董子龍 董世民 具自強

摘要：桿柱橫向振動是螺桿泵采油系統(tǒng)桿管失效的主要原因，研究桿柱勻速自轉(zhuǎn)時液體徑向力對桿柱橫向振動規(guī)律的影響，通過仿真擬合方法得到液體徑向力的數(shù)學(xué)模型并探討徑向力和公轉(zhuǎn)離心力對桿柱作用規(guī)律；建立桿柱橫向振動的仿真模型，其中液體徑向力和由于桿柱偏心旋轉(zhuǎn)離心力為橫向激勵，研究液體徑向力對桿柱橫向振動規(guī)律的影響；利用數(shù)值方法對振動微分方程求解。結(jié)果表明：液體徑向力的方向變化和偏心率有關(guān)且存在使徑向力方向轉(zhuǎn)換的臨界偏心率，考慮徑向力時桿管間碰撞力增大，碰撞次數(shù)增多，桿管首次發(fā)生碰撞時間縮短，桿柱波動性更大，碰撞力最值出現(xiàn)在桿柱底端和中部附近；桿柱工作時間越長其整體振動越明顯，形狀越不規(guī)則。

關(guān)鍵詞：螺桿泵； 采油桿柱； 自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)； 液體徑向力； 橫向振動

中圖分類號：TH 322 文獻標(biāo)志碼：A

引用格式：董子龍，董世民，具自強.螺桿泵采油桿柱受徑向力激勵的橫向振動［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2023，47（1）：156-163.

DONG Zilong， DONG Shimin， JU Ziqiang. Transverse vibration driven by radial force of sucker rod string in? screw pump production system［J］. Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science）， 2023，47（1）：156-163.

Transverse vibration driven by radial force of sucker rod

string in screw pump production system

DONG Zilong， DONG Shimin， JU Ziqiang

（School of Mechanical Engineering， Yanshan University， Qinhuangdao? 066004， China）

Abstract： The transverse vibration of a rod was the main cause of failure in the screw pump production system. The influence of liquid radial force on the transverse vibration law of rod was studied when the rod rotates at a uniform speed. The mathematical model of liquid radial force was obtained by the simulation fitting method， and the action law of radial force and rotational centrifugal force on the rod was studied. Then a simulation model on the transverse vibration of the column was established， in which the liquid radial force and the centrifugal force due to eccentric rotation of the column were transverse excitations， and the influence of the liquid radial force on the transverse vibration law of the column was studied. The differential vibration equation was solved by the numerical method. The results show that the direction change of the liquid radial force is related to the eccentricity and there is a critical eccentricity value to convert the direction of the radial force. When the radial force is considered， the collision force between the rod and the tube increases， the number of collisions increases， the time of the first collision between the rod and the tube is shortened， and the volatility of rod column is larger. The maximum value of the collision force appears near the bottom and the middle of the rod column. The longer the working time of the rod， the more obvious the overall vibration and the more irregular the shape.

Keywords： screw pump; production rod string; rotation and revolution; liquid radial force; transverse vibration

隨著地面驅(qū)動螺桿泵采油系統(tǒng)在油田開采中的推廣和使用，出現(xiàn)了桿管失效現(xiàn)象，從而增加檢泵的次數(shù)，降低油田產(chǎn)量^［1］。采油桿柱長徑比較大，位于環(huán)空流場中傳遞扭矩，受環(huán)空流場橫向作用力時易發(fā)生彎曲變形?？瓦M友^［2］對偏心環(huán)空中Cross流體的運動規(guī)律進行了研究；Noriyasu等^［3-4］對偏心環(huán)空中螺旋流的壓力分布進行了研究；Kazakia等^［5］在不考慮慣性力影響下研究Newton流體在內(nèi)桿做行星運動時的流動解析解；龐博學(xué)等^［6-7］對內(nèi)桿在偏心環(huán)空流場中做行星運動時的流場特性進行仿真，研究采油桿柱受到流場作用的液體徑向力和切向力，但并未推導(dǎo)力的數(shù)學(xué)模型及做深入研究。肖文生等^［8-10］用動力學(xué)理論研究鉆柱內(nèi)、外鉆井液、鉆壓和轉(zhuǎn)速等因素對鉆柱橫向振動的影響，其中外鉆井液對鉆柱的動壓力分解為指向偏心距方向的徑向力和垂直于偏心距的切向力，并在此基礎(chǔ)上建模和求解了鉆柱渦動規(guī)律。吳志堅等^［11-12］完善了桿柱彎曲動力學(xué)模型的工作條件并研究采油桿柱的動力學(xué)特性但是并未考慮井內(nèi)油液對采油桿柱的徑向力作用。關(guān)于螺桿泵采油桿柱在勻速自轉(zhuǎn)運動狀態(tài)下包括桿柱底端的偏心運動與交變流體力的共同激勵時的橫向振動規(guī)律的研究未見報道。筆者建立桿柱橫向振動的仿真模型，研究液體徑向力對桿柱橫向振動規(guī)律的影響，利用數(shù)值方法對振動微分方程求解。

1 螺桿泵轉(zhuǎn)子及桿柱運動規(guī)律

1.1 螺桿泵轉(zhuǎn)子運動原理

根據(jù)螺桿泵定轉(zhuǎn)子的成型理論^［13］和轉(zhuǎn)子的運動規(guī)律，可以得出：

（1）以圓柱螺旋線半徑e為半徑，O₂點為圓心的動中心圓，該動中心圓將用于研究螺桿泵定轉(zhuǎn)子的運動規(guī)律。

（2）定中心圓在O₁yz平面內(nèi)以定子平面中心O₁為圓心，2e為半徑。

根據(jù)定轉(zhuǎn)子嚙合原理可得螺桿泵工作時定轉(zhuǎn)子的運動規(guī)律為O₁yz平面內(nèi)動中心圓在定中心圓內(nèi)做純滾動，即行星運動，如圖1所示。

動中心圓心O₂的運動方程為

式中，u和v分別為圓心O₂在y和z方向運動位移，m;ω為角速度，rad/s;t為時間，s。

1.2 采油桿柱的橫向運動

桿柱底端與螺桿泵轉(zhuǎn)子相連，底端圓心O₃與動中心圓心O₂軸向重合，油管底端中心O與定中心圓心O₁軸向重合，所以桿柱底端面實際運動為繞著油管圓心O做行星運動。

采油桿柱在驅(qū)動扭矩作用下工作時，會受到兩個主要的橫向力，即液體徑向力和桿柱偏心運動產(chǎn)生的離心力。除去上下邊界整桿在油管做自轉(zhuǎn)的同時由于偏心距存在和底端行星運動激勵也做公轉(zhuǎn)運動，橫向力的交變性質(zhì)使公轉(zhuǎn)運動不規(guī)則。

2 基于仿真結(jié)果的徑向力回歸方程擬合

2.1 Fluent流場仿真的幾何模型及仿真環(huán)境

設(shè)置正交試驗組并利用Fluent軟件仿真各種工

況下環(huán)空流場對采油桿柱的液體徑向力，提取仿真結(jié)果并擬合出線性回歸模型。流體選用牛頓流體，運動類型為層流運動，環(huán)空流場沿井深取1 m長度。

為簡化仿真模型，假設(shè)：整桿以某偏心距做規(guī)則的行星運動，該偏心距與圓柱螺旋線半徑e相同；油井為垂直井；采用二維模型進行仿真研究；流場初始靜態(tài)絕對壓力為0 Pa。

仿真設(shè)置時流場的外壁面運動狀態(tài)為固定；流場內(nèi)壁面運動狀態(tài)為偏心距e的行星運動，其自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)角速度相同。

利用Fluent Flow模塊中的動網(wǎng)格方法對流場運動規(guī)律進行仿真。選用四邊形網(wǎng)格劃分流場區(qū)域，在內(nèi)壁面附近進行網(wǎng)格加密處理以提高仿真精度，設(shè)置30個仿真模型，各仿真模型的網(wǎng)格數(shù)在6577～7339，網(wǎng)格質(zhì)量在0.70～1，平均網(wǎng)格質(zhì)量在0.96～0.97，由此可知劃分網(wǎng)格精度較高。

2.2 仿真試驗方案確定及徑向力回歸模型建立

沿井深方向任意截面桿管中心位置關(guān)系用偏心率表示，求解示意圖如圖2所示。

偏心率e_c為

式中，l為任意截面桿管圓心之間的距離，mm；S為桿管間距，mm；D和d分別為油管和采油桿柱直徑，mm。

原油密度為880 kg/m³，選取桿柱直徑、偏心率、轉(zhuǎn)速和原油黏度作為研究影響桿柱所受液體徑向力的因素。

利用正交試驗方法選用L16（4⁵）正交表設(shè)置仿真試驗組，為提高線性回歸方程擬合精度適當(dāng)增加組數(shù)，然后進行工況仿真，結(jié)果如表1所示。

通過表1仿真結(jié)果建立液體徑向力q_r線性回歸數(shù)學(xué)模型，表示為

q_r=a₀+a₁d+a₂e+a₃n+a₄μ+a₅de+a₆dn+a₇dμ+a₈en+a₉eμ+a₁₀nμ+a₁₁d²+a₁₂e²+a₁₃n²+a₁₄μ².（3）

回歸系數(shù)分別為a₀=36.8677、a₁=-1.0222、a₂=-73.1777、a₃=-0.0618、a₄=0.1405、a₅=0.9931、a₆=-9.5380×10^-4、a₇=-0.0038、a₈=-0.0298、a₉=-0.0406、a₁₀=-1.7941×10^-4、a₁₁=-0.0046、a₁₂=-4.1592、a₁₃=-4.0219×10^-5、a₁₄=1.8477×10^-4。

將試驗仿真結(jié)果與對應(yīng)擬合結(jié)果進行對比如圖3所示，可得對應(yīng)數(shù)值點基本吻合，所以采用線性回歸方法擬合出的液體徑向力曲線具有較高精度。

桿柱直徑d、原油黏度μ、密度ρ和轉(zhuǎn)速n取定值分別為28 mm、23 mPa·s、880 kg/m³和130 r/min，偏心率取0.35、0.55、0.75、0.95。

仿真結(jié)果如圖4所示，不同偏心率下流場總壓云圖如圖5所示。

由圖4可知，采油桿柱所受液體徑向力絕對值隨偏心率增大呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，且當(dāng)偏心率達到0.8附近某一個臨界值假設(shè)為e_c時，徑向力方向發(fā)生變化。結(jié)合圖5（a）和（b）得出在偏心率小于e_c時，徑向力將推動桿柱向窄區(qū)域側(cè)油管運動，增大桿管碰撞的趨勢，此時徑向力為負值；隨著偏心率繼續(xù)增大并超過e_c時，由圖5（c）和（d）看出流場的高壓區(qū)漸漸向窄區(qū)域側(cè)桿管間隙移動，并最終導(dǎo)致徑向力的方向發(fā)生改變，阻止桿管發(fā)生碰撞，此時徑向力為正值，由此可以得到偏心率影響下環(huán)空流場液體徑向力對采油桿柱橫向振動的激勵機制。

3 采油桿柱橫向振動

3.1 采油桿柱橫向振動力學(xué)模型

為便于計算，假設(shè)：油井為垂直井，采油桿柱為理想的彈性體；不考慮桿柱縱向與扭轉(zhuǎn)振動對橫向振動影響；設(shè)置井口為坐標(biāo)系原點，沿著井深方向為x正方向；研究桿柱的平面橫向振動，振動位移方向為y；桿柱各截面中心軸在同一平面內(nèi)，且桿柱在此平面內(nèi)作橫向振動，采油桿柱為新桿；采油桿柱為單級桿。

研究采油桿柱在xOy平面中的橫向振動規(guī)律，桿柱所受的徑向力數(shù)學(xué)模型由式（3）給出。圖6為桿柱和其上截取微元的受力示意圖。

圖6中，q為桿柱在環(huán)空流場中所受到的軸向力，q_e為桿柱所受離心力，ν?y/?tdx為桿柱所受流場黏滯阻尼力，p_V為螺桿泵作用于桿柱底端的軸向載荷。

3.2 采油桿柱橫向振動數(shù)學(xué)模型

采油桿柱橫向振動的微分方程為

式中，u（x，t）為桿柱在y方向上的振動位移，m；ρ（x）為采油桿柱材料密度，kg/m³；ν為單位長度采油桿柱液體黏滯阻尼系數(shù)，（N·s）/m²；L為采油桿柱長度，m；Q為采油桿柱微元截面剪切力，N/m²；M為采油桿柱微元截面彎矩，N·m；A（x）為采油桿柱橫截面積，m²。

將彈性范圍內(nèi)桿柱變形時彎矩和撓度關(guān)系代入式（4）整理得采油桿柱振動微分方程為

式中，E為彈性模量，Pa；I為橫截面對垂直于x和y軸且通過橫截面形心軸的慣性矩，m⁴。

3.3 邊界條件

上邊界：桿柱上端連接光桿，光桿被軸套固定不能發(fā)生橫向位移，所以桿柱上邊界條件為固定邊界。

下邊界：采油桿柱底端做行星運動。

3.4 采油桿柱運動的初始條件和激勵條件

采油桿柱橫向運動初始條件數(shù)學(xué)模型為

其中

式中，x_i為桿柱在初始狀態(tài)時除上下端點外桿柱某位置坐標(biāo)，m；e_i為對應(yīng)x_i位置的桿柱初始偏心距，m。

式中，y_i為桿柱任意位置橫向位移。

采油桿柱所受離心力是橫向振動的交變激勵力，隨著桿柱橫向位移變化，離心力不斷發(fā)生變化并進一步激勵桿柱橫向振動，除去上下邊界任意位置的離心力為

式中，m_i為x_i處微元質(zhì)量，kg；y_i為x_i處微元偏心距，m。

3.5 橫向位移限制條件和碰撞力

針對桿管碰撞情況判斷：①桿管是否發(fā)生碰撞；②若發(fā)生碰撞，碰后桿柱的位移和速度如何求解。第一個問題的判定式為

式中，r₀為桿管半徑之差，m。

由式（9）得當(dāng)該條件成立時桿管發(fā)生碰撞，碰后桿柱位移和速度求解為

式中，y′_i為碰前桿柱在x_i處的橫向速度，m/s；′_i為碰后桿柱在x_i處的橫向恢復(fù)速度，m/s；γ_i為碰撞恢復(fù)系數(shù)，當(dāng)桿管均為鋼材料時取0.56^［14］。

由于碰撞過程時間短且難以確定碰撞力瞬時值，所以當(dāng)計算精度不高時，采用動量定理求解桿管碰撞平均力，采油桿柱和油管均為鋼材料，碰撞時間τ取為0.03^［15］。碰撞力的平均值求解為

式中，F(xiàn)_i為對應(yīng)x_i位置處碰撞力的平均值，N；S_i為對應(yīng)平均碰撞力F_i的沖量，N·s；τ為碰撞時間，s；

y′_t+τ為桿管碰撞前桿柱橫向速度，m/s； ′_t+τ為桿管碰撞后桿柱的橫向速度，m/s。

4 橫向振動方程數(shù)值求解

由于方程（5）為非線性振動微分方程，不能利用分離變量的方法求解，所以采用數(shù)值方法對桿柱橫向振動微分方程進行分析和求解。利用差分法對桿柱長度進行離散化，利用NewMark-β法對仿真時間進行離散化。將單級桿柱長度L分為N段，N+1個節(jié)點，編號為1，2，3，…，N+1，步長為h，時間步長為Δt。

采用中心差分法將桿柱橫向振動位移對x的一階、二階和四階導(dǎo)數(shù)進行表示；利用NewMark-β法對仿真時間進行離散，離散化方程^［16］為

式中，γ和β為控制NewMark-β法積分精度參數(shù)，當(dāng)兩者滿足γ≥0.5，β≥0.25（0.5+γ）²時，該方法無條件穩(wěn)定。取γ=0.5，β=0.25，此時該算法不僅仿真精度高且穩(wěn)定。

通過式（12）整理變形可得

式中，α₀、α₁、α₂、α₃、α₄和α₅都是由γ、β和Δt表示的中間量。

桿柱在t+Δt時刻的橫向振動方程為

式中，M、C和K分別為桿柱振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；R_t+Δt為桿柱振動系統(tǒng)在t+Δt時刻外部作用力矩陣。

將式（12）和（13）代入式（14）可得

式中，為有效剛度矩陣；_t+Δt為有效載荷矩陣，包含桿柱所受到的離心力和液體徑向力。

通過求解式（15）可以得到y(tǒng)_t+Δt，再結(jié)合式（13）可得_t+Δt和_t+Δt。

對方程（5）進行離散求解并結(jié)合式（9）和（10）可得到桿柱橫向振動的運動規(guī)律。

5 仿真工程實例

5.1 仿真參數(shù)

仿真參數(shù)：桿柱直徑為25 mm，桿柱長度L為1000 m；桿柱密度ρ為7800 kg/m³，桿柱彈性模量為209 GPa，桿管半徑差為18.5 mm，油管內(nèi)徑為62 mm，阻尼系數(shù)為0.2 N·s/m²，轉(zhuǎn)子偏心距為7.5 mm；采油桿柱轉(zhuǎn)速n為120 r/min。

5.2 桿管碰撞力結(jié)果

仿真了桿柱在有無徑向力作用下的橫向振動工況（圖7），由圖7（a）和（b）看出：勻速自轉(zhuǎn)工況下，由于橫向激勵的存在桿柱在有無徑向力作用時均會與油管發(fā)生碰撞，且圖（a）中整個桿管碰撞力明顯比圖（b）中碰撞力大。圖7（a）中沿井深0～1000 m（除去上下邊界）桿柱在較短的時間內(nèi)與油管發(fā)生碰撞，碰撞力最大值發(fā)生在桿柱底端和中部附近。由圖7（b）得知，無徑向力作用時在0～9 s內(nèi)桿柱在沿井深方向僅在靠近桿柱底端位置與油管發(fā)生碰撞，隨后桿管沿整個井深方向發(fā)生劇烈碰撞，且碰撞力的最大值位于桿柱頂端位置；隨后桿管碰撞力快速減小并最終在不同時刻桿管的碰撞力分布曲線形狀趨于一致，且最大值位于桿柱底端位置。因此液體徑向力對桿柱橫向振動影響較大，分析中不可忽略。

5.3 橫向振動規(guī)律

圖8和圖9為有無徑向力作用時桿柱在不同井深處橫向位移隨時間的變化曲線。對比圖8、9看出：相較于圖9，圖8中3個井深位置處采油桿柱橫向位移都在較短的時間內(nèi)達到限制位移，說明有徑向力作用時桿管更容易發(fā)生碰撞；從圖9看出在井深950 m處桿柱在初始時便開始發(fā)生劇烈振動，在另外兩個井深處初始時刻桿柱振動位移幅值相對較小，體現(xiàn)了桿柱底端行星運動對桿柱橫向振動的激勵作用。

圖10和圖11為有無徑向力作用時不同時刻整桿橫向位移隨井深的變化。對比圖10、11可知：現(xiàn)有徑向力作用的桿柱在油管中橫向運動時波動性更大，振動更加頻繁，運動軌跡也更加不規(guī)則，因此在這種工況下運行的桿柱對材料性能要求更高；從圖10看出隨時間變化桿柱的振動位移變化更加劇烈，也更加不穩(wěn)定，所以有必要在振動劇烈位置安裝扶正器。

6 結(jié) 論

（1）有徑向力作用時沿井深0～1000 m桿柱與油管首次發(fā)生碰撞的時間大大縮短，碰撞次數(shù)明顯增多，碰撞力也明顯增大。

（2）徑向力作用下桿柱隨時間變化橫向位移波動性更大，形狀更加不規(guī)則；且碰撞力在底端和中部附近位置較大，基于碰撞力分布規(guī)律可為扶正器的布置做出指導(dǎo)。

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（編輯 沈玉英）