黃湛勇,王 剛,安玉民

(1. 河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,天津 300401;2. 天津市新能源汽車動力傳動與安全技術(shù)重點實驗室,天津 300130;3. 國家技術(shù)創(chuàng)新方法與實施工具工程技術(shù)研究中心,天津 300401)

1 引言

電動汽車車內(nèi)電子設(shè)備眾多,使得電磁環(huán)境更為復(fù)雜。干擾電磁場不僅會使設(shè)備之間相互干涉產(chǎn)生故障,影響行車安全,還會對司乘人員的健康構(gòu)成威脅[1,2]。某電動汽車動力總成布置如圖1所示,動力電池組、電機(jī)控制器位于后方區(qū)域,驅(qū)動電機(jī)居于車身前端。在汽車行駛時,電池組將電能提供給電機(jī)控制器,再通過動力電纜向驅(qū)動電機(jī)供電。受車身尺寸限制,駕駛員距動力電纜線較近,極易受到電纜線低頻輻射電磁場的影響。

圖1 某電動汽車動力總成布置

精確高效地預(yù)測電動汽車車內(nèi)干擾電磁場的分布,是電磁屏蔽設(shè)計的關(guān)鍵。目前的預(yù)測方法主要可分為兩類,即實驗測量與數(shù)值仿真。在實驗測量方面,李志強等[3]采用手持式頻譜分析儀測量確定了電動客車電磁輻射超標(biāo)元器件。劉詳武[4]對車載中控控制模塊進(jìn)行輻射發(fā)射測試,并根據(jù)測試結(jié)果提出了屏蔽建議。黃青云[5]運用實驗測量的方式對某電動汽車驅(qū)動電機(jī)產(chǎn)生的電磁場分布進(jìn)行了探究。然而,在研究人體暴露于電纜線低頻電磁場問題時,實驗測量的方式雖容易測得電纜線周圍空間的電磁場強度,但受限于測量方式本身,難以測量人體上的感應(yīng)場。

數(shù)值仿真方法通過抽象物理建模,擺脫了對實驗設(shè)備及測量位置的限制,彌補了實驗方法的不足。常用的數(shù)值仿真方法包括有限元法、有限差分法(FTDT)、矩量法(MOM)等[6],這其中以有限元法的應(yīng)用最為廣泛。董旭偉等[7]應(yīng)用COMSOL有限元軟件分析了動力電纜線對不同乘坐位置兒童的輻射影響。杜明磊等[8]通過建立車身及動力線纜的電磁輻射模型,研究了線纜長度、端接電阻等因素對線纜輻射強度的影響。陳國強等[9]運用矩量法和傳輸線法對驅(qū)動電機(jī)母線的輻射電磁場分布規(guī)律進(jìn)行了探究。然而,應(yīng)用FEM對低頻電磁場人體暴露問題進(jìn)行研究時,仍存在一些不足之處。如采用六面體單元進(jìn)行離散可以提高FEM求解精度,但人體結(jié)構(gòu)復(fù)雜,六面體單元離散會增加網(wǎng)格劃分負(fù)擔(dān),況且車內(nèi)空氣域同樣需要進(jìn)行離散,每個單元都需要高階插值和多個積分點,導(dǎo)致計算量巨大。四面體單元可以提升網(wǎng)格劃分效率,降低模型邊界離散誤差,但四面體單元較低的插值階次限制了其求解精度。更重要的是,傳統(tǒng)有限元法由于本身系統(tǒng)剛度“過硬”的缺陷[6],使得其在電磁場數(shù)值計算中的求解精度并不高。

適當(dāng)“軟化”離散系統(tǒng)的剛度是提升電磁場數(shù)值仿真精度與效率的關(guān)鍵。受無網(wǎng)格法中應(yīng)變光滑思想的啟發(fā),Liu等提出了G空間與弱-弱形式(W2)的概念[10,11],并進(jìn)一步構(gòu)造了光滑有限元法的求解框架(smoothed finite element methods,S-FEM)[12,13]。其中,基于節(jié)點的光滑有限元模型(node-based smoothed finite element method,NS-FEM)通過“軟化”離散系統(tǒng)的剛度能夠給出真實解的“上界”[14],在固體力學(xué)問題分析中取得了很好的效果[15]。然而,NS-FEM在時間域內(nèi)是不穩(wěn)定的,這限制了其在電磁計算領(lǐng)域的應(yīng)用[16]。為克服該缺陷,Cui等通過泰勒展開補充穩(wěn)定項,進(jìn)而提出了穩(wěn)定節(jié)點積分算法(SNS-FEM)[17,18],在不顯著增加計算量的前提下提升了求解精度,有效地避免了NS-FEM的時域不穩(wěn)定性,并在聲學(xué)與靜力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[19,20]。

為提高電動汽車電纜線低頻電磁場預(yù)測的精度與效率,本文進(jìn)一步將梯度光滑操作[11](GST)與穩(wěn)定項增強引入到電纜線電磁輻射計算的控制方程中,構(gòu)建了電纜線對人體輻射的穩(wěn)定節(jié)點積分方法。對車身-電纜線-人體建立幾何建模,采用四面體單元進(jìn)行離散,在背景網(wǎng)格上構(gòu)造點光滑域,基于GST對電勢梯度與磁感應(yīng)強度進(jìn)行光滑處理,通過泰勒展開構(gòu)造積分增強項,依托光滑Galerkin弱形式獲得電磁系統(tǒng)離散方程?；谒鶚?gòu)造的方法預(yù)測了人體感應(yīng)電流密度分布,結(jié)果表明:SNS-FEM相比于FEM具有更高的預(yù)測精度和更快的求解效率。

2 交變電磁場基本理論

電動汽車動力電纜線通過低頻電流時會在周圍空間產(chǎn)生呈交流正弦變化的電磁場,并在人體中產(chǎn)生感應(yīng)電渦流,可用如下的麥克斯韋方程來表征

?×H=J

(1)

(2)

?·B=0

(3)

式中,H為磁場強度,E為電場強度,B為磁感應(yīng)強度,J為電流密度。

引入磁阻率ν,電導(dǎo)率σ,矢量磁位A,標(biāo)量電位φ,穩(wěn)態(tài)電渦流問題控制方程可寫為

(4)

(5)

對于本文考慮的電渦流問題,邊界條件分為三類,即Γ=Γ1∪Γ2∪Γ3。其中,Γ1為狄利克雷邊界條件,Γ2為紐曼邊界條件,Γ3為磁導(dǎo)體邊界條件,相關(guān)約束形式如下

3 電磁場穩(wěn)定節(jié)點積分算法

3.1 光滑域構(gòu)造與梯度光滑操作

(7)

(8)

在進(jìn)行梯度光滑操作之前,需要基于背景網(wǎng)格進(jìn)一步構(gòu)造光滑域。如圖2所示,圍繞節(jié)點k所形成的光滑域可通過順次連接四面體單元的中心、表面三角形的形心、網(wǎng)格邊中點來構(gòu)建。整個問題域?qū)⒒诠?jié)點形成Nn個光滑域,不同光滑域之間滿足Ω=Ω1∪Ω2∪…∪ΩNn,Ωi∪Ωj=?,(i≠j,i=1,2,3…,Nn,j=1,2,3…,Nn)。在光滑域內(nèi),依托梯度光滑技術(shù)[11]對磁感應(yīng)強度與電勢的梯度進(jìn)行光滑處理

圖2 基于節(jié)點k的光滑域

(9)

(10)

(11)

將式(7)、(8)、(11)代入(9)、(10)中,可得如下形式的光滑梯度項

(12)

(13)

(14)

基于光滑Galerkin弱形式[11],穩(wěn)態(tài)電渦流問題控制方程可描述為

(15)

經(jīng)整理可得如下矩陣形式

(16)

(17)

上述方式構(gòu)建的電渦流方程在空間域是穩(wěn)定的而在時間域內(nèi)是不穩(wěn)定的,因此不能直接用于電磁問題地求解。

3.2 近似光滑域及穩(wěn)定項構(gòu)造

圖3 近似光滑域的構(gòu)造

(18)

(19)

基于式(18)、(19),圖3虛擬積分點1、2處場函數(shù)梯度值分別為

(20)

(21)

(22)

(23)

4 算例分析

依托上述理論,基于Fortran語言開發(fā)了低頻電磁場問題求解的SNS-FEM源程序代碼。通過如下兩個電纜線低頻電磁場數(shù)值算例來驗證所構(gòu)造方法在精度、收斂性等方面的優(yōu)勢。

4.1 電纜線低頻電磁場輻射問題

考慮圖4所示的電纜線輻射模型,長方體空氣域內(nèi)穿過一段電纜線,旁邊放置一矩形體,為便于描述說明,在矩形體上定義P點,路徑a與路徑b。

圖4 電纜線輻射模型

采用4節(jié)點四面體單元對問題域進(jìn)行離散,單元總數(shù)為227234,節(jié)點總數(shù)為37045?？紤]到此問題無解析解,這里采用COMSOL軟件中節(jié)點間距極小的有限元解作為參考解(1032645個四面體單元,168620個節(jié)點)。

圖5(a)和(b)分別給出了FEM和SNS-FEM計算得到的矩形體側(cè)面與底面的感應(yīng)電流密度分布,圖5(c)為參考解?？梢钥闯?①對于底面感應(yīng)電流密度的分布,兩種方法所得結(jié)果均接近參考解。但在中線附近,FEM由于系統(tǒng)剛度“過硬”的缺陷,所得結(jié)果與參考解仍存在細(xì)微偏差;②對于側(cè)面的感應(yīng)電流密度分布特別是在靠近電纜線的區(qū)域,FEM數(shù)值解與參考解存在較大程度的偏差,反觀SNS-FEM,由于進(jìn)行了梯度光滑操作和剛度修正,使其在整個區(qū)域上與參考解基本保持一致。上述結(jié)果反映了SNS-FEM求解電磁場時精度方面的優(yōu)勢,同時也驗證了所構(gòu)造方法的正確性。

圖5 矩形體感應(yīng)電流密度分布

為定量說明所提方法計算誤差,圖6、圖7分別給出了兩種方法在路徑a與路徑b上計算的感應(yīng)電流密度分布?？梢园l(fā)現(xiàn):①在靠近電纜線的位置,FEM得到了偏小的感應(yīng)電流密度值,與參考解差別較大。如在a上z=0.1m處,與參考解存在近10%的偏差;②SNS-FEM可以提供與參考解十分一致的數(shù)值結(jié)果,吻合程度高。

圖6 路徑a上感應(yīng)電流密度值

圖7 路徑b上感應(yīng)電流密度值

為進(jìn)一步驗證SNS-FEM的高效性,取圖4的P點(x=1.3m)的感應(yīng)電流密度進(jìn)行說明。采用不同尺寸的網(wǎng)格對問題域離散,并引入相對誤差Er對計算結(jié)果進(jìn)行度量。圖8給出了FEM與SNS-FEM兩種方法的收斂特性比較,可以看出:①就收斂速度而言,SNS-FEM收斂速度優(yōu)于FEM;②在相同精度下SNS-FEM所需的自由度更少,如Er=4%時,SNS-FEM所需的自由度僅為FEM的60%。上述分析表明SNS-FEM能有效減少前期網(wǎng)格劃分負(fù)擔(dān),提升建模效率。

圖8 兩種方法收斂特性比較

4.2 電纜線低頻電磁場對真實人體輻射問題

為進(jìn)一步探究SNS-FEM處理電動汽車電磁場實際問題的能力,本節(jié)構(gòu)造了真實人體暴露于電纜線低頻電磁場的數(shù)值模型。如圖9所示,按照國際通用1.75m成年人身高比例建立人體模型,并選用人體駕駛姿態(tài)。過于復(fù)雜的車體外殼會對建模效率產(chǎn)生不利影響,因此這里對實際模型進(jìn)行了一定程度的簡化,僅留下電動汽車司乘艙、貫穿車體的動力電纜線,同時保留前擋風(fēng)玻璃車窗等幾何特征。

圖9 電纜線對真實人體電磁輻射模型

將圖9問題域離散成391800個4節(jié)點四面體單元,節(jié)點總數(shù)為63106?？紤]到此問題無解析解,同樣,在COMSOL軟件中采用節(jié)點間距極小的有限元解作為參考解(770605個四面體單元,128168個節(jié)點)。

圖10(a)和(b)分別給出了FEM和SNS-FEM計算得到的人體軀干表面感應(yīng)電流密度分布,圖10(c)為參考解。為便于說明,這里取腳踝處的感應(yīng)電流密度分布進(jìn)行放大。對比可發(fā)現(xiàn):①FEM在右腿腳踝處得到的感應(yīng)電流密度分布與參考解存在較大偏差,幾乎完全偏離了參考解;FEM在左腿腳踝的所得結(jié)果與參考解也存在較大出入,由此可見FEM對于復(fù)雜模型適用性較差;②SNS-FEM得到的數(shù)值結(jié)果精度較好,無論在左腿或右腿處均能獲得與參考解較為一致的感應(yīng)電流密度分布。這是由于梯度光滑技術(shù)與穩(wěn)定項修正對系統(tǒng)剛度進(jìn)行了適當(dāng)?shù)摹败浕?從而降低數(shù)值模型的離散誤差,帶來計算精度的大幅提高。

為定量分析兩種方法在求解復(fù)雜低頻電磁場時的誤差情況,在人體靠近電纜側(cè)的左腿上定義路徑1與路徑2,位置如圖11所示。圖12和圖13分別給出了不同數(shù)值方法計算得到的路徑1和路徑2上的感應(yīng)電流密度分布?？梢钥闯?①FEM計算結(jié)果在峰值處普遍偏小,在兩條路徑上與參考解均存在偏離,特別是在路徑2上z=0.11～0.15(m)區(qū)域,其結(jié)果與參考解偏離程度較大;②SNS-FEM在路徑1上的數(shù)值解與參考解高度吻合。路徑2上,SNS-FEM雖然在z=0.11～0.15(m)區(qū)域與參考解存在稍許偏離,但其結(jié)果依然優(yōu)于FEM。除此之外,在其余區(qū)域上SNS-FEM均能給出與參考解非常一致的結(jié)果。由此可以認(rèn)為,相比FEM,SNS-FEM更加適用于電動汽車電磁場問題的數(shù)值計算。

圖11 路徑1、路徑2位置

圖12 路徑1上感應(yīng)電流密度值

圖13 路徑2上感應(yīng)電流密度值

5 結(jié)論

針對FEM分析電動汽車電纜線低頻電磁場時存在的計算精度低、效率差等數(shù)值缺陷,構(gòu)造了電纜線低頻電磁場仿真的SNS-FEM數(shù)值模型,理論分析與數(shù)值算例表明:

1)SNS-FEM可以用常規(guī)4節(jié)點四面體單元對問題域進(jìn)行離散,有效突破低階四面體單元對FEM求解精度的限制,減輕了前期網(wǎng)格劃分負(fù)擔(dān),提升了建模效率。

2)SNS-FEM由于在FEM中引入梯度光滑操作與穩(wěn)定項增強,使得在預(yù)測感應(yīng)場時,峰值處精度比FEM提升10%,達(dá)到相同精度所需自由度約為FEM的60%,不用過多加密網(wǎng)格也可獲得十分精準(zhǔn)的結(jié)果。

3)SNS-FEM對具有復(fù)雜幾何形狀的電磁場工程問題仍然可以提供非常精確的數(shù)值解,表明SNS-FEM在實際工程應(yīng)用中具有較大潛力。