吳立寶 劉穎超

【主持人語】 中小學(xué)各學(xué)段課程內(nèi)容及其實施的上下貫通和有機銜接，有助于形成符合教育規(guī)律和人才培養(yǎng)規(guī)律的協(xié)同育人格局。這需要全科推進、全程推進、全員推進。近年來，江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)團隊聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科的小初銜接，以“教學(xué)內(nèi)容不越界，課業(yè)負擔(dān)不加重”為基本原則開展了專項研究，為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。本期《關(guān)注》呈現(xiàn)相關(guān)實踐研究成果，并邀請高校專家做更具理論深度和視野寬度的思想引領(lǐng)，旨在為義務(wù)教育一體化的高質(zhì)量發(fā)展提供可借鑒的經(jīng)驗和有價值的思考。

——蔡宏圣

摘要：做好學(xué)段銜接是深化課程改革、落實協(xié)同育人的必然要求。小學(xué)與初中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)應(yīng)遵循數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)上、學(xué)生學(xué)習(xí)心理和方式轉(zhuǎn)變、思維發(fā)展及素養(yǎng)進階的邏輯。在此基礎(chǔ)上，明確小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的路徑：貫通數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，建立整體結(jié)構(gòu)脈絡(luò)；著力提升學(xué)生的自主力，疏通學(xué)習(xí)心理和方式轉(zhuǎn)變的堵點；做好關(guān)鍵節(jié)點的教學(xué)，實現(xiàn)思維發(fā)展與素養(yǎng)進階。

關(guān)鍵詞：小初銜接；數(shù)學(xué)教學(xué)；知識結(jié)構(gòu)；自主學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)

本文系天津市教育科學(xué)規(guī)劃2021年重點課題“中小學(xué)生綜合素質(zhì)評價研究”（編號：BHE210014）的階段性研究成果。

2014年，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》提出：“進一步明確各學(xué)段各自教育功能定位，理順各學(xué)段的育人目標(biāo)，使其依次遞進、有序過渡……要增強整體性，強化各學(xué)段、相關(guān)學(xué)科縱向有效銜接和橫向協(xié)調(diào)配合。”［1］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在“前言”部分提出：“遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，加強一體化設(shè)置，促進學(xué)段銜接，提升課程科學(xué)性和系統(tǒng)性?！保?］并進一步明確了“小初銜接”的要求：“依據(jù)學(xué)生從小學(xué)到初中在認(rèn)知、情感、社會性等方面的發(fā)展，合理安排不同學(xué)段的內(nèi)容，體現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的連續(xù)性和進階性?！保?］做好學(xué)段銜接是深化課程改革、落實協(xié)同育人的必然要求。本文主要談一談小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)“從何銜接”和“如何銜接”的問題。

一、 從何銜接：小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的邏輯

開展小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)，需要從根源出發(fā)厘清從何銜接。一方面，立足數(shù)學(xué)學(xué)科知識特征，剖析由小學(xué)到初中知識的延伸；另一方面，以學(xué)生發(fā)展為本，分析由小學(xué)到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理和方式轉(zhuǎn)變以及思維發(fā)展、素養(yǎng)進階的邏輯，從而探尋小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)存在的銜接點——一致性與進階性表現(xiàn)。

（一） 知識結(jié)構(gòu)上的邏輯

新課標(biāo)對課程內(nèi)容的主題進行了調(diào)整和重組，體現(xiàn)了知識的系統(tǒng)性與結(jié)構(gòu)性。下面，主要分析數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率領(lǐng)域的知識結(jié)構(gòu)，說明小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)中知識結(jié)構(gòu)上的邏輯。

1. 數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域知識結(jié)構(gòu)上的邏輯

在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，初中階段“數(shù)與式”是小學(xué)階段“數(shù)與運算”的延伸。一方面，由整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)拓展到有理數(shù)、實數(shù)的學(xué)習(xí)，以此實現(xiàn)數(shù)系的擴充；另一方面，由數(shù)的學(xué)習(xí)到式的學(xué)習(xí)，是實數(shù)系向代數(shù)式體系的推廣，式的概念是通過字母表示數(shù)，在數(shù)及其運算的基礎(chǔ)上建立起來的。［4］“數(shù)與式”“數(shù)與運算”的小初一致性體現(xiàn)在“計數(shù)單位”上。整數(shù)的計數(shù)單位是10n-1（ｎ為正整數(shù)，后同），分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位是1n，小數(shù)的計數(shù)單位是10-n，初中階段代數(shù)式的計數(shù)單位可看作“同類項”，數(shù)與式的運算本質(zhì)上都是計數(shù)單位的個數(shù)累加。因此“數(shù)與式”不僅是“數(shù)與運算”的發(fā)展，而且與“數(shù)與運算”有相通的本質(zhì)內(nèi)核。

初中階段“方程與不等式”“函數(shù)”是小學(xué)階段“數(shù)量關(guān)系”的延伸，即從常量相等關(guān)系的學(xué)習(xí)過渡到含有未知量的相等關(guān)系和不等關(guān)系以及變量之間數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)。對于“方程與不等式”，小初銜接點體現(xiàn)在，小學(xué)階段等式的基本性質(zhì)、等量的等量相等的基本事實等內(nèi)容是初中階段“方程與不等式”的基礎(chǔ)：小學(xué)階段的學(xué)業(yè)要求是在具體情境中感受等式的基本性質(zhì)，而初中階段的學(xué)業(yè)要求是掌握等式的基本性質(zhì)并運用其進行等式的變形、解方程，即進行結(jié)構(gòu)化變形而非程序化運算。這也體現(xiàn)了算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡。對于“函數(shù)”，小學(xué)階段是在具體情境中認(rèn)識、感悟數(shù)量的變化，探索規(guī)律或變化趨勢，初中階段則是抽象概括出函數(shù)的定義，以動態(tài)的變化觀理解變化過程中的變量關(guān)系，研究其幾何特征與數(shù)量特征。

此外，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域小初轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵點是對“字母”一般性理解程度的加深：小學(xué)階段強調(diào)在具體情境中用字母表示關(guān)系和規(guī)律，初步感受其一般性；而初中階段強調(diào)能夠用字母進行形式化的操作和推理，關(guān)注結(jié)論的一般性。這也是算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的關(guān)鍵所在。

2. 圖形與幾何領(lǐng)域知識結(jié)構(gòu)上的邏輯

在圖形與幾何領(lǐng)域，初中階段“圖形的性質(zhì)”是小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識與測量”的延伸。一方面，從感知圖形的特征、組成圖形的要素特征的學(xué)習(xí)過渡到從基本事實出發(fā)，通過直觀感知、操作驗證、推理論證，研究圖形的組成要素、性質(zhì)及圖形與圖形的關(guān)系的學(xué)習(xí)，抽象概括和推理論證能力要求提高，并逐步發(fā)展公理化思想，構(gòu)建幾何基本體系。另一方面，在直觀度量研究圖形特征的基礎(chǔ)上進一步一般化，從推理的角度發(fā)現(xiàn)圖形組成要素及圖形之間的關(guān)系。

初中階段“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”是小學(xué)階段“圖形的位置與運動”的延伸。小學(xué)階段“圖形的運動”認(rèn)識圖形的三種剛體變換，即平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，體會變化過程中的不變量；初中階段“圖形的變化”提升要求，理解三種圖形運動，探索其基本性質(zhì)，同時加入相似變換等，由歐式幾何擴展到仿射幾何，初步接觸射影幾何。在小學(xué)階段“圖形的位置”借助方格紙上點的位置與數(shù)對的關(guān)系積累的坐標(biāo)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，初中階段“圖形與坐標(biāo)”引入平面直角坐標(biāo)系，理解平面上的點與坐標(biāo)一一對應(yīng)，利用代數(shù)思維、數(shù)形結(jié)合方法研究幾何。“圖形的運動”和“圖形的變化”是從變化的角度研究圖形，“圖形的位置”和“圖形與坐標(biāo)”是從解析幾何的角度研究圖形的運動變化。

圖形與幾何領(lǐng)域的一致性體現(xiàn)在其本源是“度量”：圖形的概念可以在度量中建立，圖形的大小可以度量，圖形的位置及其變化關(guān)系也是在度量基礎(chǔ)上研究的。［5］因此，“度量”不僅有利于銜接學(xué)段間的聯(lián)系，還可以溝通“圖形與幾何”各主題的聯(lián)系。

3. 統(tǒng)計與概率領(lǐng)域知識結(jié)構(gòu)上的邏輯

對于統(tǒng)計內(nèi)容，初中階段“抽樣與數(shù)據(jù)分析”是小學(xué)階段“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達”的延伸。小學(xué)向初中轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵點是由描述性統(tǒng)計轉(zhuǎn)變?yōu)楦P(guān)注數(shù)據(jù)分析的推斷性統(tǒng)計，滲透歸納的統(tǒng)計思想，利用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征和變化趨勢，更加全面地感受數(shù)據(jù)的數(shù)字特征。統(tǒng)計解決問題包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的過程。在收集數(shù)據(jù)的過程中，小學(xué)階段主要感受生活中大量存在的數(shù)據(jù)，利用調(diào)查、實驗、測量、查閱資料等方法收集數(shù)據(jù)，更多地體會數(shù)據(jù)中蘊含的信息——對于小初銜接而言，注意在小學(xué)階段就為初中大樣本數(shù)據(jù)收集的學(xué)習(xí)積累客觀經(jīng)驗；初中階段則進一步感受現(xiàn)實數(shù)據(jù)的不確定性，要求學(xué)會用簡單隨機抽樣的方法收集數(shù)據(jù)，體會抽樣不同導(dǎo)致得到的數(shù)據(jù)結(jié)論不同，感受統(tǒng)計中或然推理的歸納思想，對數(shù)據(jù)收集方法做合理決策。關(guān)于數(shù)據(jù)的整理與描述，第一步是數(shù)據(jù)的分類，從小學(xué)階段要求對物體、圖形或數(shù)據(jù)按一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類轉(zhuǎn)變?yōu)槌踔须A段對數(shù)據(jù)按照組內(nèi)離差平方和最小的原則進行分類，事物的物理屬性逐漸被過濾，數(shù)據(jù)觀念進一步凸顯出來；同時，小學(xué)階段要求在數(shù)據(jù)分類的基礎(chǔ)上，繪制條形圖、折線圖等統(tǒng)計圖表來表達數(shù)據(jù)，并認(rèn)識扇形統(tǒng)計圖，借助圖形直觀感知數(shù)據(jù)的特征，初中階段除這三類統(tǒng)計圖外，增加扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖的繪制，強化統(tǒng)計圖的意義表達，增強對數(shù)據(jù)理性刻畫能力的要求。關(guān)于數(shù)據(jù)分析，小學(xué)階段學(xué)習(xí)反映數(shù)據(jù)集中趨勢的平均數(shù)和表達確定數(shù)據(jù)及隨機數(shù)據(jù)的百分?jǐn)?shù)，初中階段感知用平均數(shù)進行統(tǒng)計推斷的結(jié)論對一些情況已不能有力地幫助決策，進而過渡到更加全面地學(xué)習(xí)反映數(shù)據(jù)集中趨勢、離散程度以及分布位置的數(shù)等，并用樣本從特殊到一般地估計總體，初步滲透數(shù)理統(tǒng)計的思想，從對數(shù)據(jù)的局部認(rèn)知發(fā)展到全局認(rèn)知。

對于概率內(nèi)容，初中階段“隨機事件的概率”是小學(xué)階段“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”的延伸。從定性描述延展到定量刻畫從而深入理解“隨機性”，是小初銜接的關(guān)鍵節(jié)點：小學(xué)階段在定性層面感知隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性，通過實例豐富感受隨機現(xiàn)象及其結(jié)果發(fā)生的可能性的體驗；初中階段在定量層面了解隨機現(xiàn)象的意義和本質(zhì)，通過量化隨機現(xiàn)象的可能性推斷不確定性背后的規(guī)律性。

（二） 學(xué)習(xí)心理和方式轉(zhuǎn)變的邏輯

一方面，從小學(xué)到初中，數(shù)學(xué)知識的抽象性跨度較大，推理論證的規(guī)律性、邏輯性和理性程度提高，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容難度、深度和廣度的變化，會給學(xué)生帶來困難和挑戰(zhàn)，使學(xué)生產(chǎn)生畏難心理乃至自卑心理，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性減弱，不習(xí)慣、不適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)環(huán)境，造成學(xué)習(xí)上的心理障礙。但是另一方面，步入初中階段，學(xué)生的自主性和獨立性增強，面對新的知識境脈，對抽象內(nèi)容的興趣也會提高，渴望從更具一般性的角度認(rèn)識事物，透過具體的表象去認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)規(guī)律；同時，對教師的依賴有一定程度的降低，更想整理和分析自己的感性經(jīng)驗，由表及里地思考具體和個別事物背后的一般規(guī)律，并概括其本質(zhì)特征，從而深化和豐富對一類事物的認(rèn)識。因此，只要合理鋪設(shè)抽象知識形成過程的臺階，調(diào)動學(xué)生的主動性和求知欲，便會激發(fā)學(xué)生積極的學(xué)習(xí)心理變化，借助非智力因素的影響為小初數(shù)學(xué)銜接的有效教學(xué)實施打好基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)心理的變化也決定著學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。小學(xué)階段的學(xué)習(xí)方式主要是模仿性學(xué)習(xí)，即慣性地跟隨教師的思維進行思考。初中階段，學(xué)生獨立自主的需要迅速萌生，自我意識逐漸覺醒，他們力求成為主動的探索者、發(fā)現(xiàn)者和選擇者，更加獨立地觀察和思考，從而形成自己的見解。［6］尤其在綜合與實踐領(lǐng)域，學(xué)習(xí)方式由小學(xué)的跨學(xué)科主題式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)槌踔械目鐚W(xué)科項目式學(xué)習(xí)，提升了對自主合作和探究能力的要求，注重經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、實踐探究、最終解決問題的動腦思考、動手操作、用心體悟的交互過程。學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升要求教師在小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)時，處理好“導(dǎo)”與“學(xué)”的關(guān)系，為學(xué)生提供自主探究和獨立思考的學(xué)習(xí)機會，激發(fā)學(xué)生的主體意識，采用研究性學(xué)習(xí)、項目式學(xué)習(xí)、問題式學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，促進模仿性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃有詫W(xué)習(xí)及創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。

（三） 思維發(fā)展的邏輯

小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的另一難點是學(xué)生思維的變化和發(fā)展。從小學(xué)到初中思維變化和發(fā)展的總體特征為由具體形象思維到抽象邏輯思維：小學(xué)階段以具體表象與思維關(guān)聯(lián)形式為主導(dǎo)，初中階段以概念、判斷、抽象、概括、推理的形式進行思維為主導(dǎo)。具體表現(xiàn)在以下三個方面：

一是算術(shù)思維向代數(shù)思維的發(fā)展。算術(shù)思維是利用數(shù)和數(shù)量進行計算、求得結(jié)果的過程，采用的是操作性觀念；而代數(shù)思維是對結(jié)構(gòu)和關(guān)系的一般化思考，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)性觀念。算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，一方面是對潛在代數(shù)結(jié)構(gòu)的識別，轉(zhuǎn)變算術(shù)中執(zhí)行程序化計算的思想，以聯(lián)系性和結(jié)構(gòu)性的視角發(fā)現(xiàn)潛在的代數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)系、變化規(guī)律，并以一般化的符號表征和推理論證；另一方面是對未知量的理解，算術(shù)思維中需要通過操作已知量來求解未知量，而代數(shù)思維中未知量是可以操作的對象，參與到變形和計算中，且其結(jié)果不一定是具體的數(shù)值。

二是直觀具體思維向形式演繹思維的發(fā)展。小學(xué)階段主要經(jīng)歷的是經(jīng)驗性抽象（直接來源于客觀對象本身及其性質(zhì)）和偽經(jīng)驗性抽象（來源于作用在客觀對象上的行動，如數(shù)感和量感中所形成的感覺就可以理解為這一層面的抽象）［7］，兩種抽象構(gòu)建起了具體化世界。初中階段則是進一步的理性分析和對抽象進行的再抽象，使用符號來操作、推理論證、形式演繹，進入形式化世界。中間的過渡是過程概念化世界：將先前的抽象形成更確切的概念和關(guān)系。符號就是一個很好的工具，既表示一個過程，又表示一個概念，是直觀感知和形式演繹的中介和橋梁。

三是定性描述向定量分析的發(fā)展。這主要體現(xiàn)在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中：小學(xué)階段傾向于感知數(shù)據(jù)的分類，利用直觀統(tǒng)計圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，以及理解隨機現(xiàn)象有可能性的大小，形成數(shù)據(jù)直覺；初中階段則強化隨機性概念，借助多種統(tǒng)計量刻畫數(shù)據(jù)特征，如反映數(shù)據(jù)集中趨勢、離散趨勢和分布位置的統(tǒng)計量，使之更好地判斷和估計隨機大數(shù)據(jù)的特點，并定量刻畫隨機事件可能性的大小。由定性到定量的思維過渡，關(guān)鍵是對隨機性和不確定性的理解，進而理解不確定中確定的規(guī)律，把握大數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征。

（四） 素養(yǎng)進階的邏輯

新課標(biāo)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)正式凝練為“三會”，并提出其具有整體性、一致性和進階性的特點。小學(xué)階段和初中階段，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)的變化特點主要體現(xiàn)在兩個方面：

一是小學(xué)階段“感覺”和“意識”到初中階段“能力”的進階?！案杏X”是“客觀事物作用于感覺器官而引起的對該事物的個別屬性的直接反映”［8］，不需要將事物在一定的相互聯(lián)系和相互區(qū)分中構(gòu)成的全部復(fù)雜情況在頭腦中取得一個盡可能確切的“映像”［9］。比如，數(shù)感是對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直觀感悟，量感是對事物可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，［10］它們強調(diào)的是一種認(rèn)知直覺，需要具備大量具體經(jīng)驗以達到相應(yīng)的感覺閾限，連接起主體感覺和客體知識之間的聯(lián)系，進而在下次遇到數(shù)或量的內(nèi)容時，形成一種無意識或潛意識的判斷。例如，估計課桌寬度，反映出的是40 cm，而不會錯誤反映成40 dm。小學(xué)階段的“意識”主要指包括感覺、知覺、思維等在內(nèi)的一種綜合認(rèn)識活動，集中于對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的感悟，是從感性的基礎(chǔ)認(rèn)識活動逐步走向經(jīng)驗化的理性認(rèn)識活動的認(rèn)知過程。［11］比如，符號意識是能夠感悟符號的數(shù)學(xué)功能，推理意識是對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，它們側(cè)重于在經(jīng)驗直覺基礎(chǔ)上對其過程、意義和功能的感悟，具有一定的思維成分?！澳芰Α笔悄軌虺晒ν瓿赡撤N活動所必需的個性心理特征，初中階段的“能力”指以概括為基礎(chǔ)，表現(xiàn)出由感性具體、經(jīng)驗化理性向一般化理性以及辯證邏輯發(fā)展的動態(tài)認(rèn)知過程。［12］從數(shù)感和量感的直觀感知過渡到形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則以及方法的抽象能力，需要經(jīng)歷由實物層面抽象到符號層面抽象中間的半符號層面的抽象，逐步建構(gòu)起概念、性質(zhì)、法則等事物的確切“映像”。由符號意識、推理意識過渡到抽象能力、推理能力，需要進行有意識加工和邏輯分析，逐步形成穩(wěn)定的具有理性一般特征的思維模式，而后發(fā)展到能夠利用數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則等條件推出其他命題和結(jié)論。

二是小學(xué)階段“意識”到初中階段“觀念”的進階?！坝^念”指表象或客觀事物在人腦中留下的概括形象，在康德和黑格爾等人的哲學(xué)觀中，指理性領(lǐng)域內(nèi)的概念，如黑格爾認(rèn)為觀念是自在而自為的真理，即概念和客觀性的絕對統(tǒng)一。［13］因此，“觀念”需要在“意識”的經(jīng)驗化感悟中進一步抽象概括。比如，在對數(shù)據(jù)意義和隨機性的感悟、對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟基礎(chǔ)上，在現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界、客體與主體、特殊與一般的交互中，統(tǒng)一對事物的主客觀認(rèn)識，形成對數(shù)據(jù)的意義和隨機性、運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的清晰認(rèn)識，能夠根據(jù)情境確定合理的數(shù)據(jù)收集、整理、表達和分析的方法，對數(shù)據(jù)進行分析判斷，并定量表述隨機事件的可能性，能夠建立合適的模型表達數(shù)學(xué)中的關(guān)系和規(guī)律。

此外，還需要注意運算能力、幾何直觀、空間觀念等具體表現(xiàn)的一致性。這就要進行小學(xué)和初中一脈相承的貫通式培養(yǎng)，始終關(guān)注規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\算能力，運用圖表描述和分析問題的能力，根據(jù)特征對圖形形狀、大小、位置關(guān)系進行空間想象的能力。

二、 如何銜接：小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的路徑

（一） 貫通數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，建立整體結(jié)構(gòu)脈絡(luò)

新課標(biāo)強調(diào)：“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”，“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”。小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的關(guān)鍵就是將課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，形成對知識體系的整體認(rèn)識。布魯納曾提出結(jié)構(gòu)化教學(xué)，認(rèn)為需要將知識領(lǐng)域更廣博的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)弄清楚，用基本和一般的觀念來不斷擴大和加深認(rèn)識。［14］具體地，一是熟知小學(xué)和初中數(shù)學(xué)知識發(fā)展的脈絡(luò)，形成對知識結(jié)構(gòu)的貫通式理解，厘清數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等領(lǐng)域各主題的知識結(jié)構(gòu)，以聯(lián)系的角度系統(tǒng)化看待各主題內(nèi)容。例如，將“數(shù)與運算”“數(shù)與式”看成結(jié)構(gòu)化的整體，以實現(xiàn)數(shù)系的擴充和實數(shù)系向代數(shù)式體系的擴充；將“數(shù)量關(guān)系”“方程與不等式”“函數(shù)”看成結(jié)構(gòu)化的整體，以實現(xiàn)由常量到變量的進階。同樣，“圖形的認(rèn)識與測量”“圖形的性質(zhì)”，“圖形的位置與運動”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”，“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達”“抽樣與數(shù)據(jù)分析”，“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”“隨機事件的概率”可以看成四個結(jié)構(gòu)化的整體，同時關(guān)注推理論證、歸納概括運動中的不變性及量化分析的進階發(fā)展。二是把握具有一致性的核心概念，實現(xiàn)知識本質(zhì)理解的上通下達。這些本質(zhì)內(nèi)核不隨著知識和年級的變化而變化，也并非只能解決一時一事的問題，把握住它們可以起到以一通百、以一法通一類的作用，會使小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)開展得更加順利。例如，“計數(shù)單位”是“數(shù)與運算”與“數(shù)與式”中相通的核心概念，對計數(shù)單位的理解有利于達成對同類項及代數(shù)式運算的更好理解。具有整體性的課程，以核心概念為線索，形成若干相互關(guān)聯(lián)、連續(xù)進階的發(fā)展脈絡(luò)，有利于塑造學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，是解決知識體系不斷增長問題的必然路徑［15］，能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時，結(jié)構(gòu)化的組織也有利于實現(xiàn)教、學(xué)、評的一體化。

（二） 著力提升學(xué)生的自主力，疏通學(xué)習(xí)心理和方式轉(zhuǎn)變的堵點

從小學(xué)到初中，教師要充分利用學(xué)生自覺性、主動性和獨立性增強等變化特征，疏通學(xué)習(xí)心理轉(zhuǎn)變的堵點，采用合理的學(xué)習(xí)方式，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的平穩(wěn)過渡。首先，以生為本鋪設(shè)過程性臺階，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)心理障礙。學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)時，其學(xué)習(xí)心理障礙主要來源于知識抽象性的增強和數(shù)學(xué)思維方式的轉(zhuǎn)變。因此，教師需要為知識的形成搭建階梯，將復(fù)雜抽象的學(xué)習(xí)任務(wù)逐級分解成學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的學(xué)習(xí)任務(wù)，發(fā)揮學(xué)生的主體意識，激發(fā)學(xué)生想要一探究竟的心向，使其深度卷入提取問題、解決問題的學(xué)習(xí)活動中，成為知識的創(chuàng)造者和學(xué)習(xí)的掌控者，獲得學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，提升自我效能感，在心理上逐漸消除知識的陌生感，實現(xiàn)從學(xué)會到會學(xué)再到樂學(xué)。其次，重視培養(yǎng)學(xué)生的自主力，實現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。初中數(shù)學(xué)對學(xué)習(xí)方式的要求有所變化，重視基于真實情境的問題解決式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)，尤其是綜合與實踐領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。因為初中生的自主意識和獨立意識逐漸增強，渴望發(fā)現(xiàn)問題、探究問題，進行意義建構(gòu)，而這正是破除小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)壁壘的有利資源。通過發(fā)展學(xué)生的自主力，使其經(jīng)歷獨立思考、自主理解、操作探究的探尋數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程（也是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程），改變對教師講解習(xí)慣性依賴的情況，及早適應(yīng)初中階段的學(xué)習(xí)方式；同時，也能發(fā)展學(xué)習(xí)的積極性，產(chǎn)生良好的學(xué)習(xí)心理，更好地適應(yīng)初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（三） 做好關(guān)鍵節(jié)點的教學(xué)，實現(xiàn)思維發(fā)展與素養(yǎng)進階

從小學(xué)到初中的過渡，學(xué)生的思維處于從具體形象上升到抽象邏輯的階段，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)處于由感覺和意識層面上升到能力和觀念層面的階段。這樣的上升并非一蹴而就，需要教師在關(guān)鍵節(jié)點處搭建階梯，幫助學(xué)生實現(xiàn)“質(zhì)”的飛躍。其一，明確小初發(fā)展與進階的關(guān)鍵節(jié)點。例如，統(tǒng)計與概率領(lǐng)域，統(tǒng)計思維和數(shù)據(jù)觀念的躍遷需要建立在對隨機性和不確定性的深化理解上。現(xiàn)實世界的不確定性需要利用統(tǒng)計與概率來“確定”，統(tǒng)計學(xué)側(cè)重用數(shù)據(jù)來刻畫隨機現(xiàn)象，概率論側(cè)重建立理論模型來刻畫隨機現(xiàn)象。［16］小學(xué)階段主要是對大量真實數(shù)據(jù)進行直觀感知，發(fā)展統(tǒng)計直覺；小初銜接時，應(yīng)把握好對隨機性、不確定性的理解，進一步滲透正是由于不確定性，得到的結(jié)論，或者說對結(jié)果的判斷有好與壞之分（并且可以計算出其可能性的大?。?，而無對與錯之別，從而發(fā)展統(tǒng)計思維，實現(xiàn)由數(shù)據(jù)意識到數(shù)據(jù)觀念的進階。同理，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，小初銜接時，要關(guān)注字母符號的教學(xué)，幫助學(xué)生實現(xiàn)算術(shù)思維向結(jié)構(gòu)化和一般化的代數(shù)思維的發(fā)展。其二，借助半直觀半抽象的內(nèi)容實現(xiàn)從感性到理性的抽象過渡，如使用表格等工具研究函數(shù)，通過不斷歸納和概括，從中發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系，進而抽象出函數(shù)的概念和性質(zhì)。其三，提前滲透思想方法。小學(xué)階段可以滲透非形式化演繹推理，如判斷某平行四邊形（大前提）是否為正方形時，需要看該圖形是否滿足“一組鄰邊相等，一個角是直角”（小前提），從而得到結(jié)論，由此滲透三段論的思想，為初中階段的形式化演繹推理奠定基礎(chǔ)。

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（吳立寶，天津師范大學(xué)教育學(xué)部，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：教師教育與數(shù)學(xué)教育。劉穎超，首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院，博士研究生。主要研究方向：數(shù)學(xué)教育。）