楊勇軍　紀(jì)定春　周其祥

一、問(wèn)題提出

距離是一種刻畫研究對(duì)象在時(shí)間、空間上的相隔長(zhǎng)度，亦或是人的認(rèn)知、情感等方面的差距．在中學(xué)數(shù)學(xué)中，距離是一種定義在歐氏幾何中的標(biāo)量，它沒(méi)有方向、只有大小且非負(fù)．點(diǎn)到直線的距離公式是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考察對(duì)象，即對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（其中A2+B2≠0），則點(diǎn)P到直線l的距離為d=|Ax0+By0+C|A2+B2．既然點(diǎn)到直線的距離有統(tǒng)一的公式，那么直線到橢圓和雙曲線，是否也有類似形式的公式呢？經(jīng)過(guò)我們探究，確實(shí)存在形式統(tǒng)一的公式．

作仿射變換x′′=x－x0a2，y′′=y－y0bi，將雙曲線化為“單位虛圓”：x′′2+y′′2=1，此時(shí)單位虛圓的內(nèi)部為雙曲線的外部，而外部為雙曲線的內(nèi)部．根據(jù)仿射變換的點(diǎn)列變換特征，并結(jié)合引理可知：當(dāng)d>1時(shí)，直線與單位虛圓相離，即直線與雙曲線相交；當(dāng)d=1時(shí)，直線與單位虛圓相切，即直線與雙曲線相切；當(dāng)0

在拓廣平面內(nèi)，即在歐氏平面的基礎(chǔ)上，增加無(wú)窮遠(yuǎn)直線和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)．橢圓和雙曲線在拓廣平面內(nèi)，同屬于封閉圖形，但是橢圓和雙曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)直線（或點(diǎn)）處的性質(zhì)又有細(xì)微的差異．在距離無(wú)窮遠(yuǎn)直線處，橢圓與無(wú)窮遠(yuǎn)直線相離，而雙曲線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線相交，即有兩個(gè)不同的實(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)交點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)將拓廣平面內(nèi)封閉的雙曲線分割成兩支，即為歐氏平面內(nèi)的雙曲線．上述性質(zhì)2中的仿射變換，是將雙曲線的外部變換成一個(gè)單位虛圓，而經(jīng)過(guò)該圓內(nèi)部的任意線段的長(zhǎng)度是無(wú)窮的，因此有上述性質(zhì)2的第（3）．

但是，對(duì)于d=0時(shí)的特殊情況，直線與雙曲線是相交或相離的．其中相交是很好理解的，即連接拓廣平面內(nèi)雙曲線被無(wú)窮遠(yuǎn)直線分割的兩個(gè)部分，其必有交點(diǎn)，在歐式幾何中表現(xiàn)為連接雙曲線的兩支的任意兩點(diǎn)，其必定經(jīng)過(guò)縱坐標(biāo)．相離可以理解為直線即為拓廣平面內(nèi)的無(wú)窮遠(yuǎn)直線，在歐氏平面內(nèi)為雙曲線的兩條漸近線之一．

參考文獻(xiàn)

［1］王敬賡，岳昌慶．關(guān)于雙曲線的“內(nèi)部”和“外部”的對(duì)話［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（12）：48-51．