洪逸倩

【摘? 要】新課標(biāo)將小學(xué)階段的推理能力改為推理意識，小學(xué)低年級學(xué)生生理、心理的特殊性使教師在落實推理意識培養(yǎng)上遇到不少問題。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)能有效推動小學(xué)低年級學(xué)生推理意識的形成。教師可以通過借助數(shù)學(xué)史料引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀、模仿、解題等方式積累經(jīng)驗，形成推理意識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；推理；推理意識；小學(xué)數(shù)學(xué)；低年級

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中將小學(xué)階段的推理素養(yǎng)改為推理意識，對推理意識定義為：對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。意識主要是指基于經(jīng)驗的感悟，而能力主要是指基于概念的理解。意識與能力并不是毫不相關(guān)的，意識的形成累積最終會轉(zhuǎn)化為能力，而能力的建立是以意識為基礎(chǔ)。因此，從某種意義上來說“推理意識”就是在判斷一個命題的真假時會自覺或者不自覺地使用的一種心理傾向性。而推理意識的培養(yǎng)影響了將來推理能力的發(fā)展。

小學(xué)生推理意識的發(fā)展貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，在培養(yǎng)學(xué)生推理意識方面有許多研究成果可供高年級教師參考。而對于小學(xué)低年級，尤其是一年級剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生來說，推理意識的培養(yǎng)是不少教師面臨的挑戰(zhàn)。低年級孩子識字量少，自主意識薄弱，思維缺乏連貫性，在這樣的情況下，如何有效培養(yǎng)學(xué)生的推理意識呢？

數(shù)學(xué)史家Morris·Kline說過“歷史是教學(xué)的指南”，汪曉勤教授在他的著作中也曾指出數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)教育提供了概念之源、術(shù)語之本、法則之立、學(xué)科之創(chuàng)、公式之導(dǎo)、定理之證、問題之庫、問題之解。由此可見數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，會有效地促進(jìn)學(xué)生推理意識的培養(yǎng)。

運用數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，洪萬生教授歸納出了三個層次：說數(shù)學(xué)史故事，啟迪學(xué)生人格；學(xué)數(shù)學(xué)家思維方法，培養(yǎng)學(xué)生能力；注入文化意義，實踐多元文化關(guān)懷。數(shù)學(xué)史的文化特性能賦予理性的數(shù)學(xué)學(xué)科一絲感性，融合了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂將更符合低年級孩子的心理特征，更易被低年級孩子所接受。對此筆者有以下建議：

一、閱讀數(shù)學(xué)史料，營造推理氛圍

學(xué)科閱讀是近些年各個學(xué)科的熱門話題，而數(shù)學(xué)閱讀又不同于普通閱讀。數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過閱讀數(shù)學(xué)相關(guān)材料建構(gòu)獲取數(shù)學(xué)知識和方法的活動?？梢哉f數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生獲取知識、信息，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要途徑之一。數(shù)學(xué)書中的語言包含文字、符號、圖形，課內(nèi)數(shù)學(xué)閱讀重在理解，重在內(nèi)化，理解、推理、反思數(shù)學(xué)閱讀的內(nèi)容。而課外的數(shù)學(xué)閱讀則是對數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)、對數(shù)學(xué)知識的擴(kuò)充、對數(shù)學(xué)語言的輔助鍛煉。因此低年級學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀不是簡單的看圖識字，而是從數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言上進(jìn)行閱讀。

（一）課內(nèi)閱讀指導(dǎo)

常見的數(shù)學(xué)課+“你知道嗎？”是一種數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的形式。汪曉勤教授提出的數(shù)學(xué)史附加式融入教學(xué)就類似這樣的做法。以人教版一年級上冊教材為例，教材編排設(shè)計了三個“你知道嗎”，其一在學(xué)生認(rèn)識了數(shù)字1～10后呈現(xiàn)了古代用算籌表示數(shù)的方式，其二在十以內(nèi)的加減法后呈現(xiàn)了古埃及象形文字中算式的樣子，其三編排在認(rèn)識時鐘后簡單出示了中國古代的計時工具日晷和銅漏壺。值得思考的是，教師在處理這部分內(nèi)容時候通常是蜻蜓點水，讓學(xué)生看看就過。那么教材這部分的內(nèi)容僅僅是為了豐富教材元素嗎？當(dāng)然不是，編寫者肯定希望在有限的教材版面內(nèi)給學(xué)生帶來更多的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成長。

通過對教材的分析、思考，在低年級的數(shù)學(xué)課中不妨進(jìn)行一些嘗試。在課堂中安排一定的時間指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行閱讀，設(shè)計幾個簡單的問題讓學(xué)生在閱讀后思考，如：“你能根據(jù)這段材料的知識，用古代算籌表示數(shù)字嗎？”“你能根據(jù)古埃及象形數(shù)字的意思計算古埃及的算式嗎？”“結(jié)合我們現(xiàn)在的時鐘猜測一下古代計時工具的原理”等等問題，一方面培養(yǎng)學(xué)生邊閱讀邊思考的習(xí)慣，另一方面，從數(shù)學(xué)眼光的養(yǎng)成來看，這也有利于低年級學(xué)生透過古今差異現(xiàn)象，觀察數(shù)學(xué)本質(zhì)，并且通過引導(dǎo)低年級學(xué)生從課內(nèi)數(shù)學(xué)史料入手進(jìn)行思考推理，也能在課內(nèi)營造推理氛圍。

（二）課外閱讀鏈接

閱讀不僅在課內(nèi)，學(xué)生大量的閱讀都是在課外進(jìn)行的。從全學(xué)科閱讀的大趨勢上，我們可以發(fā)現(xiàn)課外的數(shù)學(xué)閱讀不僅能激發(fā)學(xué)生興趣，還能啟發(fā)學(xué)生思維。借著全學(xué)科閱讀的時機(jī)，數(shù)學(xué)教師對學(xué)生的課外閱讀進(jìn)行適當(dāng)?shù)母深A(yù)，則可以營造良好的推理氛圍。教師可以結(jié)合低年級學(xué)生心理特點，收集學(xué)生可參考感興趣的數(shù)學(xué)史料選擇繪本、漫畫類的書籍推薦給學(xué)生，并指導(dǎo)帶著問題思考閱讀，也可以將數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工、重組，在學(xué)生閱讀后鼓勵學(xué)生錄制短視頻、繪本故事或畫成漫畫。在制作作品的過程中學(xué)生會去思考、感受歷史上的數(shù)學(xué)知識的形成，重復(fù)是人類的學(xué)習(xí)方式之一，學(xué)生通過作品制作，在這一過程中復(fù)述數(shù)學(xué)先賢們的思維路徑，以這樣的形式營造課外推理氛圍。例如小學(xué)一年級，可以從喬爾·利維的《奇妙數(shù)學(xué)史》、霍華德·伊夫斯的《數(shù)學(xué)史概論》中收集到以下史料。以這些資料為素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、創(chuàng)作數(shù)學(xué)科普小視頻，或者經(jīng)由教師團(tuán)隊加工形成閱讀資料、視頻動畫短片等。

二、模仿數(shù)學(xué)先賢，積累推理經(jīng)驗

課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的主陣地，推理意識的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個活動環(huán)節(jié)，通過多樣化的活動，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。在小學(xué)低年級，學(xué)生的推理意識培養(yǎng)往往在觀察、操作中通過提出簡單的猜想提升推理意識。在教學(xué)過程中，學(xué)生觀察的對象除了課本、同學(xué)就是老師，甚至可以說，學(xué)生的推理意識萌芽源于對教師推理過程的模仿。而學(xué)生在低年級能面對的數(shù)學(xué)教師往往只有一人，可模仿的素材過于單一，教師的思維廣度、推理模式對學(xué)生推理意識的形成具有一定的局限性。增加模仿對象能讓學(xué)生的思維廣度、推理角度更多元化，對此，不妨讓學(xué)生模仿數(shù)學(xué)先賢，在浩瀚歷史長河中，許許多多的數(shù)學(xué)家都能成為培養(yǎng)學(xué)生推理意識的素材，每一個數(shù)學(xué)家的思維路徑都能成為學(xué)生推理意識發(fā)展的助推劑。

（一）模仿探究過程積累經(jīng)驗

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中關(guān)于推理意識的表述中有這樣一句“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論”。一線教師都只知道課堂上學(xué)生在觀察、類比、歸納這些環(huán)節(jié)都能較順利進(jìn)行，而在提出猜想的環(huán)節(jié)尤其是低年級學(xué)生就會面臨一系列難題，內(nèi)向的孩子不知道如何提出猜想，外向的孩子提的猜想天馬行空。在此時，不少教師總是以示范性的提出猜想，引導(dǎo)孩子“像老師這樣做”。眾多的一線教師都能感受到，模仿式的提問，學(xué)生遲早會懂得提出問題。既然如此，為何不讓學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家們的探究過程呢？通過史料索引展示數(shù)學(xué)家的探究過程，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注，數(shù)學(xué)家是怎么發(fā)現(xiàn)這個數(shù)學(xué)問題的？你能像數(shù)學(xué)家一樣研究嗎？以此累積推理經(jīng)驗。

（二）模仿思維模式建構(gòu)知識

汪曉勤教授提出的數(shù)學(xué)史融入課堂，可以在課堂中直接呈現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)方法用于教學(xué)。將這個方法遷移到低年級數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家的思考方式，經(jīng)歷知識的演變過程，由復(fù)雜、曲折到簡便、順暢。人教版教材一年級下冊對于“18里面有幾個3”這類問題采用連減的方法進(jìn)行解決，在二年級教學(xué)表內(nèi)除法時則用除法算式結(jié)合乘法口訣進(jìn)行解答。翻閱史料，我們發(fā)現(xiàn)歷史上解決這類數(shù)學(xué)題是由減法入手，也就是歷史上的數(shù)學(xué)家的思維更貼近于一年級的辦法。那么我們不妨引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣經(jīng)歷從用減法算除法再到用乘法算除法的過程，在掌握知識的基礎(chǔ)上感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性、一致性，同時也給乘法掌握不扎實的孩子提供了另一種計算除法的方法。如此一來遇到類似的問題，學(xué)生也懂得依據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗推理出新的方法，這又何嘗不是推理意識的培養(yǎng)呢？

三、探索數(shù)學(xué)名題，構(gòu)建推理意識

當(dāng)學(xué)生從數(shù)學(xué)閱讀中感受到了推理的魅力，在歷代數(shù)學(xué)家的思維模式中積累了經(jīng)驗，形成推理意識是自然而然的事。生活中能讓學(xué)生鍛煉、建構(gòu)推理意識的機(jī)會并不多，學(xué)生推理意識的建構(gòu)、鞏固還要依賴于數(shù)學(xué)課堂、數(shù)學(xué)作業(yè)還有益智游戲。數(shù)學(xué)史不僅能為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了數(shù)學(xué)知識形成脈絡(luò)，數(shù)學(xué)史還是數(shù)學(xué)問題之庫。低年級學(xué)生能在探索數(shù)學(xué)名題中建構(gòu)推理意識。

（一）活用古代名題

小學(xué)中高年級的許多問題都能在古代數(shù)學(xué)著作中找到豐富的類型和完整的解法，如《九章算術(shù)》中行程問題、還原問題，《張邱建算經(jīng)》中工程問題，以及我們最熟悉的《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠問題。這些題目都在小學(xué)中年級后突然呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，而我們也發(fā)現(xiàn)小學(xué)中年級學(xué)生在這一階段的推理素養(yǎng)突飛猛進(jìn)，相信這些古代名題也是影響學(xué)生推理素養(yǎng)的因素之一。因此我們不妨以古代名題為原型，將題目簡化，如：《九章算術(shù)》中《均輸章》第二十七問提到：“今有人持米出三關(guān)，外關(guān)三而取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問本持米幾何?！睂⑦@道原題進(jìn)行修改，“外關(guān)取半，中關(guān)再半，內(nèi)關(guān)又半”，就能適合低年級學(xué)生進(jìn)行思考解答。提早讓低年級的孩子接觸這類題目，不僅對低年級學(xué)生的語言理解能力有幫助，還能為推理意識的培養(yǎng)提供經(jīng)驗。

（二）巧用益智游戲

18世紀(jì)初瑞士數(shù)學(xué)家歐拉研究的拉丁方陣是益智游戲數(shù)獨的起源，像這類益智游戲還有二十四點、漢諾塔等等。這些經(jīng)過歷史長河演變而來的益智游戲無疑是培育推理意識的養(yǎng)料。低年級的學(xué)生對于游戲有著強(qiáng)烈的參與意愿，能寓教于樂是每個教師的追求之一。因此，不妨為低年級的學(xué)生介紹九宮格、二十四點、漢諾塔這類益智游戲，讓學(xué)生自發(fā)、主動地去研究、去參與，從而發(fā)展推理素養(yǎng)。

低年級學(xué)生推理素養(yǎng)的培養(yǎng)方式有許許多多，而數(shù)學(xué)史的融入能為教師在培養(yǎng)學(xué)生推理意識上提供另類的素材。借助數(shù)學(xué)史料引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀在學(xué)習(xí)的過程中積累更多的經(jīng)驗，豐富自己的感悟，從而形成推理意識，進(jìn)而強(qiáng)化、鞏固，這樣才能為推理能力的形成奠定厚實的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]王全來，班春紅.數(shù)學(xué)史教育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的調(diào)查研究[J].商洛師范專科學(xué)校學(xué)報，2000（2）：47-50.

[3]張國定.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐研究[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2007.

（基金項目：本文系廈門市第六批基礎(chǔ)教育課程改革立項課題“HPM視野下小學(xué)數(shù)學(xué)思辨課堂教學(xué)模式研究”研究成果）