李俊強(qiáng)

【摘要】本文呈現(xiàn)人教版高中數(shù)學(xué)教材必修第一冊(cè)第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”第2節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”“單調(diào)性與最大（小）值”一課的教學(xué)片段，從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)策略、概念辨析過(guò)程、教學(xué)組織以及其他細(xì)節(jié)等五個(gè)方面進(jìn)行評(píng)析，為高中數(shù)學(xué)教師“雙線”并行推進(jìn)概念教學(xué)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供范例。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)最值 數(shù)學(xué)建模 高中數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）23-0079-04

中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)主辦的第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)于2022年12月落下帷幕，廣西籍參展選手王學(xué)建老師執(zhí)教的“單調(diào)性與最大（?。┲怠币徽n因其具備“明暗雙主線”教學(xué)特點(diǎn)，給筆者留下了深刻的印象，本文呈現(xiàn)課例片段并進(jìn)行評(píng)析，旨在為教師教學(xué)提供范例。

一、課例片段

“單調(diào)性與最大（小）值”為人教版高中數(shù)學(xué)教材必修第一冊(cè)第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”第2節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的內(nèi)容。

（一）提出問(wèn)題，建立模型

引導(dǎo)語(yǔ)：“詩(shī)圣”杜甫在《望岳》一詩(shī)中寫道，“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”。這句詩(shī)描繪了山頂?shù)慕^妙風(fēng)景。周末我們?nèi)ヅ郎?，想在山的最高處拍一張合照，?qǐng)問(wèn)哪里是山的最高處（如圖1所示）？

問(wèn)題1：我們?nèi)绾闻袛嗟竭_(dá)了山的最高處？

師生活動(dòng)：教師利用多媒體創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，追問(wèn)學(xué)生判斷最高處的依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)描述問(wèn)題。學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，可以將山的輪廓抽象為函數(shù)圖象，水平位移是自變量，海拔高度是函數(shù)值，山頂可以抽象為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，山頂?shù)暮０胃叨瓤梢猿橄鬄楹瘮?shù)的最大值。學(xué)生自主建模，教師板書標(biāo)題，引出研究的問(wèn)題。

（二）形成概念，研究模型

問(wèn)題2：如何求函數(shù)的最大（小）值？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生舉出具體的例子，并追問(wèn)學(xué)生。如學(xué)生舉例“f（x）=-x2的最大值為0”，教師追問(wèn)“為什么0是這個(gè)函數(shù)的最大值？”

預(yù)設(shè)：從圖象上看，f（x）=-x2是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），即在對(duì)稱軸處取到最大值0；從解析式上看，-x2恒不大于0，則最大值為0。

教師活動(dòng)：教師利用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示函數(shù)圖象上動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)的變化情況，引導(dǎo)學(xué)生明確最大值的本質(zhì)特征。從函數(shù)圖象上看，任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不超過(guò)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；從函數(shù)要素上看，該函數(shù)的所有函數(shù)值都不大于函數(shù)的最大值。

問(wèn)題3：你能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫函數(shù)y=f（x）的最大（小）值？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生將上述特例推廣到一般情形，學(xué)生先獨(dú)立思考或小組討論，然后組織全班交流。教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言表示“任意”“所有”“不超過(guò)”“不大于”等意義，啟發(fā)學(xué)生明確先要給出函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，存在一個(gè)實(shí)數(shù)M，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“（1）[?]x∈I，都有f（x）≤M；（2）[?]x0∈I，使得f（x0）=M”。教師總結(jié)“這里借助符號(hào)語(yǔ)言，給出了最大值M是最大的函數(shù)值的本質(zhì)特征，兩個(gè)條件缺一不可，條件與結(jié)論互為充要條件”。

教師追問(wèn)：你能仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=f（x）最小值的定義嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確任意函數(shù)值都不小于最小值，學(xué)會(huì)用類比的方法獲得最小值的概念。

（三）深化概念，明確模型特征

函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱函數(shù)的最值。注意到定義中的第二個(gè)條件，最大（?。┲凳瞧渲幸粋€(gè)函數(shù)值，因此函數(shù)最大（?。┲档亩x還可以有以下表述。

①如果有x0∈I，使得不等式f（x）≤f（x0）對(duì)一切x∈I成立，就說(shuō)f（x）在x=x0處取到最大值M=f（x0），稱M為f（x）的最大值，x0為f（x）的最大值點(diǎn)。

②如果有x0∈I，使得不等式f（x）≥f（x0）對(duì)一切x∈I成立，就說(shuō)f（x）在x=x0處取到最小值N=f（x0），稱N為f（x）的最小值，x0為f（x）的最小值點(diǎn)。

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生注意定義中的關(guān)鍵詞，給出函數(shù)最值定義的另一種表述。引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)最大（?。┲凳钦麄€(gè)定義域上的整體性質(zhì)。

問(wèn)題4：是不是所有的函數(shù)都有最大（?。┲?？請(qǐng)舉例。

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再集體交流。學(xué)生容易舉出一次函數(shù)、二次函數(shù)的例子，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義說(shuō)明函數(shù)有無(wú)最值的原因。教師提醒學(xué)生，函數(shù)的表示方式有三種，即解析法、圖象法、列表法，讓學(xué)生展開(kāi)討論，嘗試用不同的方法表示函數(shù)。學(xué)生通過(guò)投影展示所舉例子，教師再進(jìn)行補(bǔ)充，全班討論交流最值存在與否的情況。

教師追問(wèn)：函數(shù)取到最大（小）值時(shí)，x的取值可能有多少個(gè)？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察前面的例子，容易發(fā)現(xiàn)x的取值個(gè)數(shù)可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)……甚至是無(wú)數(shù)個(gè)，教師要求學(xué)生舉出“無(wú)數(shù)個(gè)”的例子。學(xué)生可能舉出周期函數(shù)的例子，教師利用GeoGebra畫圖進(jìn)行驗(yàn)證。

問(wèn)題5：如何說(shuō)明定義中的“任意性”？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確說(shuō)明“任意性”的困難，理論上需要將所有函數(shù)值無(wú)一例外地逐個(gè)比較，但這顯然是難以執(zhí)行的。教師引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)特征來(lái)說(shuō)明，讓學(xué)生明確函數(shù)單調(diào)性描述了隨著自變量的變化，函數(shù)值在增大或者減小，正好是比較函數(shù)值的大小，因此可以先證明單調(diào)性再求最值。教師通過(guò)多媒體展示課本例5，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明。

［2，6］，求函數(shù)的最大值和最小值。

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點(diǎn)。1.利用定義證明單調(diào)性的五個(gè)步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、得出結(jié)論。2.結(jié)合圖象，指出函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上的最值與單調(diào)性的聯(lián)系（如表1所示）。

（四）應(yīng)用探索，運(yùn)用模型

例2（課本第80頁(yè)例4）“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂。如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出去后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1 m）？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考“爆裂的最佳時(shí)刻”的含義，建立實(shí)際意義與函數(shù)最大值的聯(lián)系。教師強(qiáng)調(diào)解答實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意定義域的實(shí)際意義，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù)的最大值。

解法2：開(kāi)口向下的拋物線，函數(shù)在對(duì)稱軸左邊區(qū)間單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右邊區(qū)間單調(diào)遞減。先說(shuō)明二次函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值在對(duì)稱軸處取到。

師生活動(dòng)：實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)一般不是很簡(jiǎn)潔的，且運(yùn)算量也比較大，教師通過(guò)板書，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)的特征，通過(guò)運(yùn)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。

（五）歸納小結(jié)，回顧思路

教師呈現(xiàn)下列問(wèn)題。

1.本節(jié)課從哪些方面研究了函數(shù)的最大（?。┲?？

2.你認(rèn)為本節(jié)課知識(shí)產(chǎn)生的主要過(guò)程是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后作答，教師再進(jìn)行歸納。

（六）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（略）

二、課例評(píng)析

執(zhí)教教師“明暗”雙線并行推進(jìn)地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施課堂教學(xué)，自然融入了信息技術(shù)，設(shè)計(jì)新穎，實(shí)施順暢，效果明顯，亮點(diǎn)頗多，示范性強(qiáng)。筆者從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)策略、概念辨析過(guò)程、教學(xué)組織以及其他細(xì)節(jié)等五個(gè)方面進(jìn)行評(píng)析。

（一）教學(xué)目標(biāo)清晰

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)清晰，而且課時(shí)目標(biāo)符合函數(shù)主題大單元教學(xué)的總體目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和分析問(wèn)題，并運(yùn)用函數(shù)模型解決問(wèn)題。

教學(xué)明線為問(wèn)題串貫通情境引入、概念形成、概念深化、應(yīng)用探索等四個(gè)教學(xué)過(guò)程，問(wèn)題設(shè)置自然貼切，指向性強(qiáng)。教師在學(xué)生得出一般化結(jié)論之后再引導(dǎo)學(xué)生去深挖概念的本質(zhì)特征，分析概念的內(nèi)涵與外延，重點(diǎn)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在知識(shí)育人、思維育人、審美育人等三個(gè)方面都較好地完成了育人目標(biāo)。

教學(xué)暗線包括將模型觀念滲透于背景材料以及模型建立、分析求解、模型應(yīng)用等環(huán)節(jié)，教學(xué)暗線也是本節(jié)課的最大亮點(diǎn)。執(zhí)教教師利用“詩(shī)圣”杜甫《望岳》中的詩(shī)句“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”引入一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：爬山時(shí)如何判斷山的最高處？進(jìn)而自然產(chǎn)生以下問(wèn)題串：函數(shù)是否有最大值？如何判斷一個(gè)值是否為函數(shù)的最大值或最小值？引導(dǎo)學(xué)生想到一個(gè)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的辦法，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而教會(huì)學(xué)生探究，再用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題，從而引出探究函數(shù)最值模型的一般思路。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中積累了運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本技能和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促使生活育人、活動(dòng)育人等更好地融入課堂教學(xué)，從而發(fā)展了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

（二）教學(xué)策略恰當(dāng)

本節(jié)課的教學(xué)策略是基于學(xué)生的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置一系列問(wèn)題串，依托“是什么”“為什么”“怎么樣”的邏輯，研究有關(guān)最值的具體內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出函數(shù)最值的概念。在此過(guò)程中，執(zhí)教教師給學(xué)生創(chuàng)造了充分表達(dá)的機(jī)會(huì)，同時(shí)適時(shí)給予學(xué)生鼓勵(lì)與點(diǎn)撥，讓學(xué)生獲得了成就感，滿足了學(xué)生的求知欲，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，最終達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。

例如，執(zhí)教教師在深化概念教學(xué)中設(shè)置的問(wèn)題5——“如何說(shuō)明定義中的‘任意性’？”就起到了畫龍點(diǎn)睛的作用；執(zhí)教教師在教學(xué)中還刻意調(diào)整了課本例題的呈現(xiàn)順序——將課本例5提前到函數(shù)最值概念深化環(huán)節(jié)進(jìn)行呈現(xiàn)，讓學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性在解釋“任意性”中發(fā)揮的重要作用；課本中的例4以“煙花最佳爆裂時(shí)刻”為背景，為學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型提供情境，執(zhí)教教師在應(yīng)用探索環(huán)節(jié)呈現(xiàn)例4，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性兩個(gè)角度解答問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生從多角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。這樣的資源重建，體現(xiàn)了教學(xué)策略的運(yùn)用得當(dāng)，也體現(xiàn)了執(zhí)教教師深厚的專業(yè)功底和良好的專業(yè)素養(yǎng)，為廣大數(shù)學(xué)教師提供了很好的借鑒。

（三）概念辨析到位

對(duì)數(shù)學(xué)概念中的各個(gè)要素進(jìn)行辨析，重視數(shù)學(xué)概念的充分必要性，是概念課的重要組成部分。執(zhí)教教師通過(guò)分析定義中的關(guān)鍵詞，從“存在性”和“任意性”兩個(gè)方面深化學(xué)生對(duì)概念的理解，為使學(xué)生更好地理解最大（小）值的符號(hào)定義做足了鋪墊，讓學(xué)生能更好地建構(gòu)函數(shù)最大（?。┲档母拍钜饬x。“任意性”確定了函數(shù)在求最值時(shí)要滿足的不等式，“存在性”確定了函數(shù)能取得到這個(gè)值。

為深化學(xué)生對(duì)“存在性”和“任意性”的直觀認(rèn)識(shí)，執(zhí)教教師還利用信息技術(shù)手段，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)作圖等方式直觀地呈現(xiàn)函數(shù)最大（?。┲档谋举|(zhì)特征，從而降低了學(xué)生理解概念內(nèi)涵和外延的難度。

概念越辯越明。通過(guò)辨析，學(xué)生明確“任意性”和“存在性”都是函數(shù)最值概念中的關(guān)鍵要素，進(jìn)而能夠深度理解和運(yùn)用函數(shù)最值模型，為發(fā)展核心素養(yǎng)奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

（四）教學(xué)組織嚴(yán)謹(jǐn)

執(zhí)教教師恰當(dāng)?shù)靥幚怼邦A(yù)設(shè)”和“生成”的關(guān)系，重視對(duì)學(xué)生課堂展示的反饋調(diào)節(jié)，展現(xiàn)了很強(qiáng)的課堂教學(xué)組織能力。

本課中，執(zhí)教教師通過(guò)“是什么”“為什么”“怎么樣”“什么是最值”“最值有幾個(gè)”“如何求最值”“最值與單調(diào)性有什么聯(lián)系”等一系列問(wèn)題，不斷地發(fā)問(wèn)，從而實(shí)現(xiàn)“概念越辯越明”。這就是反饋調(diào)節(jié)機(jī)制的具體應(yīng)用。

在教學(xué)應(yīng)用探索環(huán)節(jié)例2的過(guò)程中，筆者注意到了一個(gè)細(xì)節(jié)：由于本例是實(shí)際問(wèn)題，所以數(shù)據(jù)不是那么的簡(jiǎn)潔，導(dǎo)致運(yùn)算量較大，但題目背景又很真實(shí)自然。執(zhí)教教師先讓學(xué)生計(jì)算，在不少學(xué)生感到存在困難后再板書演示，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注式子結(jié)構(gòu)及數(shù)據(jù)特征，運(yùn)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生也完成了相關(guān)運(yùn)算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)獲得了很自然的發(fā)展。

在整節(jié)課中，師生間這種形式的互動(dòng)是高頻的，執(zhí)教教師對(duì)教學(xué)過(guò)程的把控是到位的，教學(xué)效果也是很好的。由此可見(jiàn)執(zhí)教教師在組織教學(xué)方面的深厚功力。

（五）商榷兩個(gè)細(xì)節(jié)

第一個(gè)細(xì)節(jié)是，執(zhí)教教師在形成概念環(huán)節(jié)提出了“問(wèn)題2：如何求函數(shù)的最大（?。┲?？請(qǐng)舉例說(shuō)明”這一問(wèn)題。筆者思考，這一問(wèn)題可否慢點(diǎn)提出？因?yàn)楹瘮?shù)的最值是一個(gè)需要定義的概念，在還沒(méi)有給出最值概念之前就開(kāi)始求最值了，不符合邏輯。建議改為“問(wèn)題2：由‘山有最高處’思考，函數(shù)是否也可以有‘最大值’的概念呢？類似地，還可以有‘最小值’的概念嗎？如果有，同學(xué)們認(rèn)為應(yīng)該怎樣下定義呢？”。

第二個(gè)細(xì)節(jié)是，執(zhí)教教師可以在提出問(wèn)題3和問(wèn)題3的追問(wèn)后，讓學(xué)生自己去歸納整理。函數(shù)的“最大值”和“最小值”是完全同構(gòu)的兩個(gè)概念。理解了“最大值”概念之后，學(xué)生完全可以通過(guò)類比推理得出“最小值”概念，因而這里有必要讓學(xué)生自主進(jìn)行探究，使學(xué)生體驗(yàn)到“發(fā)現(xiàn)”的快樂(lè)。

總之，“單調(diào)性與最大（?。┲怠边@一課例，執(zhí)教教師立足大單元視角，“雙線”并行推進(jìn)，實(shí)施了具有創(chuàng)新性、整體性且有深度的教學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，有助于學(xué)生初步形成數(shù)學(xué)建模思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是一節(jié)成功的數(shù)學(xué)概念課及建模思想滲透課，對(duì)優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)有較高的研究?jī)r(jià)值和借鑒價(jià)值。