邱澤昊,孫 寧,劉卓清,楊 桐,吳慶祥,方勇純

(南開大學人工智能學院機器人與信息自動化研究所,天津市智能機器人技術重點實驗室,天津 300350)

1 引言

近年來,欠驅動機械系統(tǒng)在工業(yè)生產(chǎn)中的應用愈加廣泛.為提高生產(chǎn)效率,減少人工操作帶來的風險,需設計有效的控制方法,在保證負載運輸安全的同時,使負載準確穩(wěn)定地到達目標位置.然而,由于欠驅動系統(tǒng)包含一些不可驅動的狀態(tài)變量,導致在設計控制方法時,必須使用較少的控制輸入來控制較多的系統(tǒng)自由度.為此,許多學者針對欠驅動機械系統(tǒng)的控制問題展開研究[1-12].其中,欠驅動起重機作為常用的大型運載工具,可根據(jù)運動方式分為多種結構類型,包括橋式起重機[13-15]、塔式起重機[16-18]、桅桿式起重機[19-21]等.各類型的起重機具有不同的動力學模型和控制目標,且控制方法也有所區(qū)別,但可根據(jù)是否存在反饋大致分為輸入整形、運動規(guī)劃等開環(huán)控制方法[22-25]和模糊控制、滑?？刂?、自適應控制等閉環(huán)控制方法[26-34]兩類.

由上述對各類起重機的研究可以看出,目前針對單起重機系統(tǒng)的研究已經(jīng)比較成熟,但隨著工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展,單起重機有限的承載能力已不能滿足大型負載的吊運需求.因此,需要兩臺或者多臺起重機協(xié)同工作以降低單臺起重機的承重.這類多起重機系統(tǒng)的動力學特性更為復雜,可能導致針對單起重機的控制方法不再適用.具體而言,雙桅桿式起重機作為一種典型的多起重機系統(tǒng),相較于一般的單起重機系統(tǒng),狀態(tài)變量間具有更加復雜的非線性耦合關系.首先,在雙桅桿式起重機的運行過程中,兩臺起重機分別通過各自的吊繩與負載兩端相連接,負載在吊臂的協(xié)同運動下移動至目標位置,這意味著兩臺起重機與負載在共同運動時必須視作一個整體.其次,當使用雙桅桿式起重機吊運大型負載時,由于負載不能被視作質點,系統(tǒng)模型將含有更加復雜的結構和參數(shù).除此之外,兩臺起重機協(xié)同運動意味著整個系統(tǒng)需要考慮更多的變量和更強的非線性特性,增加了分析和計算的難度.最后,兩臺起重機通過負載連接在一起,相互制約,限制了彼此的運動范圍.因此,在分析時需要充分考慮系統(tǒng)的幾何約束.

上述特性使得針對雙桅桿式起重機的控制問題研究更具有挑戰(zhàn)性.目前,與單起重機系統(tǒng)相比,針對多起重機系統(tǒng)的研究雖然非常有限,但其中也有不少成果具有啟發(fā)性.文獻[35]通過精確的幾何分析和數(shù)學推導,使用拉格朗日方法建立了雙桅桿式起重機的完整動力學模型.文獻[36]將多移動式起重機分成執(zhí)行器末端和移動式起重機本體兩部分,對二者的穩(wěn)定性分別進行分析.此外,雙橋式起重機作為一種基礎的多起重機系統(tǒng),與輸入整形控制有著良好的結合.文獻[37]通過分析線性化的動力學模型,設計了改進的四脈沖極不靈敏型輸入整形器,有效地減小了殘余振蕩.為設計輸入整形器,文獻[38]使用合理的簡化條件削弱了系統(tǒng)的非線性,并對比了不同輸入整形器的性能.進一步地,在近期的研究中,Fu等人[39]為雙桅桿式起重機系統(tǒng)設計了自適應耦合消擺跟蹤控制方法,實現(xiàn)了令人滿意的消擺效果.

盡管上述方法對于雙桅桿式起重機的研究很有意義,但仍存在著一些亟待解決的問題.

1)現(xiàn)有控制方法大多針對雙橋式起重機.相較于雙橋式起重機,雙桅桿式起重機包含更復雜的旋轉運動,而這些旋轉運動狀態(tài)很難被解耦.因此,適用于雙橋式起重機的控制方法不能直接應用于雙桅桿式起重機.這意味著提出針對雙桅桿式起重機的具體控制方法是非常重要的.

2)兩臺起重機通過負載和吊繩相連接,組成的系統(tǒng)具有強耦合性,在共同運動時必須被視作一個整體.然而,一些研究為簡化分析,將整個系統(tǒng)進行拆分,這樣可能會導致設計不嚴密,產(chǎn)生不理想的控制效果.

為實現(xiàn)對雙桅桿式起重機的消擺控制,本文通過分析系統(tǒng)的幾何約束與動力學模型,推出狀態(tài)變量及其高階導數(shù)之間的關系.隨后,基于嚴密的數(shù)學推導,合理變換了雙桅桿式起重機的動力學模型,得到吊臂俯仰角和負載姿態(tài)角之間的動力學關系.在此基礎上,計算出系統(tǒng)的時變振蕩周期,設計一種極不靈敏型輸入整形器.最后,使用雙桅桿式起重機實驗平臺進行實驗,驗證所提時變輸入整形控制方法的有效性.

本文剩余內容包含如下部分: 第2節(jié)討論系統(tǒng)動力學模型和控制目標;通過嚴密的數(shù)學推導,將在第3節(jié)給出一種采用時變振蕩周期的極不靈敏型輸入整形器的分析設計過程;第4節(jié)將進行一系列實驗,以驗證所提時變輸入整形控制方法的有效性;第5節(jié)將對全文工作進行總結.

2 問題描述

本節(jié)將分別對系統(tǒng)的幾何約束、動力學模型和控制目標進行描述.

2.1 動力學模型

通過分析如圖1所示雙桅桿式起重機在水平和豎直方向上的幾何位置關系,可得如下幾何約束1為使表達更加簡約,本文將所用三角函數(shù)表達式簡寫為如下形式:

:

圖1 雙桅桿式起重機模型Fig.1 Model of dual boom cranes

在式(1)中:H表示O1O2的長度,即兩臺起重機之間的距離;2h是P1P2的長度,即負載兩個懸掛點之間的距離;l表示B1P1和B2P2的長度;L是O1B1和O2B2的長度.此外,α1(t)和α2(t)表示吊臂俯仰角;θ1(t)和θ2(t)是負載沿吊繩的擺角,無法被電機直接驅動;θ3(t)是P1P2和豎直方向的夾角,代表負載的姿態(tài)角.作為非獨立狀態(tài)變量,θ2(t)和θ3(t)可表示為θ2=β(α1,α2,θ1)和θ3=σ(α1,α2,θ1).角的方向均在圖1中標出.圖1中其他狀態(tài)變量和參數(shù)的含義見表1.

表1 變量和參數(shù)Table 1 Variables and parameters

根據(jù)圖1所示雙桅桿式起重機模型,系統(tǒng)動能可以具體表示為

進一步地,系統(tǒng)勢能可以表示為如下形式:

接下來,本文將主要分析動力學模型中的欠驅動部分,以獲取系統(tǒng)的振蕩特性.基于拉格朗日動力學分析,可推得欠驅動部分的動力學模型如下:

其中:βθ和σθ可由非獨立變量θ2(t)和θ3(t)推出,即

基于系統(tǒng)動能和勢能,γ1,γ2和γ3可利用拉格朗日方程計算得到,其具體表達式為

為進一步分析式(2),由起重機的實際作業(yè)情況可知,兩臺起重機的吊臂運動狀態(tài)相同,即α1=α2=α和同時,起重機在實際作業(yè)時移動緩慢,負載的擺角及變化很小.因此,雙桅桿式起重機為對稱系統(tǒng).綜上,可得如下假設:

假設1θ1和-θ2相等,θ3約等于π/2.

假設2式(2)中的部分變量和參數(shù)具有如下關系:

至此,雙桅桿式起重機的動力學模型得以推出,其中部分變量和參數(shù)的假設關系也基于實際作業(yè)情況計算給出.

2.2 控制目標

作為一種對稱系統(tǒng),當雙桅桿式起重機處于穩(wěn)定狀態(tài)時,期望的控制目標可以具體表述如下:

·負載在控制器的作用下,于時刻Tm到達目標位置.其中,θ1,θ2和θ3與目標位置的距離盡可能小,吊臂俯仰角的狀態(tài)為

3 模型分析與控制器設計

3.1 模型分析

為計算系統(tǒng)的振蕩周期,需推出系統(tǒng)的輸入輸出關系.為此,需將系統(tǒng)的動力學模型整理為如下形式:

其中:Vi代表輸入變量,Vo代表輸出變量.根據(jù)雙桅桿式起重機的實際結構,吊臂俯仰角α是由電機直接驅動的,可視為輸入變量;負載姿態(tài)角θ3能體現(xiàn)負載的擺動情況,可視為輸出變量.因此,式(4)可改寫為

通過比較式(2)與式(5)可看出,式(2)中存在眾多干擾狀態(tài)變量及其導數(shù).為由式(2)推得如式(5)所示形式的方程,需找出干擾狀態(tài)變量與所需狀態(tài)變量及其高階導數(shù)之間的關系,以實現(xiàn)對干擾狀態(tài)變量的消除.具體而言,分為如下3個步驟:

步驟1首先,計算吊繩擺角θ1,θ2與負載姿態(tài)角θ3及其高階導數(shù)之間的關系.

對式(1)進行變換可推得如下方程:

通過重新整理式(6),可以得到如下結果:

接下來,對式(1)求二階導可得

于是,可以構造如下方程:

步驟2其次,進一步計算θ1,θ3與α高階導數(shù)之間的關系.

對式(3)求導可得

步驟3最后,對雙桅桿式起重機欠驅動部分的動力學模型式(2)進行整理.

將式(8)和式(10)代入式(2)可得

將θ4與式(7)代入式(11),進一步計算可得

為揭示吊臂俯仰角α與負載姿態(tài)角θ4之間的關系,將式(12)中各變量的系數(shù)依次替換為Q1,Q2和Q3可得

至此,式(13)與式(5)的形式相同,可求解系統(tǒng)的振蕩頻率為

最終,雙桅桿式起重機的系統(tǒng)振蕩周期可計算如下:

在式(14)中,當?shù)醣叟c負載共同運動時,Bd的大小不斷變化.因此,由式(14)計算得到的系統(tǒng)振蕩周期T是時變量.這意味著雙桅桿式起重機的系統(tǒng)振蕩周期是隨著負載吊運過程中系統(tǒng)運動姿態(tài)的變化而改變的,即雙桅桿式起重機具有時變振蕩特性.

3.2 控制器設計

輸入整形控制[40-42]是一種前饋控制方法.它通過分析被控系統(tǒng)的振蕩特性,設計一系列具有不同幅值和時延的脈沖信號,在與原始輸入信號卷積后,使它們的殘余振蕩相互抵消,最終達到消擺目的.其中,極不靈敏型輸入整形器具有強魯棒性和良好的消擺性能.它主要由3個脈沖組成,每個脈沖的時延由被控系統(tǒng)的振蕩周期決定,幅值則受所允許的殘余振蕩調整.

由于雙桅桿式起重機的復雜模型擁有大量的狀態(tài)變量和參數(shù),設計的輸入整形器必須具備針對模型不準確的魯棒性.同時,大質量、大體積的負載吊運也需優(yōu)先考慮控制的穩(wěn)定性.結合式(14)所計算的振蕩周期T,設計具有如下形式傳遞函數(shù)的極不靈敏型輸入整形器:

其中:Ai為各脈沖幅值,ti為各脈沖延時.設定系統(tǒng)允許的殘余振蕩比例為Ve,可得如下關系式:

由式(15)可解得各脈沖幅值,并設計如下極不靈敏型輸入整形器[43]:

結合式(14)和式(16),可得如圖2所示的所提時變輸入整形控制的流程.相較于普通的輸入整形控制,所提方法基于反饋得到的雙桅桿式起重機運動姿態(tài),通過式(14)計算該運動姿態(tài)的振蕩周期,實時輸入到式(16)中形成對應的輸入整形器,最終完成消擺控制.此過程具備對雙桅桿式起重機運動姿態(tài)變化的魯棒性,避免預計算振蕩周期的局限性.

圖2 所提時變輸入整形控制Fig.2 Proposed time-varying input shaping control

4 實驗結果與分析

本節(jié)將基于自搭建的雙桅桿式起重機實驗平臺,針對雙桅桿式起重機進行3組實驗,以驗證所提控制方法的消擺性能和魯棒性.

如圖3和圖4所示,實驗平臺主要由兩臺自主搭建的桅桿式起重機、上位計算機、運動控制器、包含內部編碼器的伺服電機(精度:2500 PPR)和角度編碼器(精度:1000 PPR)組成.其中,桅桿式起重機的機械部分主要包括吊臂、負載和吊繩,它們能實現(xiàn)吊臂俯仰、負載擺動等桅桿式起重機的主要運動.

圖3 自搭建雙桅桿式起重機實驗平臺Fig.3 Self-built dual boom cranes experimental platform

圖4 實驗平臺控制系統(tǒng)Fig.4 Control system of the experimental platform

在實驗平臺中,為保持仿真與實驗軟件環(huán)境的連續(xù)性,實現(xiàn)算法與控制硬件的有效連通,控制算法由運行在上位計算機中的MATLAB/Simulink實時窗口執(zhí)行(控制周期:5 ms).它產(chǎn)生的控制信號通過運動控制器傳輸?shù)诫姍C驅動器并驅動電機轉動,在電機的轉動作用下,吊臂俯仰角發(fā)生變化,連接吊臂和負載的吊繩出現(xiàn)擺動.其中,吊繩擺角由角度編碼器測量,吊臂俯仰角則由電機內部的編碼器測量,二者測量得到的值均通過運動控制器反饋回上位機.可以看出,整個實驗平臺具有模擬實際、控制運動、采集信息、反饋信息等功能,其機械結構和控制系統(tǒng)都是易于開發(fā)和移植的.

實驗平臺相應的物理參數(shù)為

不失一般性地,將兩臺起重機的初始狀態(tài)設置為

此外,選擇吊臂的期望軌跡為

根據(jù)吊臂的期望軌跡和系統(tǒng)的幾何約束,可以計算得到目標位置為

考慮起重機的實際作業(yè)需求,設定系統(tǒng)允許的殘余振蕩比例為

在完成系統(tǒng)參數(shù)的設定后,為具體描述系統(tǒng)的殘余振蕩,提出如下評價指標:

其中:θ1(t)up表示θ1(t)的局部極大值,即θ1(t)在上一時刻增大,下一時刻減小;θ1(t)down表示θ1(t)的局部極小值,即θ1(t)在上一時刻減小,下一時刻增大;tmax為系統(tǒng)的總運行時間;t>tmax/2保證θ1在接受評價時已經(jīng)進入殘余振蕩狀態(tài);=0則為保證負載已經(jīng)到達目標位置;max{θ1(t)up-θ1(t)down}為殘余振蕩幅度的最大值,能夠充分體現(xiàn)系統(tǒng)的振蕩特性.

為體現(xiàn)本文所計算振蕩周期的準確性和時變特性以及所提控制方法的有效性,基于完全相同的極不靈敏型輸入整形器,首先,將所提方法與未使用輸入整形器和使用雙桅桿式起重機固定位置振蕩周期的輸入整形器情況進行對比.隨后,通過在實驗中修改吊繩長度和負載質量,進一步驗證本文方法對系統(tǒng)參數(shù)的魯棒性.下面是3組具體實驗.

實驗1本組實驗將未經(jīng)過輸入整形、經(jīng)過本文所提輸入整形器整形和經(jīng)過使用雙桅桿式起重機固定位置振蕩周期的輸入整形器整形的系統(tǒng)性能進行對比.雙桅桿式起重機在運行過程中某個固定位置的振蕩周期Ts可由式(14)計算得到.不失一般性地,本文選擇

如圖5所示,在使用輸入整形器前,θ1,θ2和θ3都存在明顯的大幅擺動,無法準確地穩(wěn)定在目標位置.其中θ1R(t)的值為3.08?.

圖5 實驗1: 未經(jīng)過輸入整形的實驗結果Fig.5 Experiment 1: experimental results without input shaping

如圖6中的實線所示,在使用本文所提輸入整形器后,相較于未經(jīng)輸入整形的結果(見圖5),吊臂俯仰角的定位依然準確,θ1,θ2和θ3的擺動幅度顯著減小.具體而言,θ1R(t)的值為0.14?,降低為輸入整形前的4.5%,這意味著輸入整形后負載的擺動得到顯著抑制.

圖6 實驗1: 本文所提方法的實驗結果Fig.6 Experiment 1: experimental results of the proposed method

在圖7中,輸入整形器使用雙桅桿式起重機固定位置振蕩周期,雖然具有一定的消擺效果,θ1R(t)降低到1.74?,為輸入整形前的56.5%,但遠不如本文所提輸入整形器的消擺效果令人滿意(見圖6).因此,所計算的時變振蕩周期比雙桅桿式起重機運動過程中的某個固定振蕩周期更準確,體現(xiàn)振蕩周期時變的必要性.使用該時變振蕩周期的輸入整形器在保證定位準確的同時,具有令人滿意的消擺能力.

圖7 實驗1: 經(jīng)過使用雙桅桿式起重機固定位置振蕩周期的輸入整形器整形的實驗結果Fig.7 Experiment 1: experimental results of the input shaper using the oscillation period of DBCs at a fixed position

實驗2雙桅桿式起重機工作時,經(jīng)常需要運送不同負載,導致負載質量發(fā)生變化.同時,根據(jù)式(14),系統(tǒng)振蕩周期的計算中不涉及負載質量m.從理論層面看,負載質量的變化應對實驗結果影響不大.因此,本組實驗將負載質量由0.8 kg增加至1.1 kg,以驗證本文方法對負載質量參數(shù)變化的魯棒性.

由圖8可以看出,在負載質量發(fā)生變化后,θ1,θ2和θ3的振蕩特性與變化前有所區(qū)別且存在明顯擺動,但如圖9所示,本文所提輸入整形器仍然顯著地消除了θ1,θ2和θ3的擺動.因此,本文所提控制方法對負載質量參數(shù)的變化具有良好的魯棒性.

圖8 實驗2: 負載質量調整為1.1 kg,未經(jīng)過輸入整形的實驗結果Fig.8 Experiment 2: experimental results without input shaping after changing payload mass to 1.1 kg

圖9 實驗2: 負載質量調整為1.1 kg,本文所提方法的實驗結果Fig.9 Experiment 2: experimental results of the proposed method after changing payload mass to 1.1 kg

實驗3在實際作業(yè)中,雙桅桿式起重機需要通過改變吊繩長度將負載運送至不同位置.同時,式(14)中的系統(tǒng)振蕩周期隨吊繩長度的變化而改變,而所提時變輸入整形控制對系統(tǒng)的不同振蕩特性都應具有消擺作用.因此,本組實驗將吊繩長度由0.45 m增加至0.60 m,以驗證所提方法對吊繩長度參數(shù)變化的魯棒性.

在吊繩長度發(fā)生變化后,θ1,θ2和θ3在未經(jīng)整形時仍有大幅擺動(見圖10).本文所提輸入整形器則保持了對θ1,θ2和θ3擺動的消除作用,幾乎沒有受到參數(shù)變化的影響(見圖11).因此,本文所提控制方法對吊繩長度參數(shù)的變化同樣具有良好的魯棒性.

圖10 實驗3: 吊繩長度調整為0.60 m,未經(jīng)過輸入整形的實驗結果Fig.10 Experiment 3: experimental results without input shaping after changing rope length to 0.60 m

圖11 實驗3: 吊繩長度調整為0.60 m,本文方法的實驗結果Fig.11 Experiment 3: experimental results of the proposed method after changing rope length to 0.60 m

5 結論

為實現(xiàn)對雙桅桿式起重機的消擺控制,本文提出了一種時變輸入整形控制方法,同時實現(xiàn)了起重機的精確定位和對負載擺動的消除.基于系統(tǒng)的幾何約束、動力學模型和實際作業(yè)情況,推導出狀態(tài)變量及其高階導數(shù)之間的關系,對系統(tǒng)模型的形式進行了變換.此外,本文還通過分析雙桅桿式起重機的動態(tài)特性,計算出系統(tǒng)的時變振蕩周期,并設計一種極不靈敏型輸入整形器.基于上述內容,設計并進行了3組實驗,驗證了所計算時變振蕩周期的準確性、所提輸入整形器的有效性和對參數(shù)的魯棒性,表明所提出的針對雙桅桿式起重機的時變輸入整形控制方法具有令人滿意的消擺性能.考慮輸入整形控制的時延問題和自身結構的局限性,為實現(xiàn)對雙桅桿式起重機更好的控制效果,將在未來的研究中設計更先進的控制方法,以平衡輸入整形控制的時延和穩(wěn)定性,提升系統(tǒng)對外界擾動的魯棒性.