劉鵬飛，曹陽，陳國雄

（1.550025 貴州省 貴陽市 貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院；2.550081 貴州省 貴陽市 貴陽萬江航空機(jī)電有限公司；3.550025 貴州省 貴陽市 貴州省機(jī)電裝備工程技術(shù)研究中心）

0 引言

齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)是一對將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)的裝置，作為焊接機(jī)器人關(guān)鍵傳動(dòng)部件，具有承載能力大、傳動(dòng)精度高和運(yùn)行平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)。由于齒輪齒條上輪齒接觸面長期處于周期性交變接觸力的作用下，容易導(dǎo)致輪齒表面損傷或輪齒斷裂等問題，使其傳動(dòng)失穩(wěn)，甚至失效[1]，進(jìn)而影響焊接機(jī)器人的焊接工作，因此，有必要對焊接機(jī)器人齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度研究。劉本學(xué)等[2]以齒根拉應(yīng)力仿真結(jié)果作為有限元疲勞分析的數(shù)據(jù)來源，利用SolidWorks 與ANSYS Workbench/ Fatigue Tool 對直齒圓柱齒輪進(jìn)行彎曲疲勞仿真分析，再將結(jié)果與疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，從而驗(yàn)證仿真結(jié)果的可靠性；張延杰等[3]利用ANSYS 與ADAMS 軟件建立斜齒輪副的柔體動(dòng)力學(xué)模型，提取到了斜齒輪副的虛擬載荷譜，結(jié)合斜齒輪副5 齒對有限元模型的靜態(tài)接觸分析結(jié)果，利用nCode 疲勞分析軟件研究了齒廓偏差對斜齒輪副疲勞壽命的影響規(guī)律；嚴(yán)宏志等[4]應(yīng)用修正的局部應(yīng)力應(yīng)變法分析了不同齒面粗糙度下面齒輪的疲勞裂紋生成壽命，再結(jié)合損傷容限設(shè)計(jì)法預(yù)測了面齒輪的裂紋擴(kuò)展壽命。目前，對不同載荷、齒間摩擦系數(shù)和齒輪轉(zhuǎn)速對齒輪齒條疲勞壽命影響的研究還比較少見。

本文以自行研制的焊接機(jī)器人龍門架組件上的齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)作為研究對象，利用三維設(shè)計(jì)軟件建立齒輪齒條的參數(shù)化模型，并導(dǎo)入有限元軟件建立其瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，通過仿真獲得齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的有限元結(jié)果，結(jié)合疲勞損傷理論，分別研究不同載荷、齒間摩擦系數(shù)和齒輪轉(zhuǎn)速對齒輪齒條疲勞壽命的影響，為齒輪齒條在動(dòng)態(tài)條件下的抗疲勞優(yōu)化提供理論指導(dǎo)。

1 齒輪齒條有限元建模

1.1 參數(shù)化建模

齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)主要功能是將動(dòng)力傳給齒輪，并將齒輪回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)辇X條往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，使龍門架組件在Y向上往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)。本文選擇較易加工的直齒式齒輪齒條。為達(dá)到焊接機(jī)器人設(shè)計(jì)所需的性能要求，初步選定齒輪齒條的材料屬性為：材料42CrMo，密度7 850 kg/m3，彈性模量2.12×1011Pa，泊松比0.28，屈服極限σs=930 MPa，抗拉強(qiáng)度σb=1 080 MPa。在最大運(yùn)行速度條件下，初步計(jì)算其齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，齒輪齒條模數(shù)2 mm，齒輪齒數(shù)23，齒輪齒寬25 mm，壓力角α=20 °，齒輪軸徑22 mm。通過SolidWorks 建立直齒式齒輪齒條的三維實(shí)體模型。具體的齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)裝配體模型如圖1 所示。

圖1 齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)裝配體模型Fig.1 Assembly model of rack and pinion transmission mechanism

1.2 簡化有限元模型

為提高求解效率，在保障仿真精度可靠的前提下，可適當(dāng)簡化齒輪齒條模型結(jié)構(gòu)。由于設(shè)計(jì)的齒輪為標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪，計(jì)算可知其與齒條嚙合時(shí)齒輪副的重合度約為1.981。因此，模型簡化時(shí)須保留2 對齒輪處于嚙合狀態(tài)，即保證同一時(shí)刻齒對嚙合達(dá)到重合度要求。簡化后的齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)模型如圖2 所示。

圖2 齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)簡化模型Fig.2 Simplified model of rack and pinion transmission mechanism

進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)有限元分析時(shí)，模型網(wǎng)格劃分質(zhì)量直接影響仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此，有必要確保網(wǎng)格質(zhì)量在0.6 以上。由于齒輪面的動(dòng)態(tài)接觸轉(zhuǎn)動(dòng)屬于非線性接觸分析，所以可采用多區(qū)域劃分法。將網(wǎng)格大小設(shè)為0.5 mm，采用剛度矩陣較為稀疏的四面體（Tetrahedrons-element）單元對齒輪齒條模型進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。

2 齒輪齒條瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 邊界條件確定

本文齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的約束邊界條件為：齒條固定于機(jī)架上，而齒輪則在齒條上做圓周滾動(dòng)。輪齒間的齒面接觸類型設(shè)為有摩擦類型，并給定齒間的摩擦系數(shù)為0.15。采用閉環(huán)步進(jìn)電機(jī)作為動(dòng)力，其最大轉(zhuǎn)速為2 000 r/min；減速器的傳動(dòng)比為1∶10，可計(jì)算出齒輪的最大轉(zhuǎn)速為200 r/min，在最大線速度條件下齒輪轉(zhuǎn)速為2.65 rad/s。

由于運(yùn)行過程中齒輪受到的負(fù)載主要來自龍門架組件的重力和直線導(dǎo)軌間產(chǎn)生的摩擦阻力，所以可在齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向的反向施加一個(gè)水平力來模擬上述負(fù)載[5]。本文研究的焊接機(jī)器人龍門架組件的總質(zhì)量為365 kg，即負(fù)載力為3 650 N。考慮到輪齒間存在間隙，在啟動(dòng)運(yùn)行階段比較容易產(chǎn)生較大的沖擊載荷，需要考慮靜態(tài)安全系數(shù)fs的影響，故在齒輪鉸接處施加的負(fù)載f為

式中：f——龍門組件產(chǎn)生的阻力；FN——龍門組件重載荷；K——直線導(dǎo)軌摩擦系數(shù)，取K=0.15。

靜態(tài)安全系數(shù)fs=8，經(jīng)計(jì)算，傳動(dòng)裝置與軌道之間的最大摩擦力為2 190 N。

最終，在ANSYS Workbench Transient Structural仿真環(huán)境中添加相應(yīng)的約束、接觸和載荷等邊界條件，得到齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)，如圖3所示。

圖3 齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)Fig.3 Transient dynamics of rack and pinion transmission mechanism

2.2 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)求解與分析

齒輪齒條在瞬態(tài)嚙合過程中，2 個(gè)零部件處于接觸狀態(tài)，受力最大處易產(chǎn)生接觸穿透和膠合現(xiàn)象，造成強(qiáng)烈磨損[6]。因此，對齒輪齒條嚙合過程的接觸穿透分析是判斷其是否會(huì)發(fā)生膠合現(xiàn)象。

本文采用時(shí)間積分算法對齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解。根據(jù)齒輪的恒值轉(zhuǎn)速計(jì)算出其運(yùn)轉(zhuǎn)周期約為2.37 s。為了保證2 個(gè)輪齒形成完整的嚙合過程，對瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模型的求解時(shí)間設(shè)為0.206 s。設(shè)置初始子步為50，最小子步為10，最大子步為100。經(jīng)求解后，得到齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的接觸穿透云圖如圖4 所示。

圖4 齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)接觸穿透云圖Fig.4 Contact penetration cloud diagram of rack and pinion transmission mechanism

由圖4 可知，最大穿透量發(fā)生在齒輪分度圓處，最大值為3.298 4×10-4mm。齒輪齒條的總體穿透量極小，可近似看作無穿透，說明該齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)工作時(shí)不會(huì)發(fā)生膠合現(xiàn)象。

為了分析齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在運(yùn)行過程中是否具有足夠的強(qiáng)度，通過ANSYS Workbench 后處理分別提取齒輪齒條嚙合過程中產(chǎn)生的接觸應(yīng)力與最大節(jié)點(diǎn)應(yīng)力時(shí)間歷程曲線進(jìn)行分析，如圖5 所示。

圖5 齒輪齒條嚙合接觸應(yīng)力及應(yīng)力時(shí)間歷程曲線Fig.5 Meshing contact stress and stress time history curve of rack and pinion

從圖5（a）明顯看出，齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的最大接觸應(yīng)力發(fā)生在齒間嚙合區(qū)域和齒根位置處，這與現(xiàn)實(shí)相符。從圖5（b）可知，在0～0.051 5 s 啟動(dòng)階段，齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)出現(xiàn)了較大的沖擊現(xiàn)象，并在0.016 48 s 時(shí)其接觸應(yīng)力達(dá)到234.42 MPa，隨后就逐漸進(jìn)入平穩(wěn)嚙合狀態(tài)；在0.022 66～0.206 s穩(wěn)定運(yùn)行階段，接觸應(yīng)力隨時(shí)間的變化而呈現(xiàn)周期性“峰波”變化，并在0.070 04、0.162 30 s 時(shí)，由于齒輪與齒條的接觸面之間發(fā)生接觸碰撞分別產(chǎn)生322.31、279.96 MPa 的較大接觸應(yīng)力。由上述分析可知，齒輪與齒條嚙合過程中產(chǎn)生的接觸應(yīng)力均小于材料的屈服強(qiáng)度930 MPa，說明齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)滿足強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求，所以當(dāng)其發(fā)生失效時(shí)，屬于典型高周疲勞破壞，可采用名義應(yīng)力法對齒輪齒條進(jìn)行疲勞計(jì)算。

3 齒輪齒條疲勞分析

3.1 疲勞損傷理論

由于長期受交變耦合接觸應(yīng)力的作用，齒輪與齒條上輪齒比較容易發(fā)生表面損傷和疲勞破壞等失效，嚴(yán)重可能會(huì)導(dǎo)致整個(gè)齒輪斷裂，從而出現(xiàn)傳動(dòng)失效。工程上常用的累積損傷計(jì)算有以下2 種：

（1）Miner 線性累積損傷理論

工程上常用的累積損傷計(jì)算大多基于Miner 理論，認(rèn)為材料在不同應(yīng)力值下造成的損傷是獨(dú)立存在的，在循環(huán)載荷的作用下，材料受到的損傷逐步線性疊加，直到發(fā)生疲勞破壞。即材料在某一橫幅循環(huán)應(yīng)力σi作用下的疲勞壽命為Ni，則得到ni次循環(huán)載荷下的損傷率為[7]

根據(jù)Palmgren-Miner 線性損傷累積理論計(jì)算不同水平的載荷循環(huán)對構(gòu)件的損傷，當(dāng)材料在K個(gè)應(yīng)力水平Di的作用下經(jīng)受ni次循環(huán)后，其受到的總損傷值為

式中：D——總損傷值；ni——構(gòu)件在第i級應(yīng)力幅值；Ni——構(gòu)件在第i級應(yīng)力幅值。

（2）非線性疲勞累積損傷理論

非線性疲勞累積損傷理論最典型的是Carten-Dolan 理論，認(rèn)為前一次載荷造成的損傷會(huì)對后一次載荷造成的損傷產(chǎn)生影響[8]。

①一次循環(huán)后對結(jié)構(gòu)材料造成的疲勞損傷為

式中：m——結(jié)構(gòu)損傷核的數(shù)量；r——損傷擴(kuò)展速率；c，d——結(jié)構(gòu)材料常數(shù)。

②2n個(gè)循環(huán)對材料造成的損傷為

等副加載條件：

變副加載條件：

式中：p——水平載荷作用下的載荷數(shù)。

③臨界疲勞損傷為

在變載荷中，“1”是已作用的載荷中壽命值最大一級；在等副載荷中，N1是疲勞壽命值，則

因疲勞損傷核產(chǎn)生后不會(huì)在后面的疲勞加載過程中消失，只會(huì)增加，則mi=m1，其中m1=max（mi），式（8）變化為

因損傷發(fā)展速率r正比于應(yīng)力水平S，則有

式中：S1——循環(huán)載荷中最大一次載荷；N1——對應(yīng)的疲勞壽命。

3.2 疲勞分析框架搭建

本文采用疲勞分析法對齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測。采用Workbench Transient Structural做齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，由于可直接獲得齒輪齒條上隨時(shí)間變化的應(yīng)力時(shí)間歷程，所以在nCode 軟件中無需設(shè)置載荷譜類型即可進(jìn)行疲勞分析。該疲勞分析方法先將有限元結(jié)果進(jìn)行轉(zhuǎn)化，獲得應(yīng)力張量時(shí)間歷程，再把應(yīng)力張量轉(zhuǎn)化為應(yīng)力標(biāo)量，然后再進(jìn)行循環(huán)計(jì)數(shù)，得到應(yīng)力幅值、應(yīng)力均值與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系，最后根據(jù)應(yīng)力計(jì)數(shù)結(jié)果并結(jié)合材料的S-N曲線進(jìn)行疲勞壽命分析，其轉(zhuǎn)換形式為[9]

式中：SE——綜合應(yīng)力影響因素；Sm——應(yīng)力集中系數(shù)；St——載荷放大系數(shù)；Om——?dú)堄鄳?yīng)力水平；Ot——偏移值；δ——有限元分析結(jié)果；D——應(yīng)力張量縮放系數(shù)；Pk（t）——載荷時(shí)間歷程。

在nCode SN TimeSeries（DesignLife）模塊中搭建動(dòng)載條件下的疲勞分析框架，如圖6 所示。

圖6 動(dòng)載條件下的疲勞分析框架Fig.6 Fatigue analysis framework under dynamic load

由于nCode 疲勞分析軟件的材料庫未含有本文齒輪齒條使用的材料（42CrMo），需在Material Map 中創(chuàng)建相應(yīng)的材料。考慮UTS 修正后，擬合得到材料42CrMo 的S-N曲線，如圖7 所示。設(shè)置Goodman 方法對載荷譜進(jìn)行平均應(yīng)力修正。求解齒輪齒條的疲勞壽命云圖，如圖8 所示。

圖7 修正后42CrMo 材料的S-N 曲線Fig.7 S-N curve of 42CrMo material after correction

圖8 動(dòng)載荷條件下齒輪齒條的疲勞壽命云圖Fig.8 Fatigue life cloud diagram of rack and pinion under dynamic load

由圖8 可知，在動(dòng)載條件下，在節(jié)點(diǎn)40 082 處，該位置的最小疲勞壽命值為2.134E+07。進(jìn)一步分析可知，圖8 中橢圓框選區(qū)域?yàn)辇X輪齒條接觸面，由于在嚙合區(qū)域產(chǎn)生齒面相對滑移時(shí)間較長，且在該過程中產(chǎn)生的集中應(yīng)力較大，因而在該區(qū)域容易發(fā)生疲勞損傷，造成疲勞失效。

由圖9 可明顯看出，在靠近分度圓附近區(qū)域，存在許多灰色點(diǎn)狀，表明該位置疲勞損傷最為嚴(yán)重，最大疲勞損傷值為4.687×10-8，遠(yuǎn)小于1。綜合上述分析，可通過熱處理工藝改善齒面的滲透厚度降低齒面摩擦系數(shù)以及減少應(yīng)力集中，有效延長齒輪齒條使用壽命。

圖9 動(dòng)載荷條件下齒輪齒條的疲勞損傷云圖Fig.9 Fatigue damage cloud diagram of rack and pinion under dynamic load

3.3 不同輸入?yún)?shù)對齒輪齒條疲勞的影響

齒輪與齒條嚙合，齒間嚙合時(shí)的摩擦系數(shù)、齒輪輸入轉(zhuǎn)速及負(fù)載嚴(yán)重影響齒輪齒條的疲勞特性。齒間接觸面的摩擦系數(shù)越大，產(chǎn)生的接觸應(yīng)力越大，造成接觸面的磨損也越嚴(yán)重[10]；齒輪的輸入轉(zhuǎn)速影響齒間嚙合頻率，輸入轉(zhuǎn)速值越大，輪齒間接觸面接觸的時(shí)間越小，產(chǎn)生的接觸應(yīng)力越大；負(fù)載是齒輪齒條嚙合過程中的阻力，負(fù)載值越大，運(yùn)動(dòng)阻力越大，嚙合時(shí)齒面接觸力越大，產(chǎn)生疲勞破壞的可能性就會(huì)增加。

為研究接觸摩擦系數(shù)、齒輪轉(zhuǎn)速、負(fù)載對齒輪齒條動(dòng)態(tài)特性的影響，設(shè)定摩擦系數(shù)為0.1、0.2、0.4、0.6、0.8，轉(zhuǎn)速為1.5、2.0、2.5、3.0、3.5 rad/s，負(fù)載為1 000、1 500、2 000、2 500、3 000 N，研究齒輪齒條嚙合過程中的動(dòng)態(tài)特性，結(jié)果如圖10所示。由圖10（a）可見，當(dāng)齒間摩擦系數(shù)增大時(shí)，齒輪與齒條受到的等效應(yīng)力逐漸增大，當(dāng)摩擦系數(shù)為0.1～0.4μm 時(shí)，等效應(yīng)變化較為緩慢，增加率約為33.8 MPa；摩擦系數(shù)為0.4～0.8μm 時(shí)，齒間產(chǎn)生的等效應(yīng)力呈線性增加，增加率近149.6 MPa。不同轉(zhuǎn)速對齒間產(chǎn)生的等效應(yīng)力也不同，低轉(zhuǎn)速下齒間嚙合產(chǎn)生的等效應(yīng)力變化不大，在較高轉(zhuǎn)速運(yùn)行條件下，產(chǎn)生的疲勞等效應(yīng)力增加較為明顯。

圖10 不同輸入條件下的齒輪齒條嚙合性能Fig.10 Meshing performance of rack and pinion under different input conditions

由圖10（a）明顯看出，隨著負(fù)載的增加，齒間產(chǎn)生的等效應(yīng)力增加呈線性變化，負(fù)載每增加500 N，等效應(yīng)力增加近62.11 MPa。由圖10（b）可見，齒輪轉(zhuǎn)速對齒輪齒條產(chǎn)生疲勞循環(huán)次數(shù)的影響最明顯，負(fù)載和摩擦系數(shù)的影響較小，在輸入?yún)?shù)為0.8μm、3.5 rad/s、3 000 N 時(shí)，對應(yīng)的疲勞循環(huán)次數(shù)分別為1.31E+04、2.85E+05、2.29E+06 次。由圖10（c）可知，低輸入?yún)?shù)值對齒輪齒條產(chǎn)生的疲勞損傷值較小，當(dāng)輸入?yún)?shù)值逐漸增加時(shí)，產(chǎn)生的疲勞損傷逐漸增加，在摩擦系數(shù)為0.8μm 時(shí)，最大疲勞損傷值為6.86×10-6，這是由于齒輪齒條嚙合表面的粗糙度越大，嚙合時(shí)造成的磨損越嚴(yán)重，轉(zhuǎn)速對齒輪齒條疲勞損傷的影響程度次之，最小為負(fù)載。

綜上分析可知，為提高齒輪齒條的動(dòng)態(tài)特性，增加其使用壽命，在滿足疲勞設(shè)計(jì)時(shí)，可對齒輪表面進(jìn)行處理，降低摩擦系數(shù)，同時(shí)降低齒輪轉(zhuǎn)速以及減少負(fù)載，可有效提高齒輪齒條的動(dòng)態(tài)性能。

4 結(jié)論

（1）利用有限元分析軟件對齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，當(dāng)處于平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)，齒輪齒條接觸嚙合時(shí)產(chǎn)生的最大等效應(yīng)力值均小于其材料屈服應(yīng)力，滿足強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求。

（2）齒輪齒條在動(dòng)載荷下，接觸應(yīng)力最大值位于齒面分度圓的過渡區(qū)域，該區(qū)域齒面接觸時(shí)產(chǎn)生的相對滑移時(shí)間最長，應(yīng)力較為集中，此區(qū)域產(chǎn)生的疲勞損傷最嚴(yán)重。

（3）通過ANSYS 與nCode 聯(lián)合疲勞仿真分析，得出在動(dòng)載荷條件下，摩擦系數(shù)對齒輪齒條產(chǎn)生最大等效應(yīng)力影響較大，轉(zhuǎn)速變化對疲勞循環(huán)的影響較為明顯。