楊凡，周疆

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

變指標Lebesgue 空間Lp(·)最早可以追溯到1931 年Orlicz[1]的文章.近些年相關空間Lp(·)的研究主要是基于Ková?ik 和Rákosní[2]在1991 年的工作,學者們討論了空間Lp(·)的基本性質(zhì),例如: Banach 空間、自反性、可分性、一致凸性、H?lder 不等式和高維Euclidean 空間上Lp(·)Lq(·)的嵌入.2001 年,Fan 等[3]進一步研究了文獻[2]中的結(jié)果.2011 年,Diening 等[4]更全面地總結(jié)了空間Lp(·)的性質(zhì).

1970 年,Stein[5]證明了分數(shù)次積分算子Iγ在空間Lp上的有界性.2007 年,Capone 等[6]將該結(jié)果推廣到空間Lp(·)上.1982 年,Chanillo[7]首次引入了交換子[b,Iγ],其中b ∈BMO(Rn),并且證明了在空間Lp上的有界性.2010 年,Izuki[8]將該結(jié)果推廣到了空間Lp(·)上.

1926 年,耦合空間(L1,?2)(R)和(L2,?∞)(R)由Wiener 引入[9].1975 年,Holland[10]給出了Wiener 耦合空間的一般形式(Lp,?q)(Rn).2012 年,Aydin 和Gürkanli[11]給出了Wiener 型加權(quán)變指標耦合空間(Lp(x),Lqω)(Rn)和(,Lqυ)(Rn),證明了它們是Banach 函數(shù)空間并給出了相應的H?lder 不等式和嵌入定理.

1988 年,Fofana[12]引入Fofana 型耦合空間(簡稱Fofana 空間).2019 年,Fofana 空間的預對偶空間由Feichtinger 和Feuto 引入[13].2022 年,Zhang 和Zhou[14]介紹了混范耦合空間及其預對偶空間,并且刻畫了分數(shù)次積分算子及其交換子的有界性.

受上述工作啟發(fā),本文引入變指標Fofana 空間(Lp(·),Lq)α(Rn)(1

1 預備知識

設1 ≤p,q ≤∞,耦合空間(Lp,?q)(Rn)的范數(shù)記為‖f‖p,q=‖{‖fχIk‖Lp(Rn)}k∈Zn‖?q(Rn).對任意r>0,

依然不存在α>0 使得其范數(shù)

為克服以上不足之處,Fofana[12]引入了Fofana 空間(Lp,?q)α(Rn),定義如下:

此外還有連續(xù)型的Fofana 空間(Lp,Lq)α(Rn),定義如下:

其中

B(x,r)={y ∈Rn:|y-x|

分數(shù)次積分算子Iγ的定義為:

對于局部可積函數(shù)b,分數(shù)次積分算子的交換子[b,Iγ]的定義為:

有界平均震蕩函數(shù)空間BMO(Rn)是指:

其中上確界取遍Rn中的所有球體,fB是f 在球體B 上的平均.

給定開集E ?Rn和可測函數(shù)p(·):E →[1,∞),Lp(·)(E)是指E 上的可測函數(shù)f 構(gòu)成的集合,使得對于某個λ>0,

其Luxemburg-Nakano 范數(shù)為:

滿足以上條件的空間稱為變指標Lebesgue 空間.若p(·)=p 是一個常數(shù),則Lp(·)(E)與Lp(E)等距同構(gòu).全文用p(·)代替p 來強調(diào)指標是一個函數(shù)而不是一個常數(shù).

(E):={f:f ∈Lp(·)(F),對所有緊子集F ?E}.

P(E)為p(·):E →[1,∞)且滿足1

p-=essinf{p(x):x ∈E}>1,p+=esssup{p(x):x ∈E}<∞.

定義p′(x)=p(x)/(p(x)-1).B(E)為p(·)∈P(E)且使得Hardy–Littlewood 極大算子M 在Lp(·)(E)上有界的可測函數(shù)p(·)的集合.

在文中,對給定的球體B:=B(x,r)={y ∈Rn:|y-x|0.符號C 表示不依賴于主變量的正常數(shù)并且每次出現(xiàn)都不一定是相同的.C′～C′′表示C′與C′′等價,即C′?C′′(C′≤CC′′),C′′?C′(C′′≤CC′).

在空間Lp(·)中一些重要引理如下.

引理1[15]設開集E ?Rn和p(·)∈P(E),假設p(·)滿足

和

則p(·)∈B(E).

引理2[2]設p(·)∈P(E).若f ∈Lp(·)(E)和g ∈Lp′(·)(E),則fg 在E ?Rn上可積且

其中rp=1+1/p--1/p+.

上述不等式稱為空間Lp(·)上的廣義H?lder 不等式.

引理3[4]設p(·)∈P(Rn)滿足引理1 中的式(1) 和式(2),則‖χQ‖Lp(·)(Rn)～|Q|(1/pQ)對每個方體(或球體)Q ?Rn都成立.更確切的,

對每個方體(或球體)Q ?Rn成立,其中p(∞)=和pQ是p 在Q 上的平均.

引理4[16]假設p(·)∈B(Rn),則存在常數(shù)C>0 使得對所有球體B ∈Rn,有

2 變指標Fofana 空間(Lp(·),Lq)α(Rn)

在本節(jié)中,我們介紹變指標Fofana 空間(Lp(·),Lq)α(Rn)的定義及其性質(zhì).

設p(·)∈P(Rn),1 ≤q ≤∞,耦合空間(Lp(·),Lq)(Rn)的定義為:

定義1設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞.若f ∈Lp(·)loc(Rn),則

(Lp(·),Lq)α(Rn):={f:‖f‖(Lp(·),Lq)α(Rn)<∞},

其中

命題1(Lp(·),Lq)α(Rn)的一些性質(zhì):

(i)當p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞時,若p(·)≤α ≤q,則(Lp(·),Lq)α(Rn)?→(Lp(·),Lq)(Rn).

(ii)若1 ≤α ≤∞,當p(·)=α,q=∞時,(Lp(·),Lq)α(Rn)就是經(jīng)典的Lα(Rn)空間.

證明由直接計算可得:

(i)當p(·)≤α ≤q 時,

因此,(Lp(·),Lq)α(Rn)?→(Lp(·),Lq)(Rn)并且‖f‖(Lp(·),Lq)(Rn)?‖f‖(Lp(·),Lq)α(Rn).

(ii)當p(·)=α,q=∞時,結(jié)果顯然可得.

命題2設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,則(Lp(·),Lq)α(Rn)是Banach 空間.

證明首先證明三角不等式.對于f,g ∈(Lp(·),Lq)α(Rn),可得

正則性和齊次性是顯然的.因此,證明了(Lp(·),Lq)α(Rn)是具備范數(shù)‖·‖(Lp(·),Lq)α(Rn)的空間.

‖fj+1-fj‖(Lp(·),Lq)α(Rn)<2-j.

對于幾乎處處x ∈Rn,

和

故證明了(Lp(·),Lq)α(Rn)是Banach 空間.

引理5設f ∈(Rn),p(·)∈P(Rn),則

證明假設1

利用廣義H?lder 不等式,

由引理3 可得

因此,

由Lebesgue 微分定理可知

命題3設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,(Lp(·),Lq)α(Rn)是非平凡的當且僅當p(·)≤α ≤q.

證明假設(Lp(·),Lq)α(Rn)是平凡的.利用反證法,由引理5 可得

因此,假設α>q,f/=0,則

故證明了α ≤q.

假設α < p(·),可知α < p-.只需證明對任意的球體B(x0,r0) 有‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)=∞,則說明(Lp(·),Lq)α(Rn)是平凡的,故可得到α ≥p(·).接下來證明以上假設,若x ∈B(x0,r/2)和2r0

即B(x0,r0)?B(x,r).因此,

另一方面,若p(·)≤α ≤q,很容易得到χB(0,1)∈(Lp(·),Lq)α(Rn).顯然的,

若r>1,由1/α-1/p(·)≤1/α-1/p+≤0,可得

對于r ≤1,由1/α-1/q ≥0 和引理3 可得

命題得證.

3 變指標Fofana 空間的預對偶空間

設Qr,k=r[k+[0,1)n](k ∈Zn) 和‖{ak}k∈Zn‖?q(Rn):=

命題4設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.定義“離散”變指標Fofana 空間.

其中r‖f‖p(·),q=‖{‖fχQr,k‖Lp(·)(Rn)}k∈Zn‖?q(Rn)和

因此,

其中正等價常數(shù)不依賴于函數(shù)f.

在證明命題4 之前,以下兩個引理是必要的.

引理6設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.對任意的常數(shù)ρ ∈(0,∞),有

其中正等價常數(shù)不依賴于函數(shù)f.

證明首先,當ρ>1 時,有

其次,證明反向不等式.取N ∈N 和{x1,x2,···,xN},使得

其中N 不依賴r 并且N ～1.因此,對任意的x ∈Rn,有

根據(jù)Lebesgue 測度的平移不變性和N ～1,可知

當ρ ∈(0,1)時,只需要替換r 為r/ρ,即可得證.

引理7設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q,則有

其中正等價常數(shù)不依賴于函數(shù)f.

證明根據(jù)引理6,只需證明

對于任意給定x ∈Rn,令Ax:=則Ax的基數(shù)是有限的并且x ∈因此,

兩邊同時乘以r(n/α-n/p(·)-n/q),再對x 取Lq-范數(shù),有

利用與引理6 相似的估計,存在N ∈N 和{k1,k2,···,kN},使得

其中N 不依賴于r 并且N ～1.根據(jù)Lebesgue 測度的平移不變性,有

上式中最后一個不等式的估計具體如下:

因此,證明了

接下來證明反向不等式.顯然可得

引理得證.

命題4 的證明:根據(jù)引理7 可知

當r=1 時,可得

下面給出“離散”變指標Fofana 空間(Lp(·),?q)α(Rn)的預對偶空間.

定義2設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.空間H(p(·)′,q′,α′)定義為(Rn)中所有滿足以下條件元素的集合.存在C×(0,∞)×(Lp(·)′,?q′)(Rn)中的元素序列{(cj,rj,fj)}j≥1使得

稱C×(0,∞)×(Lp(·)′,?q′)(Rn)中滿足式(3)～(5)的元素序列{(cj,rj,fj)}j≥1為f 的塊分解.對于H(p(·)′,q′,α′)中任意元素f

其中下確界取遍f 的所有塊分解.

命題5設f ∈(Rn),0<α<∞和0

(i) St(rα)是(Rn)到(Rn)的自身映射.

(iv) supr>0‖St(α)r(f)‖p(·),q=‖f‖p(·),q,α,其中p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.

根據(jù)命題5 和定義2 可以得到以下結(jié)果.

命題6設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q,則(Lp(·)′,?q′)(Rn)是H(p(·)′,q′,α′) 的稠密子集.

證明首先證明(Lp(·)′,?q′)(Rn)連續(xù)嵌入到H(p(·)′,q′,α′).假設對于任意0/=f ∈(Lp(·)′,?q′)(Rn),可得

和

因此,f ∈H(p(·)′,q′,α′)滿足

接下來證明(Lp(·)′,?q′)(Rn)在H(p(·)′,q′,α′)中的稠密性.若{(cj,rj,fj)}j≥1是f ∈H(p(·)′,q′,α′)的塊分解,則取序列

可得

因此,(Lp(·)′,?q′)(Rn)是H(p(·)′,q′,α′)的稠密子集.

定理1(i) 設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.若 g ∈(Lp(·),?q)α(Rn)和f ∈H(p(·)′,q′,α′),則有fg ∈L1(Rn)且

(ii) 設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.算子T :gTg定義為

使得(Lp(·),?q)α(Rn)與H(p(·)′,q′,α′)?是等距同構(gòu)的.

接下來證明定理1,證明方法參閱文獻[9].首先證明以下引理.

引理8(i)設p(·)∈P(Rn),1

(ii)設p(·)∈P(Rn),1

證明(i)對于0

(ii) 根據(jù)文獻[10] 的定理2 和文獻[2] 的定理2.6,可得(Lp(·),?q)(Rn) 的對偶空間是(Lp(·)′,?q′)(Rn).令q={qn}n∈N,若(Lp(·),)(Rn)的對偶空間是(Lp(·)′,)(Rn),其中=(q1,q2,···,qn-1),則

因此,(Lp(·)′,?q′)(Rn)與(Lp(·),?q)(Rn)的對偶空間等距同構(gòu).(Lp′(·),?q′)(Rn)中有一個特殊的元素φ(T)使得

并且

定理1 的證明: 首先證明(i).令{(cj,rj,fj)}j≥1是f 的塊分解.對任意的j ≥1,由命題6 和式(9)可得

因此,

對f 的所有塊分解取下確界,可得

其次證明(ii).由(i) 可知Tg∈H(p(·)′,q′,α′)?.

對任意的a1,a2∈R,g1,g2∈(Lp(·),?q)α(Rn),顯然可得

T(a1g1+a2g2)=a1Tg1+a2Tg2

和

即T 是線性的并且是從(Lp(·),?q)α(Rn) 到H(p(·)′,p(·)′,α′)?的有界映射,滿足‖T‖ ≤1.對任意的g1,g2∈(Lp(·),?q)α(Rn)?(Lp(·),?q)(Rn),若Tg1=Tg2,則對任意f ∈(Lp(·)′,?q′)(Rn)?H(p(·)′,q′,α′),有Tg1(f)=Tg2(f).

故g1=g2,也就是說T 是單射.

接下來證明T 是滿射.設T 是H(p(·)′,q′,α′)?中的元素,根據(jù)命題6 可知,(Lp(·)′,?q′)(Rn)中元素T 的限制T0∈H(p(·)′,q′,α′)?,故有1/p(·)′≤1/α′≤1/q′.

(Lp(·),?q)(Rn)中有元素g,使得對任意f ∈(Lp(·)′,?q′)(Rn)有

因此,對于f ∈(Lp(·)′,?q′)(Rn)和r>0,有

根據(jù)假設T ∈H(p(·)′,q′,α′)?,有(f)∈H(p(·)′,q′,α′)再利用式(7),可得

則對任意g ∈(Lp(·),?q)α(Rn),由命題5 可知

‖g‖p(·),q,α≤‖T‖.

根據(jù)式(11)和命題6,可得

故T 是滿射且‖g‖p(·),q,α≤‖T‖.

引理9設p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,p(·)≤α ≤q 和χB(x0,r0)是在球體B(x0,r0)上的特征函數(shù),則

證明由計算可得

若r>r0,p(·)∈P(Rn).當r>r0≥1 時,則由n/α-n/p(·)≤0,可知

當r>1>r0時,則由n/α-n/p(·)≤0,可知

當1 ≥r>r0時,則由n/α-n/p(·)≤0,可知

若r ≤r0,p(·)∈P(Rn),由1/α-1/q ≥0,有

故‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)?.

接下來證明‖χB(x0,r0)‖H(p(·),q′,α′)?.根據(jù)與式(6)相似的估計,有

因此,

根據(jù)定義2 和命題4,

利用與‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)?證明相似的估計,取r0/r>1 和r0/r ≤1,有

引理得證.

4 變指標Fofana 空間中分數(shù)次積分算子及其交換子有界性的刻畫

引理10設b ∈BMO(Rn).對任意的球體B ∈Rn和任意的正整數(shù)j ∈Z+,有

|b2j+1B-bB|?(j+1)‖b‖?.

證明

引理11[17]設p(·)∈B(Rn),k 是一個正整數(shù),球體B ∈Rn,則對所有的b ∈BMO(Rn)和所有的j,i ∈Z(j>i),

其中Bi={x ∈Rn:|x|≤2i}和Bj={x ∈Rn:|x|≤2j}.

引理12[6]給定開集? ∈Rn,0<α

引理13[8]假設p1(·)∈P(Rn)滿足引理1 的條件(1) 和(2),0<α

‖[b,Iα]f‖Lp2(·)(Rn)?‖b‖?‖f‖Lp1(·)(Rn).

定理2設p1(·),p2(·)∈P(Rn)滿足引理1 的條件(1) 和(2),0<γ

注1條件γ=n/α-n/β 對于分數(shù)次積分算子Iγ有界是必要的.令δtf(x)=f(tx)(t>0),則

因此利用Iγ是從(Lp1(·),Ls)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子,可知

故γ=n/α-n/β.

定理2 的證明:通過注1,只需證明若γ=n/α-n/β,則Iγ在變指標Fofana 空間上有界.設p1(·),p2(·)∈P(Rn),p1(·) < α < q < ∞,p2(·) < β < q < ∞,0 < γ < n/p+1,n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ 和f ∈(Lp1(·),Lq)α(Rn).固定x ∈Rn,r>0,記B=B(x,r),2B=B(x,2r).分解f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f-f1.計算得

首先估計I1.因為分數(shù)次積分算子Iγ是從Lp1(·)(Rn) 到Lp2(·)(Rn) 的有界算子并且 n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,因此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.再利用-1<1/α-1/p1--1/q<1/α-1/p1(·)-1/q<0,則有

接下來估計I2,當y ∈B(x,r),z ∈B(x,2r)c時,顯然|y-z|≈|x-z|,將Rn分解為幾何遞增的同心球序列,利用廣義H?lder 不等式,可得

因為n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,由此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.根據(jù)以上估計,由引理3 和1/β-1/q>0,可知

兩邊同時取Lq-范數(shù)并利用Minkowski 不等式,可得

故兩邊同時對r>0 取上確界,定理得證.

定理3設p1(·),p2(·)∈P(Rn)滿足引理1 的條件(1) 和(2),0<γ

(i) b ∈BMO(Rn);

(ii) 線性交換子[b,Iγ]是從(Lp1(·),Lq)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子.

證明設p1(·),p2(·) ∈P(Rn),p1(·) < α < q < ∞,p2(·) < β < q < ∞,0 < γ < n/p+1,n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,f ∈(Lp1(·),Lq)α(Rn)和b ∈BMO(Rn).固定x ∈Rn,r>0,記B=B(x,r),2B=B(x,2r).分解f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f-f1.計算可得

首先估計J1.因為交換子[b,Iγ]是從Lp1(·)(Rn)到Lp2(·)(Rn)的有界算子并且n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,由此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.再利用-1<1/α-1/p1--1/q<1/α-1/p1(·)-1/q<0,可得

接下來估計J2.

當y ∈B(x,r),z ∈B(x,2r)c時,顯然|y-z|≈|x-z|,將Rn分解為幾何遞增的同心球序列,利用廣義H?lder不等式,可得

根據(jù)以上估計,利用引理10、引理11 和-1<1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q<0,1/β-1/q>0,可得

兩邊同時取Lq-范數(shù)再利用Minkowski 不等式,可知

故兩邊同時對r>0 取上確界,可得J2的估計.

假設[b,Iγ]是從(Lp1(·),Lq)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子.利用Janson[18]的方法.取0/=z0∈Rn使得0/∈B(z0,2).則有x ∈B(z0,2),|x|n-γ∈C∞(B(z0,2)).因此,|x|n-γ可以記為絕對收斂的Fourier 級數(shù):

對任意的x0∈Rn和t>0,記B=B(x0,t)和Bz0=B(x0+z0t,t),則

若x ∈B,y ∈Bz0,則(y-x)/t ∈B(z0,2).因此,

由式(8)和命題4,可知

由引理9 計算可得

因此,

根據(jù)假設和引理9,可得

故有

即證得b ∈BMO(Rn).

5 結(jié)論與展望

本文在經(jīng)典的Fofana 空間及其預對偶空間的基礎上,引入了變指標Fofana 空間及其預對偶空間.研究了空間的相關性質(zhì)并且得到了分數(shù)次積分算子有界的充分必要條件,利用預對偶空間的相關性質(zhì)得到了交換子有界的充分必要條件.

進一步可以考慮對空間進行加權(quán)或者其它算子在此空間中的有界性,例如: 具有粗糙核的奇異積分算子及其交換子、齊次分數(shù)次積分算子及其交換子、θ 型-奇異積分算子及其交換子等.