楊俊越

摘要：數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型 建模意義 建模過(guò)程

一、數(shù)學(xué)建模介紹

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、 用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問(wèn)題。通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。[1]

二、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的水平劃分

（一）水平一

了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及其數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際含義。知道數(shù)學(xué)建模的過(guò)程包括：提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)結(jié)果、完善模型。能夠在熟悉的實(shí)際情境中，模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程解決問(wèn)題。對(duì)于學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)模型，能夠舉例說(shuō)明建模的意義，體會(huì)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；感悟數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性。在交流的過(guò)程中，能夠借助或引用已有數(shù)學(xué)建模的結(jié)果說(shuō)明問(wèn)題。

（二）水平二

能夠在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，知道數(shù)學(xué)問(wèn)題的價(jià)值與作用。能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題；理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型；能夠根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果，完善模型，解決問(wèn)題。能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，理解數(shù)學(xué)建模的意義；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，表述數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的問(wèn)題以及解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果，形成研究報(bào)告，展示研究成果。在交流的過(guò)程中，能夠用模型的思想說(shuō)明問(wèn)題。

（三）水平三

能夠在綜合的情境中，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題。能夠理解數(shù)學(xué)建模的意義和作用；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和結(jié)果。在交流的過(guò)程中，能夠通過(guò)數(shù)學(xué)建模的結(jié)論和思想闡釋科學(xué)規(guī)律和社會(huì)現(xiàn)象。

三、常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型

通過(guò)大量的實(shí)際問(wèn)題，建立一些基本數(shù)學(xué)模型，包括線性模型、二次曲線模型、指數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、參變數(shù)模型。在教學(xué)中，要重視這些模型的背景、形成過(guò)程、應(yīng)用范圍，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、 數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)，提升實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

（一）線性模型

1.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，了解一維線性模型，理解一次函數(shù)與均勻變化的關(guān)系，并能發(fā)現(xiàn)生活中均勻變化的實(shí)際問(wèn)題。

2.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，了解二維線性模型，探索平面上一些圖形的變化，并能理解一維線性模型與二維線性模型的異同。

3.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，了解三維線性模型，如經(jīng)濟(jì)學(xué)上的投入產(chǎn)出模型。

（二）二次曲線模型

借助實(shí)例（如光學(xué)模型、自由落體、邊際效應(yīng)），了解二次曲線模型的含義和特征，體會(huì)二次曲線模型的實(shí)際意義。

（三）指數(shù)函數(shù)模型

借助有關(guān)增長(zhǎng)率的實(shí)際問(wèn)題（如種群增長(zhǎng)、放射物衰減），理解指數(shù)函數(shù)模型，感受增長(zhǎng)率是常數(shù)的事物的單調(diào)變化。

（四）三角函數(shù)模型

借助具體實(shí)例，理解一類(lèi)波動(dòng)問(wèn)題（如光波、聲波、電磁波）等周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)刻畫(huà)。

（五）參變數(shù)模型

借助具體實(shí)例，理解平面上的參變數(shù)模型，如彈道模型。 借助具體實(shí)例，理解空間上的參變數(shù)模型，如螺旋曲線。借助一些用參變數(shù)方程描述的物理問(wèn)題與幾何問(wèn)題，理解參變數(shù)的意義，掌握參變數(shù)變化的范圍。

另外，通過(guò)具體實(shí)例，還建立一些基于數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)濟(jì)模型和社會(huì)模型，包括存款貸款模型、投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、凱恩斯模型、生產(chǎn)函數(shù)模型、等級(jí)評(píng)價(jià)模型、人口增長(zhǎng)模型、信度評(píng)價(jià)模型等。在教學(xué)活動(dòng)中，要讓學(xué)生知道這些模型形成的背景、數(shù)學(xué)表達(dá)的道理、模型參數(shù)的意義、模型適用的范圍，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)；知道其中的有些模型 （以及模型的衍生）獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的理由，理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。內(nèi)容包括：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型、社會(huì)數(shù)學(xué)模型。

（六）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型

1.存款貸款模型（指數(shù)函數(shù)模型）

通過(guò)對(duì)存款等實(shí)際問(wèn)題的分析，抽象出復(fù)利模型；通過(guò)對(duì)住房貸款等實(shí)際問(wèn)題的分析，抽象出等額本金付款模型。了解這些模型各自的特點(diǎn)，能用這樣的模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2.投入產(chǎn)出模型（線性方程組模型）

了解投入產(chǎn)出模型的背景和意義，理解模型是如何通過(guò)線性方程組中的系數(shù)和解約束自變量、從而實(shí)現(xiàn)組合生產(chǎn)的計(jì)劃。能用投入產(chǎn)出模型分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

3.經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型（線性回歸模型）

利用我國(guó)改革開(kāi)放以后經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)據(jù)，通過(guò)時(shí)間與 GDP（或者人均GDP）之間的關(guān)系建立線性回歸模型（或者分段的線性回歸模型），估計(jì)其中的參數(shù)，理解參數(shù)的意義。能用同樣的方法分析簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。

4.凱恩斯模型（經(jīng)濟(jì)理論模型）

了解如何通過(guò)收入、消費(fèi)和投資之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，體會(huì)模型中系數(shù)的乘數(shù)效應(yīng)，體會(huì)擴(kuò)大消費(fèi)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展、增加國(guó)民收入之間的關(guān)系，能用模型解釋簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。

5.生產(chǎn)函數(shù)模型（對(duì)數(shù)線性模型）

了解生產(chǎn)理論中柯布道格拉斯（Cobb Douglas）生產(chǎn)函數(shù)，知道如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)生產(chǎn)與勞動(dòng)投入、資本投入之間的關(guān)系，知道如何把這樣的表達(dá)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)線性模型、如何對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

（七）社會(huì)數(shù)學(xué)模型

1.等級(jí)評(píng)價(jià)模型（平均數(shù)模型）

結(jié)合具體實(shí)例（如產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)價(jià)、熱點(diǎn)問(wèn)題篩選、跳水等技能性或全能等綜合性體育運(yùn)動(dòng)評(píng)分），了解加權(quán)平均、調(diào)和平均、穩(wěn)健平均等評(píng)價(jià)模型的特點(diǎn)及適用范圍，能用這樣的模型解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

2.人口增長(zhǎng)模型（指數(shù)函數(shù)模型）

結(jié)合實(shí)例（如我國(guó)人口增長(zhǎng)數(shù)據(jù)），了解為什么可以用指數(shù)增長(zhǎng)模型刻畫(huà)人口變化的規(guī)律，知道模型中參數(shù)的意義，知道如何用模型擬合實(shí)際數(shù)據(jù)，并能判斷擬合的有效性。

3.信度評(píng)價(jià)模型（Logistic回歸模型）

對(duì)于銀行貸款用戶、信用卡用戶等涉及信度的問(wèn)題，知道用Logistic回歸模型進(jìn)行信度評(píng)級(jí)的道理，知道構(gòu)造兩級(jí)（好、差）或者三級(jí)（好、中、差）進(jìn)行評(píng)價(jià)的方法，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

四、建模意義

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，也包含抽象的現(xiàn)象比如顧客對(duì)某種商品所取的價(jià)值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)、內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測(cè)、試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容。

我們也可以這樣直觀地理解這個(gè)概念：數(shù)學(xué)建模是一個(gè)讓純粹數(shù)學(xué)家（指只研究數(shù)學(xué)，而不關(guān)心數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用的數(shù)學(xué)家）變成物理學(xué)家、生物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至心理學(xué)家等的過(guò)程。

五、建模過(guò)程

（一）模型準(zhǔn)備

了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來(lái)包容問(wèn)題的精髓，數(shù)學(xué)思路貫穿問(wèn)題的全過(guò)程，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準(zhǔn)確。

（二）模型假設(shè)

根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

（三）模型建立

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）。

（四）模型求解

利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（或近似計(jì)算）。

（五）模型分析

對(duì)所要建立模型的思路進(jìn)行闡述，對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。

（六）模型檢驗(yàn)

將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過(guò)程。

數(shù)學(xué)模型是針對(duì)參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學(xué)符號(hào)刻劃出來(lái)的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu)。從廣義理解，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種概念，各種公式和各種理論。因?yàn)樗鼈兌际怯涩F(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來(lái)的，從這意義上講，整個(gè)數(shù)學(xué)也可以說(shuō)是一門(mén)關(guān)于數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。從狹義理解，數(shù)學(xué)模型只指那些反映了特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，這個(gè)意義上也可理解為聯(lián)系一個(gè)系統(tǒng)中各變量間內(nèi)的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。

數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的內(nèi)容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現(xiàn)出來(lái)。因此，數(shù)學(xué)模型法的操作方式偏向于定量形式。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）.北京：人民教育出版社，2020.