高翔　劉俊

中學數(shù)學中與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍及最值問題，常常與函數(shù)、不等式、立體幾何、平面幾何、向量等知識密切聯(lián)系，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，解決這類問題往往要利用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造不等式或函數(shù)方程的思想來求解.這類問題涉及的知識面廣，題型多，計算量大，解題過程復雜，試題難度大.為了提高學生解決這類數(shù)學問題的能力，筆者從一道易錯題出發(fā)，提出了在建構(gòu)主義理論引導下的“2+1”教學策略，對有效解決圓錐曲線取值范圍問題提供一種數(shù)學方法.

一、一道圓錐曲線取值范圍易錯題

圓錐曲線取值范圍的題目眾多，題型變化多樣，為了說明學生在知識建構(gòu)中的不足和缺陷，筆者列舉一道學生易錯題：

之所以解答錯誤，是由于學生只想到橢圓的長、短半軸的取值范圍，將其進行了簡單的加法運算，對橢圓知識的掌握還停留在初步認識上，是一種靜態(tài)的觀點，未能建構(gòu)動點的軌跡思想，不能從“動”的視角來看“點”的變化.那么教師如何在教學過程中幫助學生避免此類問題的產(chǎn)生呢？這是一個值得思考的問題，為了有效提高學生的認知水平，使其真正領(lǐng)悟數(shù)學的內(nèi)涵、思想和方法，教師需要一種教育理論來指導教學實踐，而建構(gòu)主義就是一種實用的能有效解決圓錐曲線取值范圍問題的教學理論.

二、建構(gòu)主義學習理論

建構(gòu)主義源自教育學，由認知發(fā)展領(lǐng)域最有影響力的心理學家、瑞士的皮亞杰提出.皮亞杰的理論充滿唯物辯證法，作為學習理論，建構(gòu)主義是為改進教學而提出的，其主要目的是了解發(fā)展過程中的各式活動如何引發(fā)孩童的自主學習，以及在學習的過程中，教師應(yīng)當如何適當?shù)匕缪葜С终叩慕巧?由于中學生的認知發(fā)展與其自身的學習過程緊密相關(guān)，因此，運用建構(gòu)主義理論可以很好地闡明學生在學習知識過程中的認知規(guī)律.建構(gòu)主義學習理論要點歸納起來主要有四點：第一，知識是學生通過意義建構(gòu)的方式而獲得，不是通過教師傳授得到的.第二，設(shè)計任務(wù)和學習環(huán)境，表明背景在學生對知識內(nèi)容的理解中的重要性.第三，給予學生解決問題的自主權(quán)，教師要激發(fā)學生積極的數(shù)學思維，促進學生自己解決問題.第四，鼓勵學生回顧和評價自己的觀點，促進學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng).

二、建構(gòu)主義理論指導下的“2+1”教學策略

要避免學生圓錐曲線取值范圍錯解的出現(xiàn)，引導學生正確解題，教師就必須加強對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng).在建構(gòu)主義學習理論的引領(lǐng)下，筆者提出圓錐曲線取值范圍“2+1”教學策略，“2+1”即“建構(gòu)思路、自主探究+回顧拓展”，整個解題過程就是一個建構(gòu)的過程.

1.建構(gòu)思路——以化歸促建構(gòu)，由建構(gòu)定思路

根據(jù)建構(gòu)主義學習理論要點的第一點和第二點，筆者在教學策略的第一步引導學生“建構(gòu)思路”，即建構(gòu)圓錐曲線取值范圍問題解決方案的思路.在這一環(huán)節(jié)，教師要引導學生深入挖掘圓錐曲線取值范圍問題的本質(zhì)及隱藏條件，弄清楚未知量和已知量，喚醒自己頭腦中儲存的相關(guān)知識，對新舊知識間的關(guān)系產(chǎn)生認知沖突，啟發(fā)學生思考，尋找圓錐曲線取值范圍中的已知量與未知量之間的關(guān)系，通過聯(lián)想以前學過的函數(shù)、方程等相關(guān)知識，將問題轉(zhuǎn)化，化歸為以前學習過的知識或問題，在反復的雙向作用過程中主動建構(gòu)起自己的解題思路.但是這個解題思路的建構(gòu)有時是一個充滿曲折且漫長的思考過程，并不一定是立即就能得到的，教師所要做的就是給學生不顯眼的幫助，讓學生在自己的獨立思考下建構(gòu)一個好的解決問題的思路.

以上面提到的那道學生易錯題為例，要求x+y的取值范圍，就等同于求圓錐曲線取值范圍的二元函數(shù)，通過聯(lián)想到之前掌握得比較好的、熟悉的一元函數(shù)的取值范圍或最值問題，教師能否引導學生將本題化歸為一元函數(shù)來解決呢？運用建構(gòu)主義學習理論，通過聯(lián)想，橢圓方程可以用三角參數(shù)形式表示，于是就可以建構(gòu)一元函數(shù)了，由橢圓方程就自然想到三角換元法（構(gòu)造三角函數(shù)），用一個元θ代替原來的兩個元x、y，設(shè)點M（3cosθ，sinθ），得到三角函數(shù)便于討論取值范圍，也就建構(gòu)了一種解題思路.

2.自主探究——開展探究學習，學生自主解題

根據(jù)建構(gòu)主義學習理論要點的第三點，我們歸納提煉為教學策略的第二步——“自主探究”，即執(zhí)行第一步建構(gòu)的解決方案.在這一步中，教師可以引導學生采用分析法、綜合法、歸納法、類比法等數(shù)學思想方法，尋找最佳方法來實現(xiàn)第一步建構(gòu)起來的圓錐曲線取值范圍問題解決方案.整個過程是學生的自主探究、主動發(fā)現(xiàn)和對所學知識意義的主動建構(gòu)過程.教師只起引導、協(xié)助的作用.這一環(huán)節(jié)可以提高學生的數(shù)學思維能力，體現(xiàn)以學生發(fā)展為本的主體教育觀，落實學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

以上面提到的問題為例，學生可以設(shè)點M（3cosθ，sinθ），得到x+y=3cosθ+sinθ=2sin（θ+φ）.其中φ=arctan，于是立即可得，x+y的取值范圍是[-2，2].

3.回顧拓展——反思建構(gòu)思想，拓展解題思路

根據(jù)建構(gòu)主義學習理論要點的第四點，我們歸納提煉了教學策略的第三步——“回顧拓展”，即這個問題解決了，不必忙于去做下一個題目而是要對之前的解題過程進行回顧與拓展.一是學生要回顧和評價自己的解題過程，反思題目的解題思路和解題方法，養(yǎng)成對所得結(jié)果進行驗證其正確性的良好習慣；二是反思總結(jié)題目的建構(gòu)思想，進一步拓展本題的解題思路，挖掘是否還有其他解法，即一題多解，舉一反三，融會貫通；三是要有變式思維，以本題為原型題建構(gòu)其他題型（變式）——向深度和廣度拓展，再回歸到本原問題，實現(xiàn)多題一解.這樣做，能很好地開發(fā)學生的數(shù)學思維.

還是以上面提到的問題為例，筆者在這一環(huán)節(jié)引導學生反思建構(gòu)過程，回顧如何把二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題.上面的解法是運用了三角換元法，但如果聯(lián)想到一元二次方程，之前我們就運用判別式而得到某個未知量的取值范圍或最值，本題就可以通過化歸，重新建構(gòu)一個一元二次方程來求解.于是學生又可以得到第二種解法：

對于第三種解法，構(gòu)造柯西不等式證明或求解新的不等式是數(shù)學競賽和高考的熱點之一，但也是很有難度的，教師可以鼓勵學生將原題向深度和廣度拓展，提升學生的數(shù)學思維能力.

現(xiàn)在建構(gòu)主義學習理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學教學之中.學生學習數(shù)學的質(zhì)量主要取決于學生自己對知識的建構(gòu)過程和建構(gòu)效率.其實，建構(gòu)主義學習理論的應(yīng)用非常廣泛，可運用在數(shù)學各個分支的教學中.教師應(yīng)摒棄以知識點為單位的固定教學模式，在課堂教學中設(shè)計并開展基于建構(gòu)主義學習理論的教學，使學生學會學習探索數(shù)學知識的方法，更好地獲取知識，提高數(shù)學思維能力，落實數(shù)學核心素養(yǎng)和立德樹人的根本任務(wù).

◇責任編輯 邱 艷◇