎng)指明了方向。

在數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展活動(dòng)中，可以針對(duì)數(shù)學(xué)教師跨學(xué)科素養(yǎng)的提升設(shè)置多樣化的活動(dòng)。以叔本華《人生的智慧》為例，教師教育者可以將叔本華作為跨學(xué)科學(xué)習(xí)的榜樣，強(qiáng)調(diào)正是叔本華對(duì)物理學(xué)、自然歷史、天文學(xué)、法學(xué)等不同學(xué)科的廣泛涉獵與思考為他之后的哲學(xué)研究提供了必不可少的基礎(chǔ)，從而增強(qiáng)教師的跨學(xué)科意識(shí)。同時(shí)，可以組織數(shù)學(xué)教師采用閱讀分享的方式，交流《人生的智慧》中的數(shù)學(xué)元素——這正是叔本華提倡的自然的學(xué)習(xí)方式。此外，還可以帶領(lǐng)數(shù)學(xué)教師開展相關(guān)的課例研究，有意識(shí)地將《人生的智慧》中的數(shù)學(xué)元素融入日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科德育的落實(shí)以及數(shù)學(xué)教學(xué)中“超越留白”活動(dòng)的設(shè)置。

最后需要指出的是，本文主要以叔本華的《人生的智慧》為例，說明了數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系。其實(shí)，仍有眾多哲學(xué)家及其哲學(xué)著作有待進(jìn)一步挖掘。相信隨著未來相關(guān)研究的逐漸增多，必將為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的跨學(xué)科融合提供更多的啟示及借鑒。

參考文獻(xiàn)：

［1］斯圖爾特·夏皮羅.數(shù)學(xué)哲學(xué)——對(duì)數(shù)學(xué)的思考［M］.郝兆寬，楊睿之，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2009： 56.

［2］［3］［4］［5］［6］［7］叔本華.人生的智慧［M］.韋啟昌，譯.北京：中央編譯出版社，2011：17，20，2223，4546，167，179.

［8］張五常.吾意獨(dú)憐才——五常談教育［M］.北京：中信出版社，2010：86.

［9］王華，汪曉勤.中小學(xué)數(shù)學(xué)“留白創(chuàng)造式”教學(xué)——理論、實(shí)踐與案例［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2023：7981.

（沈中宇，蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，博士后?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)月刊》編委。主要研究方向：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教師教育。）

*本文系江蘇省高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究2022年度一般項(xiàng)目“中小學(xué)教師學(xué)科育德能力評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建研究”（編號(hào)：2022SJYB1444）、上海市立德樹人數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)課程中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究”（編號(hào)：A8）、上海市第四期雙名工程課題“中小學(xué)數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)”的階段性研究成果。