周林仁,葉文許

(華南理工大學 土木與交通學院,廣東 廣州 510641)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)是確保重大工程結(jié)構(gòu)安全運營的重要舉措。一個能反映結(jié)構(gòu)真實性態(tài)的精準數(shù)值分析模型,是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中損傷識別、安全評定、壽命預測分析和研究的基礎(chǔ)[1-2]。有限元分析技術(shù)通過集合有限的離散單元去逼近無限連續(xù)的物理系統(tǒng),在航空、機械、工程結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域廣泛應用。土木工程結(jié)構(gòu)的狀態(tài)模型受眾多不確定性因素影響,且具有明顯的損傷時變特性,使得基于設(shè)計資料或有限測試信息建立的有限元模型與真實結(jié)構(gòu)之間存在較大差異,因此,有必要對有限元模型進行修正。

模型修正技術(shù)是對有限元模型的單元參數(shù)或物理參數(shù)進行修正,使得模型的力學特征與結(jié)構(gòu)的實測結(jié)果一致,從而能反應出實際結(jié)構(gòu)的真實性態(tài)。模型修正按修正對象主要可分為矩陣型修正和參數(shù)型修正[3-4]。參數(shù)型修正方法因修正對象物理意義明確而易于被工程界接受,得到廣泛研究和應用。為了提高大學復雜結(jié)構(gòu)模型修正的精度和效率,國內(nèi)外學者提出和研究了大量方法,包括子結(jié)構(gòu)方法[5-7]、替代模型方法[8-9],概率推斷方法[10-11],智能優(yōu)化方法[12-13]、以及近年來研究較多的人工智能算法[14]等。同時,也開展了較多非線性模型修正方面的研究[15-17]。目前,結(jié)構(gòu)模型修正的熱點和難點是解決大型土木工程復雜結(jié)構(gòu)模型修正中待修正參數(shù)多、測試信息不完備、結(jié)構(gòu)整體信息對局部損傷參數(shù)不敏感、精細化模型與快速分析之間的矛盾等問題。針對這些問題,國內(nèi)外學者進行了大量的研究,取得了頗富成效的研究成果[18-20]。

模型修正過程是對約束優(yōu)化問題的迭代求解,不斷修正模型參數(shù),使得基于特征信息建立的、反應有限元計算值與結(jié)構(gòu)測試值之間差異的目標函數(shù)收斂至極小值。由此可見,結(jié)構(gòu)的實測特征信息是模型修正之根基,其重要性不言而喻,沒有足夠多精準有效的測試信息,結(jié)構(gòu)模型修正無從談起。目前用于結(jié)構(gòu)模型修正的特征信息主要包括動力特征量、靜力特征量以及多信息融合的方法。

以往主要研究結(jié)構(gòu)測試技術(shù)和數(shù)據(jù)處理方法,以獲取盡可能多的精準測試信息。針對測試信息不完備的情況,主要研究模型降階[21-22]和特征信息擴展技術(shù)[23]。目前,大量結(jié)構(gòu)模型修正的研究關(guān)注模型修正方法和策略,而對如何合理選取和充分地利用測試特征信息,研究甚少。主要原因是用于結(jié)構(gòu)模型修正的測試特征信息本來就不多,因此,主觀上把可用的信息全部用上,忽略了從更深層次上理解結(jié)構(gòu)特征信息對模型修正的影響和作用機理。

本文分析結(jié)構(gòu)特征信息對模型修正的影響,揭示并解釋一些現(xiàn)象和規(guī)律。在此基礎(chǔ)上,對如何充分利用可用的結(jié)構(gòu)特征信息對模型進行高效和可靠的修正,提出一些建議以供參考。

1 基本思想

參數(shù)型模型是基于結(jié)構(gòu)實際響應輸出特征信息,對結(jié)構(gòu)中存在誤差的設(shè)計參數(shù)進行修正,使修正后分析模型更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)真實性態(tài)。模型修正的基本框架如圖1所示,結(jié)構(gòu)特征信息是其重要的組成部分。

圖1 結(jié)構(gòu)模型修正流程圖Fig.1 The flowchart of structural model updating

模型修正是由輸出求輸入,是典型的逆問題優(yōu)化求解。從數(shù)學問題求解的角度看模型修正,必然涉及到解的存在性、唯一性以及逆問題求解策略等問題。特征量信息是模型修正中用于參數(shù)修正的已知信息,可理解為數(shù)學問題求解的約束條件,應滿足以下幾個條件:①信息量要足夠多,即約束條件應等于或大于未知量個數(shù)(特征信息量≥待修正參數(shù)個數(shù)),才能確保解的存在性和唯一性;②使用的特征量對待修正參數(shù)要有足夠大的靈敏度,才能確保參數(shù)的誤差能在特征信息中得到體現(xiàn),使參數(shù)得到有效的修正;③特征信息要有足夠的精度和可信度,即能保證問題解的真實性。

實際中,由于工程結(jié)構(gòu)體型巨大和服役環(huán)境復雜,受限于測試條件和試驗成本,可用的實測信息量極為有限,而精確可靠的信息則更少。因此,如何利用這些來之不易的少量特征信息對模型進行有效修正,是一個具有重要實用意義和亟需解決的問題。本文基于空間桁架模型的數(shù)值仿真,分析不同參數(shù) (整體和局部,或大損傷和小損傷參數(shù)) 在不同特征信息量、不同類型特征信息情況下的模型修正效果。

2 參數(shù)型模型修正

基于設(shè)計和施工資料,建立結(jié)構(gòu)的初始有限元模型,盡可能考慮各種可能情況,以減少模型的不確定性因素,緩解模型修正壓力。實體有限元建模技術(shù)是當前比較常用的精細化建模方法。

模型修正的參數(shù)可以是所有存在誤差的參數(shù),例如結(jié)構(gòu)的材料、幾何和邊界條件等具有不確定性因素的參數(shù)。參數(shù)的選取可能存在誤選、漏選和所選的參數(shù)對特征信息不靈敏的問題,增加模型修正的難度和不確定性。為了剔除不靈敏的參數(shù),一般對參數(shù)進行靈敏度分析。

靈敏度是分析復雜系統(tǒng)中輸出特征量對輸入?yún)?shù)的敏感性?？珊唵螐臄?shù)學角度理解為函數(shù)對自變量的求導問題。在參數(shù)型模型修正中,設(shè)計參數(shù)p和特征方程f是隱式關(guān)系,設(shè)為f(p),對其在設(shè)計參數(shù)p點做泰勒展開,略去高階項,得:

(1)

式(1)可改寫為

(2)

模型修正過程是對于約束最優(yōu)化問題的求解,可以構(gòu)造如下表達式

(3)

式中:F(X)為目標函數(shù);gi(X)和hj(X)為優(yōu)化問題的不等式和等式約束;Xu和Xl為自變量X的上下界。

目標函數(shù)F(X)是基于結(jié)構(gòu)特征量建立的,反應有限元計算值與結(jié)構(gòu)測試值之間差異的數(shù)學表達式

(4)

式中:f為結(jié)構(gòu)特征量;ω為各特征量的力權(quán)系數(shù);N為特征倆數(shù)目;下標a和e分別為特征量的有限元計算值和結(jié)構(gòu)實測值。

目標函數(shù)與優(yōu)化問題及采用的優(yōu)化方法有關(guān),合理的構(gòu)造目標函數(shù)能充分利用特征信息,提高計算效率和修正精度。

3 相關(guān)性分析

3.1 相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)是衡量變量(或時間序列信號)之間相關(guān)程度的統(tǒng)計分析指標。兩個變量X1與X2之間的相關(guān)系數(shù)的表達式如下

(5)

相關(guān)系數(shù)R的取值范圍是[-1,+1],取值的正負表示正相關(guān)或負相關(guān)。一般情況,當R≥0.5時,認為兩變量顯著相關(guān)。

當對多變量進行相關(guān)性分析,可求得變量之間的相關(guān)矩陣R,R是對稱矩陣,所有對角元素是值為1的自相關(guān)系數(shù),其他元素Rij表示變量i和j之間的相關(guān)系數(shù)。

3.2 相關(guān)系數(shù)檢驗法

相關(guān)系數(shù)檢驗方法是選取相關(guān)系數(shù)R作為檢驗統(tǒng)計量,進行顯著性檢驗。當原假設(shè)為真時(兩變量不相關(guān)),給定顯著性水平α,使得:

P(|R|≥rα/2(n-2))=α

(6)

通過求解臨界值rα/2,可得拒絕原假設(shè)的域為[-1,-rα/2(n-2)]或[rα/2(n-2),1]。若觀測值落在拒絕域內(nèi),則拒絕原假設(shè),認為兩個變量是顯著相關(guān)的。顯著性水平α一般取0.05,即確保95%的置信概率。

4 桁架模型數(shù)值分析

4.1 空間桁架模型

用于仿真分析的空間桁架,是由12小跨組成的單層桁架,長6.0 m,高0.5 m,寬0.5 m,如圖2所示。桁架桿件采用鋼管,通過高強度螺栓與鋼球節(jié)點連接。整個模型由147根鋼管,48個鋼球節(jié)點和294個高強螺栓拼裝組成。鋼材彈性模量200 GPa,密度為7 850 kg/m3。

圖2 空間桁架結(jié)構(gòu)Fig.2 The space truss structure

采用ANSYS軟件建立該空間桁架的有限元分析模型,如圖3所示。為了提高模型精度,對球節(jié)點和高強螺栓連接進行了精細化建模;為了減少實體球節(jié)點單元數(shù)量,采用空間桁架建立球節(jié)點模型。調(diào)整球節(jié)點桿件的材料密度使其質(zhì)量與實心鋼球節(jié)點相同,并在桁架下層球節(jié)點上采用MASS單元附加10 kg質(zhì)量,降低整個桁架結(jié)構(gòu)的自振頻率。

圖3 空間桁架有限元模型Fig.3 Finite element model of the space truss

4.2 損傷參數(shù)與特征量

為了分析不同參數(shù)在不同特征信息情況下的修正效果,選取了6不同位置的桿件構(gòu)造損傷參數(shù),如圖4所示。通過改變桁架桿件的材料彈模(基準值200 GPa)模擬剛度損傷。

圖4 損傷參數(shù)Fig.4 The damage parameters

用于模型修正的特征信息,采用實際工程中最為常用結(jié)構(gòu)動態(tài)特征的自振頻率和靜力特性的靜載位移。對桁架有限元模型進行動力模態(tài)分析,前10階自振頻率及振型描述,如表1所示。桁架結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)包括了豎向和橫向的彎曲模態(tài),以及扭轉(zhuǎn)模態(tài)。桁架結(jié)構(gòu)的靜載分析,在跨中位置的頂層球節(jié)點上施加豎向荷載,測得桁架沿跨徑方向11個節(jié)點位置的豎向位移,如圖5所示。

表1 桁架結(jié)構(gòu)有限元模型的模態(tài)頻率Tab.1 Modal analysis of the truss structure

圖5 靜力加載與位移測點Fig.5 Static loading and displacement testing points

4.3 信息特征量對參數(shù)的靈敏度分析

對選定的損傷參數(shù)和特征信息進行靈敏度分析。桁架自振頻率和靜載位移對各參數(shù)的靈敏度如圖6和圖7所示?？梢钥闯?損傷參數(shù)對頻率的靈敏度都隨頻率階次變化。損傷參數(shù)對靜載位移的影響與損傷位置有關(guān)。水平桿件損傷對位移影響較大,位移對斜撐桿的靈敏度相對較小。損傷參數(shù)對自身附近的位移測點影響大于其他測點。

圖6 自振頻率對各參數(shù)的靈敏度Fig.6 Sensitivity of natural frequencies to parameters

圖7 位移對各參數(shù)的靈敏度Fig.7 Sensitivity of displacements to parameters

4.4 基于不同特征信息量的模型修正

基于空間桁架模型中選取的參數(shù)和特征信息,采用遺傳優(yōu)化算法,分析不同特征信息量情況下的修正效果。對不同信息量,分別考慮少量信息(特征量個數(shù)少于待修正參數(shù)個數(shù))、飽和信息(特征信息數(shù)量等于待修正參數(shù)個數(shù))和冗余信息(特征信息數(shù)量大于待修正參數(shù)個數(shù))三種情況。

基于不同數(shù)量的特征信息,對空間桁架結(jié)構(gòu)的6個損傷參數(shù)進行模型修正,頻率和位移的結(jié)果分別如表2和表3所示。可以看出,信息量不足,參數(shù)修正結(jié)果誤差非常大;當增加測試信息至飽和狀態(tài),修正誤差有所減小,基于頻率信息的修正成功,但采用位移信息的修正效果仍不理想;當采用具有冗余量的測試信息時,所有參數(shù)都能得到有效修正。分別對比采用少量、飽和和冗余的位移和頻率信息的模型修正結(jié)果,可以看出,自振頻率信息優(yōu)于位移信息。

表2 基于自振頻率信息的模型修正結(jié)果Tab.2 Model updating results of natural frequency

表3 基于位移信息的模型修正結(jié)果Tab.3 Model updating results of displacement

以上分析表明:①特征信息量不足,參數(shù)修正失敗,隨著信息增加,修正誤差變小;②在飽和信息情況下,參數(shù)修正效果與修正參數(shù)和特征信息類型有關(guān);③有足夠多的冗余信息,參數(shù)能得到有效的修正。解釋以上三點結(jié)論:第①和第③點可從數(shù)學原理上得到解釋,求解多個未知數(shù)的方程,已知的有效約束應等于或大于未知量個數(shù),能確保解的存在性和唯一性。所謂‘有效約束’是指各約束之間應該相互獨立,不存在線性相關(guān)問題,即問題的約束矩陣是滿秩矩陣。第②點結(jié)論,同樣的飽和信息,參數(shù)的修正效果是成功與失敗的差異,導致這個現(xiàn)象的原因,可能與參數(shù)與特征量相互之間的某些內(nèi)在聯(lián)系有關(guān)。例如,各測點位移對參數(shù)的靈敏度(見圖6),可以看出各曲線變化趨勢有規(guī)律可循,靈敏度都在損傷位置達有極大值。

4.5 特征量對參數(shù)靈敏度的相關(guān)性分析

針對各特征量對參數(shù)的靈敏度(見圖6和圖7中的曲線),進行多變量相關(guān)性分析,可得相關(guān)系數(shù)R矩陣和顯著性水平p矩陣,兩者結(jié)果一致,即當|R|≥0.5,或p≤0.05時,認為兩個變量存在顯著性相關(guān)。

圖8是損傷參數(shù)對頻率和位移靈敏度的相關(guān)性系數(shù)熱力圖,圖中上三角部分對應自振頻率的相關(guān)系數(shù),下三角部分對應位移的相關(guān)系數(shù)?？梢钥闯?自振頻率對參數(shù)靈敏度的相關(guān)系數(shù)中只有3個存在顯著相關(guān),分別為Par2與Par5、Par4與Par6、Par5與Par6;而位移的相關(guān)系數(shù)中有9個存在顯著相關(guān)。由此可知,位移之間的相關(guān)性明顯大于自振頻率。

圖8 自振頻率和位移對損傷參數(shù)靈敏度的相關(guān)性Fig.8 Correlation of the sensitivities of natural frequencies and displacements to damage parameters

通過參數(shù)對特征量影響之間的相關(guān)性分析,結(jié)合基于不同的特征信息量對不同的參數(shù)進行修正的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn),對于損傷參數(shù),位移之間的相關(guān)性明顯大于自振頻率,而參數(shù)修正結(jié)果表明自振頻率信息優(yōu)于位移信息。由此可得結(jié)論:特征信息對參數(shù)靈敏度之間的相關(guān)性,嚴重影響模型修正效果。如果各參數(shù)之間存在較強的相關(guān)性,飽和的特征信息并不能使參數(shù)得到有效的修正,需要增加更多的冗余信息;若參數(shù)之間不存在相關(guān)性,或只有少數(shù)參數(shù)之間存在不強的相關(guān)性,飽和的特征信息,一般能使參數(shù)得到較好的修正。

4.6 基于不同類型特征量的模型修正

土木工程結(jié)構(gòu)模型修正,存在待修正參數(shù)多,而可用的特征量只有結(jié)構(gòu)的低幾階模態(tài)信息、少數(shù)測點的位移和應變信息。同類型的特征量信息之間往往存在較強的相關(guān)性,不利于參數(shù)的修正,因此,考慮綜合利用各種不同類型的特征信息,既能避免或減弱相關(guān)性問題,也能增加特征信息量。

基于空間桁架模型和所構(gòu)造的損傷參數(shù),采用組合不同類型信息的飽和特征量(前3階自振頻率和3個測點位移),通過遺傳優(yōu)化算法對參數(shù)進行修正,結(jié)果如表4所示。對比基于不同的特征信息量對參數(shù)進行修正的結(jié)果(見表2和表3),飽和特征信息情況下,單獨使用一種類型信息并不能確保參數(shù)的成功修正,而采用前3階自振頻率和3個位移信息,能使所有參數(shù)都得到有效的修正,且修正效果更好。盡管所用同類型特征信息之間可能存在相關(guān)性,例如3個位移對損傷參數(shù)之間都存在較強的相關(guān)性,但各參數(shù)仍都到非常精準的修正。

表4 基于不同飽和信息的模型修正Tab.4 Model updating based on different saturation characteristic response

損傷參數(shù)在各種工況下修正的計算迭代次數(shù)和目標函數(shù)最終收斂值,如表5所示。對比分析可知,少量的特征信息,目標函數(shù)很快收斂至極小值,但修正失敗;隨著特征信息量的增加,修正誤差逐步減小,但目標函數(shù)收斂值有所增加。足夠的特征信息能使參數(shù)得到精確的修正,計算量與特征信息量的大小關(guān)系不大。目標函數(shù)收斂的最終值,其大小不能反映參數(shù)的修正效果,即目標函數(shù)小,不一定意味著參數(shù)的修正精度高。

表5 損傷參數(shù)模型修正結(jié)果總結(jié)Tab.5 Summary of the updating results of the damage parameters

5 基于空間桁架橋試驗的模型修正

5.1 桁架結(jié)構(gòu)模型與試驗

基于仿真分析的有限元模型,設(shè)計和建立空間桁架橋模型,如圖9所示。該桁架模型總跨度為6.0 m,寬0.5 m,高0.5 m,由12小跨組成。整個模型由48個球節(jié)點、588個高強螺帽、294個高強套筒、588個高強螺桿和147個圓鋼管拼裝而成。桁架桿件采用不銹鋼薄鋼管,通過實心鋼球節(jié)點連接而成。桁架模型一端設(shè)三向鉸接支座,另一端設(shè)兩向絞接約束,可沿縱向自由滑動。

圖9 空間桁架物理模型Fig.9 Physical model of the space truss

桁架模型組裝完成后進行靜、動力試驗測試,如圖10所示。靜力加載試驗是在桁架結(jié)構(gòu)底部跨中節(jié)點進行掛籃重物加載,分五級加載至最大180 kg質(zhì)量。在桁架底部節(jié)點安裝位移計,測試荷載作用下的結(jié)構(gòu)豎向位移。動力試驗是對桁架節(jié)點進行隨機多點敲擊激振,通過布置在桁架底部節(jié)點的加速傳感器采集到的結(jié)構(gòu)振動響應,采用隨機子空間方法識別結(jié)構(gòu)的自振頻率和模態(tài)振型。為了降低整個模型的自振頻率,在桁架底層各節(jié)點上附加10 kg的鋼質(zhì)量塊,整個模型共附加了220 kg質(zhì)量塊。

圖10 空間桁架模型靜力與動力試驗Fig.10 Static and dynamic testing of the space truss model

本次試驗分為標準模型和損傷模型試驗兩個工況。標準試驗是桁架結(jié)構(gòu)各桿件截面相同,定義為無損傷的標準模型。損傷試驗是采用截面面積稍大的桿替換損失位置的桿來構(gòu)造損失。與有限元計算相同,在桁架結(jié)構(gòu)不同位置上構(gòu)造了6個損傷(見圖3)。各損傷位置桿件截面面積的相對增加量視為模擬的桿件損傷程度,實測值如表6所示。

表6 各損傷參數(shù)對應的損傷程度Fig.6 Damage degrees of the damage parameters

對標準模型和損傷模型開展了靜、動力試驗,測得兩狀態(tài)桁架模型在靜載作用下的豎向位移,以及動力作用下識別的自振頻率,如表7所示。由表7可以看出,桁架對稱測點的位移大小比較接近,結(jié)構(gòu)的第一階頻率較小。采用剛度更大的桿件來模擬損傷,因此損傷模型的整體剛度增大,相同荷載作用下的豎向位移減小,結(jié)構(gòu)自振頻率增大。試驗數(shù)據(jù)反映了桁架結(jié)構(gòu)狀態(tài)良好,構(gòu)造的損傷在結(jié)構(gòu)靜、動力響應上有較明顯地體現(xiàn)。

表7 桁架標準和損傷狀態(tài)下的頻率和位移Fig.7 Frequencies and displacements of the undamaged and damaged truss structure

5.2 基于實測數(shù)據(jù)的模型修正

對應本文前述的有限元分析,基于桁架標準狀態(tài)和損傷狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的前10階自振頻率信息和在180 kg靜載下的位移信息,考慮模型修正所用特征信息的類型、數(shù)量和有效性,對該桁架構(gòu)造的損失參數(shù)進行修正,各工況下的模型修正結(jié)果總結(jié)如表8所示。

表8 基于實測數(shù)據(jù)的損傷參數(shù)模型修正結(jié)果總結(jié)Fig.8 Summary of the damage parameters updating results based on the measured data

從模型修正結(jié)果可以看出:特征信息量不足,模型修正失敗;有效的飽和信息量能確保模型修正成功,有效性不足的飽和信息量往往導致模型修正失敗;在有足夠冗余信息的情況下,模型修正能取得成功;使用不同類特征信息能提高模型修正的精度和可靠性?；趯崪y數(shù)據(jù)的桁架結(jié)構(gòu)模型修正與有限元仿真的結(jié)果完全一致,從而驗證本文所提出觀點的正確性。

基于以上分析,在結(jié)構(gòu)模型修正特征信息選取方面,首先要確保有足夠多特征信息量;其次,盡量提高信息量對參數(shù)修正的有效性,可以采用靈敏度和相關(guān)分析方法進行定量分析;最后,融合不同類型的特征信息能顯著提高模型修正的準確性。

6 結(jié) 論

基于空間桁架結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真和試驗研究,分析和驗證了不同特征信息量、不同類型特征信息和多信息綜合對結(jié)構(gòu)模型修正的影響機理與規(guī)律,得到以下主要結(jié)論與建議:

(1) 特征信息量不足,待修正的參數(shù)得不到正確的修正;隨著信息增加,修正誤差變小;有足夠多的冗余信息,參數(shù)都能得到有效的修正。在飽和信息情況下,參數(shù)未必能得到有效修正,修正效果與待修正參數(shù)和所用特征信息有關(guān)。

(2) 參數(shù)對所用特征信息影響之間的相關(guān)性,嚴重影響模型修正效果。若存在較強的相關(guān)性,飽和的特征信息并不能使參數(shù)得到有效的修正,需要增加更多的冗余信息;若參數(shù)之間不存在相關(guān)性,或只有少數(shù)參數(shù)之間存在不強的相關(guān)性,飽和的特征信息基本能使參數(shù)得到較好的修正。

(3) 不同類型的特征信息之間不存在相關(guān)性(或相關(guān)性非常弱),相同信息量情況下,模型修正效果明顯優(yōu)于單類型信息。建議綜合使用不同類型的特征信息,該方法能顯著提高模型修正精度和可靠度,且能降低測試難度和成本。

(4) 結(jié)構(gòu)模型修正,建議不能完全以目標函數(shù)收斂值大小評定修正結(jié)果成敗。計算表明,基于少量特征信息的模型修正,目標函數(shù)收斂值非常小,但修正失敗;而一些成功修正的算例,目標函數(shù)相對較大。