蘭國生,冀成龍,李 祥,李聲祺,李 勇,楊 琦

(太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,太原 030024)

在整機(jī)設(shè)備中,由于各部件相互配合導(dǎo)致存在大量的粗糙表面,并且粗糙表面之間相互接觸組成結(jié)合面,結(jié)合面的接觸剛度特性在機(jī)械設(shè)備整機(jī)的接觸剛度中占據(jù)重要地位,有研究[1]表明,機(jī)床結(jié)合面的剛度約占機(jī)床總剛度的60%～80%,結(jié)合面引起的變形量約占機(jī)床總的靜變形量的85%～90%。因此,研究結(jié)合面的接觸剛度特性對整機(jī)性能的分析和預(yù)測具有重要的意義。

現(xiàn)今,許多學(xué)者對結(jié)合面的接觸剛度做了大量的研究。楊紅平等[2]用分形幾何理論表征結(jié)合面微凸體參數(shù),建立微凸體由彈性變形向彈塑性變形最終向完全塑性變形轉(zhuǎn)化的各階段的接觸剛度模型;田紅亮等[3]基于各向異性分形幾何理論,根據(jù)法向載荷的連續(xù)性和光滑性原理建立固定結(jié)合面的法向接觸力學(xué)模型;李小彭等[4]對MB分形模型進(jìn)行修正,分析微凸體在彈性、彈塑性和塑性各階段的變形狀態(tài),建立結(jié)合面法向接觸剛度分形預(yù)估模型;張偉等[5]建立綜合考慮微凸體基體變形和相互作用的結(jié)合面法向接觸剛度模型;譚文兵等[6-7]將結(jié)合面微凸體等效為橢圓形和錐形,建立了依據(jù)各向異性分形理論的結(jié)合面法向接觸剛度模型;

以上研究中大多基于無潤滑介質(zhì)的結(jié)合面接觸,而在實際工作中結(jié)合面大多處于潤滑狀態(tài)下工作。因此,Gonzalez-Valadez等[8]采用超聲反射回波測試方法,并基于界面的超聲反射系數(shù)與接觸剛度之間的關(guān)系,試驗獲得了混合潤滑界面的接觸剛度。Sun等[9]通過超聲彈簧模型和薄膜共振模型推導(dǎo)出了液體剛度表達(dá)式,建立了混合潤滑結(jié)合面法向剛度二維分形模型;肖會芳等[10]基于GW統(tǒng)計模型、油膜共振模型和彈簧模型,推導(dǎo)出固體接觸剛度和液體潤滑介質(zhì)接觸剛度,提出一種混合潤滑狀態(tài)下粗糙界面法向接觸剛度的計算模型;李玲等[11]針對潤滑條件下結(jié)合面的接觸特性受油膜厚度影響的問題,建立混合潤滑狀態(tài)下結(jié)合面的法向接觸剛度模型。

在以往的研究工作中,研究者大多基于統(tǒng)計學(xué)方法建立結(jié)合面法向接觸剛度模型,而統(tǒng)計學(xué)方法不能精確地對粗糙表面進(jìn)行描述。因此本文基于具有自相似性和尺寸獨(dú)立性的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)和分形理論對粗糙表面形貌進(jìn)行三維表征,將粗糙表面微凸體等效為錐體建立固體接觸的法向接觸剛度模型;然后根據(jù)固體-液體接觸界面油膜共振模型得到液體接觸剛度模型,并仿真分析結(jié)合面相關(guān)參數(shù)對結(jié)合面法向接觸剛度的影響趨勢,最后與試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,驗證了該模型的準(zhǔn)確性。

1 粗糙表面微觀形貌三維表征

GW模型是粗糙表面微觀形貌的傳統(tǒng)表征方法,此模型是基于統(tǒng)計學(xué)對粗糙表面微觀形貌特征進(jìn)行定量化的描述,主要的統(tǒng)計學(xué)描述參數(shù)為高度標(biāo)準(zhǔn)差e,輪廓算術(shù)平均值Ra、輪廓高度均方根值σ以及微凸體頂端的平均曲率半徑R等,這些參數(shù)具有精確度取決于儀器的分辨率的統(tǒng)一特性;基于此特性,使得描述結(jié)果不具有客觀唯一確定性,即各個參數(shù)不具有尺度獨(dú)立性。而Berry、Majumdar和Ausloos等研究發(fā)現(xiàn)Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)具有自相似性和尺寸獨(dú)立性,滿足粗糙表面微觀形貌的分布特征。因此本文采用帶有隨機(jī)變量的雙變量W-M函數(shù),該函數(shù)的表達(dá)式為:

(1)

式中:z(x,y)為指粗糙表面微觀形貌隨機(jī)輪廓高度;L為取樣長度;D為分形維數(shù),且取值范圍為2

粗糙表面的三維表面與二維輪廓如圖1所示。其中仿真參數(shù)為:L=0.61 μm,M=10,γ=1.5,D=2.4、2.8,G=1.36×10-8。

(a) G=1.36×10-8,D=2.4

從圖1可看出,粗糙表面的三維表面和二維輪廓都與分形維數(shù)有著重要的關(guān)系。當(dāng)粗糙表面的分形粗糙度恒定時,分形維數(shù)越大,粗糙表面間的波峰與波谷的差值越小,表面粗糙度愈小,粗糙表面愈加光滑,即分形維數(shù)D表述了粗糙表面的表面粗糙度。

2 混合潤滑結(jié)合面的法向接觸剛度等效模型

在實際接觸過程中,結(jié)合面間總會存在潤滑油,潤滑油在結(jié)合面間形成一層油膜,因此結(jié)合面間既存在微凸體與微凸體接觸又存在油膜與微凸體接觸,將結(jié)合面接觸等效后,就會形成微凸體-剛性平面接觸和油膜-剛性平面接觸,此時,結(jié)合面的法向載荷由等效微凸體和潤滑油膜共同承擔(dān)?；旌蠞櫥Y(jié)合面的接觸示意圖如圖2所示。

圖2 混合潤滑狀態(tài)下結(jié)合面接觸等效模型Fig.2 Normal contact equivalent model of joint surface under mixed lubrication

將兩粗糙表面接觸等效為剛性平面和粗糙表面接觸,潤滑油充滿粗糙表面與剛性表面的間隙,形成固體-固體接觸表面和固體-液體接觸表面,由混合潤滑結(jié)合面的法向載荷分配[12]得,結(jié)合面外部法向載荷由潤滑油膜壓力和微凸體接觸力共同承擔(dān),結(jié)合面接觸剛度K等效為固體接觸剛度KS與液體油膜接觸剛度KL的并聯(lián)連接模型,則結(jié)合面的接觸總剛度K為微凸體接觸剛度和液體潤滑油膜接觸剛度之和,即:

K=KS+KL

(2)

式中:KS為固體接觸剛度;KL為液體接觸剛度;等效后粗糙表面的均面與剛性平面之間的距離為h。從圖2可看出,當(dāng)h增大時,微凸體接觸面積減小,液體接觸面積增大,液體接觸剛度在結(jié)合面的接觸總剛度中占比增加;當(dāng)h減小時,微凸體接觸面積增大,液體接觸面積減小,固體接觸剛度在結(jié)合面的接觸總剛度中占比增加。

3 圓錐微凸體接觸等效模型

3.1 粗糙表面的三維分形模型

兩粗糙表面相互接觸時,一般等效為剛性平面與粗糙表面的接觸,粗糙表面上的微凸體變形部分一般等效為球形,球形等效時以余弦波為曲率半徑,但微凸體的真實體積小于等效球體的體積[13],因此圓錐微凸體更接近實際接觸[14]。為了減小等效微凸體的體積,本文采用與等效球形類似的方法,以余弦波的頂點(diǎn)和余弦波與剛性平面接觸的兩點(diǎn)為端點(diǎn)建立等腰三角形,并作為正視圖,將微凸體變形部分等效為圓錐模型,如圖3所示。

圖3 微凸體等效模型Fig.3 Micro-convex equivalent model

由圖3可知,δ為微凸體的變形量;β為圓錐微凸體的半頂角;r為等效微凸體的截面半徑;則微凸體的實際接觸面積為:a=πr2。

由文獻(xiàn)[15],單個微凸體的波峰與波谷的高度差即為單個微凸體的變形量δ,則變形量δ為

(3)

從圖3中可看出,半頂角β的余切值為

(4)

由文獻(xiàn)[16],單個圓錐微凸體在彈性階段所受應(yīng)力為

σc=0.2Ecot(β)

(5)

則單個圓錐微凸體在彈性變形階段所受法向載荷與接觸面積的關(guān)系為

Pe=σca=0.2Ecot(β)a

(6)

其中,E為兩接觸粗糙表面的綜合彈性模量,且E為:

(7)

式中:E1和E2分別為兩接觸粗糙表面的彈性模量;v和v2分別為兩接觸粗糙表面的泊松比。

單個圓錐微凸體在彈性變形階段所受法向載荷與分形維數(shù)D和分形粗糙度G結(jié)合得

(8)

由式(4)可得,在彈性變形階段,單個圓錐微凸體所受的平均載荷為

(9)

因剛度是材料或結(jié)構(gòu)抵抗受力時彈性變形的能力,因此可得單個圓錐微凸體的法向接觸剛度為

(10)

結(jié)合式(3)、式(7)和式(9)化簡得

(11)

在塑性變形階段,單個圓錐微凸體所受法向載荷為

Pp=Ha

(12)

式中,H為較軟材料的硬度

由式(12)可得,在塑性變形階段,單個圓錐微凸體所受的平均載荷為

(13)

假設(shè)圓錐微凸體由彈性變形進(jìn)入到塑性變形時連續(xù),則圓錐微凸體在臨界變形處所受的平均載荷也連續(xù),即:

Pea=Ppa

(14)

則單個圓錐微凸體由彈性變形轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃螘r的臨界接觸面積為

(15)

式中:σy為較軟材料的屈服強(qiáng)度,k=H/σy;φ為塑性指數(shù),φ=σy/E。

3.2 結(jié)合面接觸模型

粗糙表面接觸面積分布函數(shù)表達(dá)式[17]為

(16)

式中,al為結(jié)合面間所有微凸體中的最大接觸面積。

則結(jié)合面間的實際接觸面積為

(17)

粗糙表面的法向總載荷為

(18)

把式(6)、式(12)、式(16)代入到式(18)得

(19)

結(jié)合面的法向總剛度為

(20)

把式(10)和式(15)代入式(19)得

(21)

將式(19)和式(21)進(jìn)行無量綱化得

(22)

(23)

4 液體接觸剛度模型

混合潤滑狀態(tài)下存在粗糙表面-潤滑介質(zhì)-粗糙表面的接觸模型,潤滑介質(zhì)在兩個粗糙表面之間形成一層油膜,將兩粗糙表面等效為剛性平面,兩剛性平面之間為潤滑油膜,油膜厚度h為兩等效剛性平面之間的距離,等效液體剛度接觸模型見圖2。

由于剛性平面與潤滑油膜的聲阻抗有著明顯的差異,當(dāng)入射超聲波通過剛性平面與油膜時,超聲波發(fā)生反射與透射,因此可以測量剛性平面與潤滑油膜的聲阻抗以及反射系數(shù);而反射系數(shù)與潤滑油膜的厚度和剛度之間有著確定的關(guān)系,以此來計算潤滑油膜的剛度。

根據(jù)固體-液體接觸界面油膜共振模型可得,固體-液體接觸界面的超聲波反射系數(shù)為[18]

(24)

式中:λ0為超聲波在潤滑油膜中的波長;Z1為剛性平面的聲阻抗,Z1=ρ1c1,ρ1為剛性平面的密度,c1為超聲波在剛性平面中的波速;Z2為潤滑油膜的聲阻抗,Z2=ρ2c2,ρ2為剛性平面的密度,c2為超聲波在剛性平面中的波速。本文中計算具體取值應(yīng)用文獻(xiàn)[19]的數(shù)據(jù),如表1所示。

表1 固體和不同潤滑介質(zhì)的聲學(xué)特性Tab.1 Sound parameters of solid and different lubricants

根據(jù)潤滑油膜的等效彈簧模型,當(dāng)潤滑油膜厚度h與超聲波在潤滑油膜中的波長λ0相比相差較大時,可把潤滑油膜看作是一個反射超聲波的整體,則固體-液體接觸界面的超聲波反射系數(shù)[20]可表示為

(25)

式中:k1為單位面積上潤滑油膜的接觸剛度;f為超聲波的頻率。

聯(lián)立式(24)和式(25),單位面積上潤滑油膜的接觸剛度為

(26)

因超聲波在潤滑油膜中的波長λ0遠(yuǎn)大于潤滑油膜的厚度,因此可假設(shè)

(27)

(28)

將單位面積上潤滑油膜的接觸剛度拓展到整個接觸面,即考慮名義接觸面積,則潤滑油膜接觸剛度為

(29)

對式(29)無量綱化得

(30)

5 混合潤滑下粗糙表面接觸法向總剛度

聯(lián)立式(23)和式(30)可得,混合潤滑下粗糙表面的法向接觸總剛度為

(31)

式(31)表明,混合潤滑下粗糙表面的法向接觸剛度與分形維數(shù)、接觸表面的粗糙度、微凸體高度標(biāo)準(zhǔn)差、潤滑油膜厚度和潤滑介質(zhì)等因素有關(guān)。

6 仿真計算與結(jié)果分析

6.1 分形參數(shù)和法向接觸總剛度的關(guān)系

(a)

(a) D=2.1

綜合分析為:

(1) 當(dāng)粗糙表面的實際接觸面積為恒定值,分形維數(shù)漸增但不大于2.6時,結(jié)合面間相互接觸的微凸體數(shù)量增多,圓錐微凸體接觸面積增大,處于彈性變形狀態(tài)的圓錐微凸體總數(shù)占比減小,同時處于塑性變形狀態(tài)的總數(shù)占比增大,固體接觸剛度增大;同時,實際接觸面積為恒定值,因微凸體接觸面積增大而使液體接觸面積減小,則液體法向接觸剛度略微減小,此時前者起主導(dǎo)作用,因此法向接觸總剛度呈現(xiàn)上升趨勢;

(2) 實際接觸面積為恒定值,當(dāng)分形維數(shù)漸增且大于2.6時,結(jié)合面中微凸體的高度差減小,兩等效表面間的距離減小,結(jié)合面間潤滑油膜接觸面積增大,相互接觸的圓錐微凸體數(shù)量減少,致使圓錐微凸體接觸面積減小,則結(jié)合面中固體法向接觸剛度下降明顯;同時,潤滑油膜接觸面積增大,油膜厚度減小,微凸體高度標(biāo)準(zhǔn)差也減小,因此液體接觸剛度增大,此時結(jié)合面間的法向接觸剛度主要由潤滑油膜承擔(dān),因固體法向接觸剛度減小幅度明顯,因此法向接觸總剛度呈現(xiàn)下降趨勢。

(3) 實際接觸面積為恒定值,當(dāng)分形粗糙度漸增,結(jié)合面宏觀表面越粗糙,微觀下結(jié)合面中的微凸體高度差增大,相互接觸的圓錐微凸體數(shù)量減少,圓錐微凸體接觸面積減小,處于彈性變形狀態(tài)的圓錐微凸體總數(shù)占比減少,處于塑性變形狀態(tài)的總數(shù)占比增大,因微凸體接觸面積減小幅度較大,此條件占主導(dǎo)地位,因此固體接觸剛度降低;因微凸體接觸面積減小,則潤滑油膜接觸面積增大,微凸體高度差增大,兩等效平面間的距離增大,潤滑油膜厚度增大,潤滑油膜所承擔(dān)載荷減小,致使液體接觸剛度減小,因此,隨著分形粗糙度的漸增,結(jié)合面法向接觸總剛度逐漸降低,且分形維數(shù)越大,下降趨勢越明顯。

6.2 不同潤滑介質(zhì)和法向總剛度的關(guān)系

(a) D=2.2

7 試驗驗證

文獻(xiàn)[8]中設(shè)計了一組試驗用來測算混合潤滑結(jié)合面間的力學(xué)特性,試驗簡圖如圖7所示,該試驗是利用超聲波測量儀和電子探針來探測加入潤滑液之后結(jié)合面間的接觸剛度特性。其工作原理是:超聲波脈沖接收器(UPR)用于產(chǎn)生電壓脈沖,以驅(qū)動壓電換能器,傳感器(此情況下為10 MHz縱波)連接到UPR,該電壓會產(chǎn)生一個寬頻帶的短時超聲波脈沖,該脈沖從接口反射回來,并由同一傳感器接收,需要記錄的電壓隨后被UPR捕獲,并作為波形存儲在數(shù)字示波器上。

圖7 文獻(xiàn)[8]試驗原理圖Fig.7 Experimental schematic diagram of reference [8]

文獻(xiàn)[8]中采用的接觸表面的粗糙度如表2所示,依據(jù)表2中的參數(shù)分別記為試驗數(shù)據(jù)1和試驗數(shù)據(jù)2;文獻(xiàn)[10]中的模型是基于統(tǒng)計學(xué)計算方法建立的模型,記為XHF模型;然后與本文模型和試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比驗證,驗證結(jié)果如圖8和圖9所示。

表2 接觸表面的分形粗糙度值Tab.2 Fractal roughness of contact surface

圖8 不同模型與試驗數(shù)據(jù)1對比Fig.8 Comparison of different models with experimental data 1

圖9 不同模型與試驗數(shù)據(jù)2對比Fig.9 Comparison of different models with experimental data 2

從圖8和圖9中可看出,不同潤滑介質(zhì)下,本文模型預(yù)測剛度與試驗測量數(shù)據(jù)基本一致,驗證了本文模型的正確性;與XHF模型、WXL模型和LL模型相比,本文模型進(jìn)一步提高準(zhǔn)確度?；旌蠞櫥Y(jié)合面的接觸剛度與接觸表面的平滑程度、油膜厚度以及潤滑劑有關(guān)。結(jié)合面的平滑程度是由粗糙表面的加工方法決定的,加工方法也間接決定了油膜厚度,因此選擇合適的加工方法有助于改善混合潤滑結(jié)合面的接觸特性。本文模型的預(yù)測值偏離試驗值的主要原因在于:微凸體接觸時的變形階段分為彈性變形、彈塑性變形和塑性變形三種變形階段,而本文只考慮了彈性變形階段和塑性變形階段;本文模型還忽略了微凸體在接觸時產(chǎn)生的摩擦和微凸體的相互作用。

8 結(jié) 論

(1) 本文將結(jié)合面微凸體等效為圓錐微凸體,并基于分形理論、改進(jìn)的W-M函數(shù)和油膜共振模型,建立了混合潤滑狀態(tài)下結(jié)合面法向接觸剛度三維分形模型。

(2) 結(jié)合面無量綱法向接觸總剛度隨著分形維數(shù)的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢,且在分形維數(shù)為2.6附近時取得最大值;隨著無量綱法向載荷的增大和無量綱分形粗糙度的減小而增大。

(3) 混合潤滑狀態(tài)下結(jié)合面無量綱法向接觸總剛度高于無潤滑介質(zhì)結(jié)合面無量綱法向接觸剛度,且液體接觸剛度受潤滑介質(zhì)影響較大。

(4) 將本文模型和其他模型與試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,本文模型的預(yù)測值與試驗數(shù)據(jù)擬合度較好,驗證了本文模型的準(zhǔn)確性,可用于混合潤滑狀態(tài)下結(jié)合面的接觸特性的分析與預(yù)測。