■河南省許昌市高中數(shù)學(xué)胡銀偉名師工作室 胡銀偉

2022 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷計(jì)數(shù)原理內(nèi)容的命題,遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版,2020 年修訂)》的基本要求,貫徹德智體美勞全面發(fā)展教育方針,落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù),體現(xiàn)高考改革的總體要求。試題凸顯強(qiáng)化“四基”,著重本質(zhì),服務(wù)選才等整體特征。

一、強(qiáng)化“四基”、注重本原

2022年高考全國(guó)卷中計(jì)數(shù)原理的命題,注重考查內(nèi)容全面性的同時(shí),突出對(duì)主干、重點(diǎn)內(nèi)容及“四基”的考查;強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、基本原理及其之間的內(nèi)在聯(lián)系;對(duì)于試題的解答更加注重本原性的方法、思維,強(qiáng)化通性通法的理解及應(yīng)用,淡化解題的技巧。這些命題特征也都有助于引導(dǎo)同學(xué)們形成系統(tǒng)的學(xué)科知識(shí)體系,注重對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和思維能力的培養(yǎng),從而夯實(shí)基礎(chǔ)。

例1【2022 年新高考全國(guó)Ⅱ卷第5題】有甲、乙、丙、丁、戊5 名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有( )。

A.12種 B.24種

C.36種 D.48種

思路點(diǎn)撥:思路一,先利用捆綁法處理丙、丁,再用插空法安排甲;思路二,特殊元素法,可先安排甲,再安排丙、丁,也可先安排丙、丁,再安排甲。

解析:(方法一)先考慮丙和丁相鄰

為使丙和丁相鄰,可以把丙、丁綁定(其中2人位置可以交換)和其余3 名同學(xué)進(jìn)行排列,共有種排法,其中甲站在兩端的排法有種。因此,所有的排列方式有(種)。故選B。

(方法二)先考慮丙和丁相鄰

先把丙丁捆綁,看作一個(gè)元素,再連同乙、戊看成三個(gè)元素排列,有3! 種排列方式。為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入,有2種插空方式。注意到丙、丁兩人的順序可交換,有2種排列方式。故這5名同學(xué)不同的排列方式共有3! ×2×2=24(種)。選B。

(方法三)先考慮甲,再分類(lèi)討論丙、丁的排列方式

如果甲站在正中間,則丙、丁位置的選取方式有2+2=4(種)。如果甲站在左起第2個(gè)位置,丙、丁只能站在甲的右側(cè),則丙、丁的排列方式有2×2=4(種)。如果甲站在左起第4個(gè)位置,考慮到對(duì)稱(chēng)性,同上種情況,則丙、丁的排列方式有2×2=4(種)。故甲、丙、丁的排列方式有4+4+4=12(種)。接下來(lái)討論乙和戊的排列方式,其排列方式有2種。綜上,所有的排列方式有12×2=24(種)。選B。

(方法四)先安排丙、丁,再安排甲

若丙和丁有一人在兩端,丙和丁的排法有2×2=4(種),再安排甲,甲的排法有2種,最后排乙和戊,其排列方式有2種,故此種分類(lèi)的排法有4×2×2=16(種)。若丙和丁都不在兩端,則乙和戊必須在兩端,乙和戊的排法有2種,此時(shí)甲、丙、丁的排列方式有2×2=4(種),此種分類(lèi)的排法有4×2=8(種)。

綜上,所有的不同排列方式有16+8=24(種)。選B。

試題評(píng)析:本題選取文藝匯演作為生活實(shí)踐情境,充分體現(xiàn)高考評(píng)價(jià)體系突出學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的要求。本題立足教材、注重基礎(chǔ),考查兩個(gè)基本原理及排列數(shù)的計(jì)算。本題的解法多樣,準(zhǔn)確分類(lèi)、正確掌握排列數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵。

二、強(qiáng)化“四能”,著重本質(zhì)

2022年計(jì)數(shù)原理高考試題,在強(qiáng)化“四基”的同時(shí),著重對(duì)“四能”的考查,突出對(duì)考生邏輯思維、運(yùn)算求解及創(chuàng)新思維等數(shù)學(xué)本質(zhì)能力的考查,也體現(xiàn)出高考對(duì)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求。

試題評(píng)析:本題是對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的考查。求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng),一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后,令字母的指數(shù)符合要求,解出項(xiàng)數(shù)k+1,代回通項(xiàng)即可。對(duì)于本題中兩個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題,可結(jié)合組合思想進(jìn)行求解,但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法,以免重復(fù)或遺漏。本題著重考查同學(xué)們的邏輯推理、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力,符合高考評(píng)價(jià)體系對(duì)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性的考查要求。

三、落實(shí)素養(yǎng),服務(wù)選才

2022年計(jì)數(shù)原理的高考命題,在強(qiáng)化“四基”、“四能”的同時(shí),也體現(xiàn)了高考命題從“知識(shí)立意”到“能力立意”,再到“素養(yǎng)導(dǎo)向”,從“解題”到“解決問(wèn)題”的變化;在深入考查關(guān)鍵能力的同時(shí),聚焦學(xué)科核心素養(yǎng),服務(wù)高考的選才功能。

例3【2022 年新高考全國(guó)Ⅰ卷第5題】從2至8 這7 個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2 個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為( )。

思路點(diǎn)撥:由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解。

解析:方法一:從2至8這7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),取法總數(shù)為=21。其中2個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況為{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},取法總數(shù)是14。

因此,從2 至8 這7 個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為故選D。

方法二:從2至8這7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),取法總數(shù)為=21。

其中2個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況共14種,分類(lèi)計(jì)數(shù)如下:

與2互質(zhì)的,為7 個(gè)數(shù)中的奇數(shù),共有3個(gè);

與3互質(zhì)且大于3的,為4至8中除去3的倍數(shù)的數(shù),共有4個(gè);

與4互質(zhì)且大于4 的,為5 至8 中的奇數(shù),共有2個(gè);

與5 互質(zhì)且大于5 的,為6 至8,共有3個(gè);

與6互質(zhì)且大于6的,有1個(gè);與7互質(zhì)且大于7的,有1個(gè)。因此,這2 個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為故選D。

若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種。

試題評(píng)析:本題以簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題為依托,既考查考生對(duì)互質(zhì)概念的理解,又考查計(jì)數(shù)、古典概型的基本計(jì)算。從7 個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2 個(gè)不同的數(shù)的取法總數(shù),既可以用組合數(shù)公式計(jì)算,也可以直接通過(guò)枚舉得到;解題時(shí),同學(xué)們需了解互質(zhì)的含義,并準(zhǔn)確枚舉2 個(gè)互質(zhì)的取法總數(shù),做到不重復(fù)不遺漏。本題考查同學(xué)們邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查大家邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng),符合高考對(duì)基礎(chǔ)性考查的要求。

例4【2022 年全國(guó)甲卷理數(shù)第15題】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè),則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)___。

思路點(diǎn)撥:根據(jù)古典概型的概率公式及空間幾何體的知識(shí)解答即可。

解析:方法一:從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè),共有=70(種)方法。

若這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面,有兩種情況:一是這4個(gè)點(diǎn)同在正方體的一個(gè)表面,共有6種情況;二是這4 個(gè)點(diǎn)同在正方體的一個(gè)對(duì)角面(面對(duì)角線(xiàn)與垂直于這個(gè)面的兩條平行棱構(gòu)成的平面),也有6種情況。

若這4 個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面,當(dāng)且僅當(dāng)4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方體的2條平行棱。正方體相互平行的2條棱共有(組),故有18個(gè)平面,但正方體每個(gè)表面上2 組平行的對(duì)棱構(gòu)成一個(gè)平面,這樣有6個(gè)平面重復(fù)計(jì)數(shù)。

試題評(píng)析:本題是以同學(xué)們熟悉的正方體和古典概型為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題,大家可通過(guò)空間想象和相關(guān)的概率知識(shí)求解;本題注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與靈活運(yùn)用,考查同學(xué)們的邏輯思維能力和空間想象能力。

本題能夠給大家廣闊的思考空間、更多的思考角度及基于自己認(rèn)知水平的發(fā)現(xiàn)和探索解題的方法,符合高考對(duì)基礎(chǔ)性、綜合性的考查要求。

以上的命題特征都有利于同學(xué)們學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成,也有利于高考選拔功能的落實(shí)。

真題演練:

1.【2022年北京卷第8題】若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=( )。

A.40 B.41

C.-40 D.-41

答案:B

解析:令x=1,則a4+a3+a2+a1+a0=1。

令x=-1,則a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81。

2.【2022年浙江卷第12題】已知多項(xiàng)式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=____,a1+a2+a3+a4+a5=____。

答案:8 -2

解析:含x2的項(xiàng)為:

故a2=8。

令x=0,則a0=2。

令x=1,則0=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a1+a2+a3+a4+a5=-2。

答案:15