朱國(guó)成，胡偉，張娟

(1.廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院，廣東 東莞 523960；2.廣州科技貿(mào)易職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，廣東 廣州 511442)

0 引言

在不確定信息環(huán)境下的多屬性群決策問(wèn)題中,決策者在使用精確數(shù)據(jù)信息描述自己認(rèn)知心理時(shí),不能完整、客觀與全面地反映決策對(duì)象的真實(shí)情況,因此,相較于具體數(shù)值構(gòu)成的經(jīng)典集合,模糊集能夠更好地處理多屬性群決策問(wèn)題[1].由于人們掌握知識(shí)水平的局限性以及表達(dá)信息方式的多樣性,于是學(xué)者們給出了模糊集的各種拓展形式,如: 語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集[2]、區(qū)間模糊集[3]、直覺(jué)模糊集[4]、區(qū)間直覺(jué)模糊集[5]等經(jīng)典模糊集.但經(jīng)典模糊集中僅使用一個(gè)隸屬度值來(lái)刻畫(huà)決策信息,不能很好地解決人們對(duì)同一問(wèn)題見(jiàn)解多樣性導(dǎo)致的模糊性問(wèn)題[6].為此,Torra[7]給出了模糊集的另一種拓展形式,即猶豫模糊集.猶豫模糊集中的單位元稱之為猶豫模糊元,其是由若干個(gè)不同的隸屬度值構(gòu)成的集合.隨后許多學(xué)者相繼研究了猶豫模糊集的相似度[8]、熵[9]、相關(guān)系數(shù)[10]、包含度[11]、α-截集[12]等.文獻(xiàn)[13-15]還分別研究了猶豫模糊集在聚類分析、多屬性決策以及數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果相關(guān)排序問(wèn)題中的應(yīng)用等.隨著猶豫模糊集在群決策問(wèn)題中的深入應(yīng)用,其自身存在的局限性開(kāi)始凸顯: 在猶豫模糊集中默認(rèn)所有的隸屬度值出現(xiàn)的概率相等,沒(méi)有考慮決策者對(duì)于各個(gè)隸屬度值的偏好問(wèn)題,因而容易損失決策信息.為了有效彌補(bǔ)這一不足,Zhang 等[16]給出了概率猶豫模糊集的概念(不同的隸屬度值發(fā)生的可能性用概率表示).由于在概率猶豫模糊環(huán)境下的群決策案例中,不同的決策者喜歡使用不同類型的隸屬度值參與測(cè)評(píng),繼而Pang 等[17]定義了概率語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集,He 等[18]定義了概率區(qū)間值猶豫模糊集(Probabilistic Interval Valued Hesitant Fuzzy Set,PIVHFS).

針對(duì)概率區(qū)間值猶豫模糊集多屬性群決策問(wèn)題的研究,王金鳳等[19]建立了基于關(guān)聯(lián)系數(shù)的概率區(qū)間值猶豫模糊集群決策模型; 陳惠琴等[20]給出了滿足封閉性的概率區(qū)間值運(yùn)算公式,并提出了概率區(qū)間值猶豫模糊集的加權(quán)平均算子與加權(quán)幾何算子; 周小領(lǐng)等[21]提出了一系列概率區(qū)間猶豫模糊信息集成算子; 朱國(guó)成[22]將決策專家的權(quán)重注入概率區(qū)間值猶豫模糊集中,定義了加權(quán)概率區(qū)間值猶豫模糊集(Weighted Probabilistic Interval Valued Hesitant Fuzzy Set,WPIVHFS),并在WPIVHFS 刻畫(huà)決策信息的基礎(chǔ)上建立多屬性群決策模型.

目前,關(guān)于概率區(qū)間值猶豫模糊集多屬性群決策問(wèn)題的研究皆在概率區(qū)間猶豫模糊情境下來(lái)建立決策算法,實(shí)現(xiàn)對(duì)概率區(qū)間值猶豫模糊集的應(yīng)用目的.同時(shí)在對(duì)方案排序時(shí),一般做法是直接對(duì)決策專家組給出的方案評(píng)審信息進(jìn)行集結(jié)以獲取各方案的綜合屬性值,并根據(jù)各方案的綜合屬性值大小達(dá)到排序方案目的.由于上述研究中不但在原始的評(píng)審信息中沒(méi)有考慮決策專家的重要性,而且也沒(méi)有兼顧決策專家組內(nèi)部成員之間給予方案的評(píng)價(jià)信息差異程度值,因而容易造成與實(shí)際情況不符的排序結(jié)果.

鑒于以上分析,本文針對(duì)WPIVHFS 多屬性群決策問(wèn)題,首先,給出了區(qū)間值隸屬度的中位數(shù)、區(qū)間值隸屬度的清晰度定義,并采用四維點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)WPIVHFS,從維度的角度出發(fā)來(lái)研究WPIVHFS.其次,在采取四維點(diǎn)坐標(biāo)刻畫(huà)WPIVHFS 的基礎(chǔ)上,建立了計(jì)算加權(quán)概率區(qū)間值猶豫模糊元(Weighted Probabilistic Interval Valued Hesitant Fuzzy Element,WPIVHFE)的外部固定函數(shù)值模型與內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值模型、2 個(gè)WPIVHFE 的大小比較規(guī)則以及距離測(cè)度模型.再次,考慮方案的外部固定函數(shù)值(評(píng)審專家組給予該方案的評(píng)分值)與內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值(評(píng)審專家組成員之間關(guān)于方案的評(píng)價(jià)信息差異程度值) 來(lái)計(jì)算方案的綜合屬性值.最后,通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例來(lái)分析文中理論與方法的可行性.

1 預(yù)備知識(shí)

則PIVHFE h1(p1)與h2(p2)的大小比較規(guī)則為:

(i)若△(h1(p1))>△(h2(p2)),則有h1(p1)>h2(p2);

(ii)若△(h1(p1))=△(h2(p2)),則分三種情況:

(a) 當(dāng)?(h1(p1))>?(h2(p2))時(shí),有h1(p1)

(b) 當(dāng)?(h1(p1))h2(p2);

(c) 當(dāng)?(h1(p1))=?(h2(p2))時(shí),有h1(p1)=h2(p2).

定義4[23]對(duì)于任意2 個(gè)元素?cái)?shù)目相等的PHFE h1(p1)與h2(p2),二者距離測(cè)度d 需要滿足以下3 個(gè)公理性條件:

(i)非負(fù)性,d(h1(p1),h2(p2))≥0;

(ii)可交換性,d(h1(p1),h2(p2))=d(h2(p2),h1(p1));

(iii)反身性,d(h1(p1),h2(p2))=0h1(p1)=h2(p2).

2 WPIVHFS 定義與測(cè)度范式

3 建立多屬性決策模型

3.1 計(jì)算屬性權(quán)重

在建立模型來(lái)解決方案排序問(wèn)題的過(guò)程中,計(jì)算屬性權(quán)重是一個(gè)不可或缺的重要步驟.計(jì)算屬性權(quán)重比較成熟的方法有熵值法、離差最大化方法、線性規(guī)劃法等.其中,熵值法確定屬性權(quán)重的核心思想是根據(jù)所有方案在各屬性上的評(píng)價(jià)信息差異程度來(lái)計(jì)算各屬性的權(quán)重.本文利用熵值法來(lái)計(jì)算屬性權(quán)重,有別于前人的計(jì)算思路,這里不僅考慮所有方案在各個(gè)屬性上的評(píng)價(jià)信息差異程度,而且還兼顧所有方案在各個(gè)屬性上的決策專家內(nèi)部評(píng)價(jià)信息差異程度.

根據(jù)方案在各個(gè)屬性上評(píng)價(jià)信息的差異程度計(jì)算出的外部權(quán)重用ω1j(j ∈{1,2,···,J})表示,根據(jù)方案在各個(gè)屬性上決策專家內(nèi)部評(píng)價(jià)信息的差異程度計(jì)算出的內(nèi)部權(quán)重用ω2j(j ∈{1,2,···,J})表示,屬性的綜合權(quán)重用ωj(j ∈{1,2,···,J})表示.具體計(jì)算過(guò)程如下:

3.2 決策過(guò)程

步驟1 計(jì)算屬性的外部權(quán)重ω1j、內(nèi)部權(quán)重ω2j以及綜合權(quán)重ωj(j ∈{1,2,···,J}).

步驟2 由式(1)、式(2) 分別計(jì)算各方案在所有屬性上的外部固定函數(shù)值?((pij)) 與內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值φ((pij))(i=1,2,···,I;j=1,2,···,J).

步驟3 計(jì)算各方案的綜合屬性值F(ai),其中

在式(4)中,參數(shù)α,β ∈[0,1]且α+β=1,式(4)表達(dá)的含義為: 決策者可以依據(jù)方案在屬性上的外部固定函數(shù)值與內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值來(lái)計(jì)算方案的綜合屬性值,式(4)通過(guò)對(duì)參數(shù)α,β 靈活選取,可以從不同角度觀察方案的排序結(jié)果.

步驟4 根據(jù)方案的綜合屬性值F(ai)進(jìn)行排序,F(ai)值大者其對(duì)應(yīng)的方案ai為優(yōu).

步驟5 結(jié)束.

4 數(shù)值算例

某?？萍继幨盏疥P(guān)于教育教學(xué)內(nèi)容方面的5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū),按照學(xué)校教學(xué)科研工作安排,準(zhǔn)備擇優(yōu)選取2項(xiàng)作為立項(xiàng)項(xiàng)目.科技處邀請(qǐng)3 位評(píng)審專家對(duì)5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)進(jìn)行評(píng)審,從申請(qǐng)書(shū)中闡述方法的可行性(g1)、理論研究系統(tǒng)性(g2)以及創(chuàng)新性(g3)等3 個(gè)維度進(jìn)行評(píng)審,3 位評(píng)審專家表示為zt(t=1,2,3),其權(quán)重依次為0.25、0.35、0.4.5 篇論文標(biāo)記為ai(i=1,2,3,4,5),3 個(gè)評(píng)審維度的外部權(quán)重(ω1j)、內(nèi)部權(quán)重(ω2j)、綜合權(quán)重(ωj)均未知(j=1,2,3),3 位評(píng)審專家給出的原始評(píng)審數(shù)據(jù)信息見(jiàn)表1.其中:

表1 5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的評(píng)審信息表

A1G1={[0.62,0.72]|z1,[0.65,0.78]|z2,z3},A2G1={[0.84,0.96]|z1,z2,z3},

A1G2={[0.74,0.88]|z1,[0.68,0.84]|z2,[0.62,0.78]|z3},

A1G3={[0.82,0.94]|z1,z2,z3},A2G2={[0.68,0.76]|z1,z2,[0.72,0.82]|z3},

A2G3={[0.72,0.78]|z1,[0.66,0.76]|z2,[0.64,0.72]|z3},

A3G1={[0.71,0.79]|z1,[0.67,0.75]|z2,z3},A3G2={[0.86,0.96]|z1,z2,z3},

A3G3={[0.71,0.77]|z1,[0.73,0.79]|z2,[0.65,0.71]|z3},

A4G1={[0.61,0.67]|z1,[0.63,0.71]|z2,[0.65,0.75]|z3},

A4G2={[0.68,0.76]|z1,z2,z3},A4G3={[0.8,0.94]|z1,z2,z3},

A5G1={[0.71,0.77]|z1,z2,[0.73,0.79]|z3},A5G3={[0.78,0.82]|z1,z2,z3}.

A5G2={[0.64,0.76]|z1,z2,[0.68,0.78]|z3}.

應(yīng)用本文方法對(duì)以上5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)進(jìn)行量化分析并排序.在建立決策模型之前,可以先將表1 中的原始評(píng)審信息轉(zhuǎn)換為PIVHFS 決策信息,再將評(píng)審專家權(quán)重注入PIVHFS 決策信息中,以此構(gòu)建WPIVHFS 決策信息,最后用四維點(diǎn)坐標(biāo)描述決策信息,如表2 所示.

表2 平面向量評(píng)審信息表

其中:

a1g1={(0.67,0.861 1,0.333 3,0.25),(0.72,0.822 8,0.666 7,0.75)},

a1g2={(0.81,0.913 6,0.333 3,0.25),(0.76,0.809 5,0.333 3,0.35),(0.70,0.794 9,0.333 3,0.40)},

a1g3={(0.88,0.872 3,1.00,1.00)},a2g1={(0.90,0.875 0,1.00,1.00)},

a2g2={(0.72,0.894 7,0.666 7,0.60),(0.77,0.878 0,0.333 3,0.40)},

a2g3={(0.75,0.923 1,0.333 3,0.25),(0.71,0.868 4,0.333 3,0.35),(0.68,0.888 9,0.333 3,0.4)},

a3g1={(0.75,0.898 7,0.333 3,0.25),(0.71,0.893 3,0.666 7,0.75)},

a3g2={(0.91,0.895 8,1.00,1.00)},a4g2={(0.72,0.894 7,1.00,1.00)},

a3g3={(0.74,0.922 1,0.333 3,0.25),(0.76,0.924 1,0.333 3,0.35),(0.68,0.915 5,0.333 3,0.40)},

a4g3={(0.93,0.898 0,1.00,1.00)},a5g3={(0.80,0.951 2,1.00,1.00)},

a4g1={(0.64,0.910 4,0.333 3,0.25),(0.67,0.887 3,0.333 3,0.35),(0.70,0.866 7,0.333 3,0.40)},

a5g1={(0.74,0.922 1,0.666 7,0.65),(0.76,0.924 1,0.333 3,0.35)},

a5g2={(0.70,0.824 1,0.666 7,0.60),(0.73,0.871 8,0.333 3,0.40)}.

步驟1 用本文方法計(jì)算評(píng)審維度的外部權(quán)重(ω1j)、內(nèi)部權(quán)重(ω2j)與綜合權(quán)重(ωj)(j=1,2,3)分別為: ω11=0.238,ω12=0.325,ω13=0.435; ω21=0.314,ω22=0.335,ω23=0.349 9; ω1=0.441 9,ω2=0.058 1,ω3=0.5.

步驟2 由式(1)、式(2)分別計(jì)算5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)在3 個(gè)評(píng)審維度上的外部固定函數(shù)值與內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值.

步驟3 利用式(4)計(jì)算5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的綜合評(píng)審結(jié)果數(shù)值F(a1),5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的排序結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 參數(shù)取不同值時(shí)的排序結(jié)果

由表3 的排序結(jié)果可知,若全部采用項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的外部固定函數(shù)值進(jìn)行排序,則應(yīng)當(dāng)選取第5 篇與第1 篇作為立項(xiàng)項(xiàng)目.若全部采用項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值進(jìn)行排序,則應(yīng)當(dāng)選取第4 篇與第2 篇作為立項(xiàng)項(xiàng)目.考慮到項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值只能反映該項(xiàng)目的評(píng)審專家意見(jiàn)統(tǒng)一程度,不能說(shuō)明該項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)內(nèi)容的質(zhì)量高低,故全部采用項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的內(nèi)部穩(wěn)定函數(shù)值進(jìn)行排序不可行(若評(píng)審專家組認(rèn)為5 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的質(zhì)量幾乎無(wú)差別,此時(shí)可以從評(píng)審專家組關(guān)于項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)的內(nèi)部固定函數(shù)值的角度出發(fā)進(jìn)行排序,也可以選取參數(shù)取值為α=0,β=1).第4 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)與第1 篇項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)關(guān)于評(píng)審專家組的內(nèi)部成員之間的評(píng)分差異值比較敏感,敏感值介于0 至1/3 之間.故選取第5 篇、第1 篇作為立項(xiàng)項(xiàng)目或者第5 篇、第4 篇作為立項(xiàng)項(xiàng)目,需要決策者根據(jù)實(shí)際情況(是否關(guān)注評(píng)審專家組的內(nèi)部意見(jiàn)統(tǒng)一程度)來(lái)最終確定.

5 結(jié)論

為了在原始的PIVHFS 決策信息中體現(xiàn)決策專家的重要性,本文給予每個(gè)區(qū)間隸屬度值賦予了決策專家權(quán)重,進(jìn)而定義了WPIVHFS,并在四維點(diǎn)坐標(biāo)基礎(chǔ)上建立了WPIVHFS 新的測(cè)度范式,通過(guò)在具體決策案例中的應(yīng)用可知: 將決策專家的權(quán)重注入PIVHFS 中是必要的; 采用四維點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)WPIVHFS,并在此基礎(chǔ)上建立的決策模型不但可以達(dá)到排序方案目的,而且可以從多個(gè)角度來(lái)觀察各方案的排序結(jié)果,為精準(zhǔn)地確定最優(yōu)方案提供了一種有效路徑; 相較于在PIVHFS 情境下建立的決策算法,在四維點(diǎn)坐標(biāo)條件下建立的決策算法操作方便、計(jì)算量小,能夠快速取得方案的排序結(jié)果.

接下來(lái)的工作是進(jìn)一步開(kāi)展WPIVHFS 的集成算子和加權(quán)概率猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集的研究,從而進(jìn)一步深入開(kāi)展基于加權(quán)概率猶豫模糊集多屬性群決策方法研究,并應(yīng)用于解決實(shí)際決策問(wèn)題,進(jìn)一步為多屬性群決策的理論與方法提供新思路與新路徑.