趙前進(jìn),許雨靜

(安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

有理插值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,重心有理插值可以應(yīng)用于Volterra積分方程[1-2]、微分方程[3]以及天文中的星狀域等,Hermite插值也是有理插值中的研究熱門之一[4-5]。

連分式插值作為有理插值的一個重要分支,多年來,被國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究。

一方面,對于連分式理論的研究已經(jīng)取得顯著進(jìn)展,文獻(xiàn)[6]發(fā)表了關(guān)于連分式的理論及其應(yīng)用的主要成果,文獻(xiàn)[7-8]對插值函數(shù)的收斂性及其性質(zhì)作了深入的研究。另一方面,關(guān)于Thiele型連分式插值的研究成果,也成為有理插值中的一個重大進(jìn)步。一元連分式插值的研究相對成熟后,學(xué)者們將目光從一元的有理插值,推廣到二元和三元的有理插值層面。帶有兩個變量的分叉連分式插值問題最早是由文獻(xiàn)[9]提出的,文獻(xiàn)[10]也作了該方面的研究工作。文獻(xiàn)[11]發(fā)表了Newton-Thiele 型有理混合插值。文獻(xiàn)[12-13]利用分塊的思想,將每個區(qū)間進(jìn)行分塊,得到Thiele-like、Newton-like型塊狀有理混合插值函數(shù)。而后又涌現(xiàn)出大量的基于矩形網(wǎng)格、三角網(wǎng)格上的二元混合有理插值函數(shù)的算法。

在三維層面,關(guān)于矩形網(wǎng)格上的有理插值文獻(xiàn)比較豐富,而對于金字塔格式插值的研究卻甚少。金字塔格式在社會生活中有著廣泛的用途,比如經(jīng)濟(jì)、計算機(jī)應(yīng)用、生物醫(yī)學(xué)等方面。文獻(xiàn)[14]首次對塔形網(wǎng)格上的連分式插值進(jìn)行了研究,本文將針對該文獻(xiàn)在計算方面產(chǎn)生困難的問題,將插值格式進(jìn)行改變;同時,將插值函數(shù)由原來的連分式插值替換成Newton多項式插值與Thiele 型分叉連分式相結(jié)合的混合有理插值,以便能得到新的塔型混合有理插值算法。

無限分叉型連分式[9]如下

(1)

對于式(1)所給出的無限分叉連分式,其有限分叉連分式的形式如下:

(2)

(3)

其中,[(n-1)/2]為不超過n/2的正整數(shù)。

1 混合有理插值

在這一節(jié)中,將Newton多項式和Thiele型分叉連分式以有限分叉連分式的形式結(jié)合,在塔形網(wǎng)格上得到一種混合有理插值函數(shù),并且通過遞推算法,證明其有效性。

(4)

(5)

當(dāng)j,k=0,1,…,2(n-i)時,bi,j(z),ci,k(y)分別為:

(6)

(7)

以上式(4)～(7)為所構(gòu)造的函數(shù),給出該函數(shù)上的定義后,再證明算法的有效性。

φ[xi,yj,zk]=f(xi,yj,zk)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

定理1對于i=0,1,…,n;j,k=0,1,…,2(n-i);令:

(16)

(17)

若定義1中的所有偏差商和混合偏逆差商均存在,則式(4)～(7)中給出的混合有理插值將滿足

Rn(xi,yj,zk)=f(xi,yj,zk)

證明容易看出bi,j(z),ci,k(y)分別為關(guān)于z,y的Thiele型連分式,因此,不難證明bi,j(zk)=φb[x0,…,xi;y0,…,yj;zk],ci,k(yj)=φc[x0,…,xi;z0,…,zk;yj]。

當(dāng)i=0,1,…,n時,有

φb[x0,…,xi;yj;zk]+φc[x0,…,xi;zk;yj]=

φ[x0,…,xi;yj;zk]

Rn(xi,yj,zk)=φ[x0;yj;zk]+(xi-x0)φ[x0,x1;yj;zk]+…+(xi-x0)…(xi-xi-2)(xi-xi-1)φ[x0,…,xi;yj;zk]=…=φ[x0;yj;zk]+(xi-x0)φ[x0,xi;yj;zk]=φ[xi;yj;zk]

定理1得證。

以上給出了混合有理插值函數(shù),并且證明了其可行性后,下面來看它的特征性定理。

2 特征定理

為了得出該混合有理插值函數(shù)的特征定理,先給出以下引理。

引理1若i=0,1,…,n;j,k=0,1,…,2(n-i),則由式(6)～(7)中所定義的bi,j(z)和ci,k(y),則有:

degzbi,j(z)=(n-i)/(n-i)

(18)

degyci,k(y)=(n-i)/(n-i)

(19)

其中,degzbi,j(z),degyci,k(y)分別表示bi,j(z),ci,k(y)關(guān)于z,y的次數(shù)。

證明令n=2(n-i),則容易得到bi,j(z)的次數(shù)為[(2(n-i)+1)/2]/[2(n-i)/2],既是(n-i)/(n-i),同樣可證ci,k(y)的次數(shù)。

2(n-i)(n-i+1)

(20)

2(n-i)(n-i+1)

(21)

證明證明方法同文獻(xiàn)[14]的引理4.5,令n=n-1。

degxPn(x,y,z)=n,degxQn(x,y,z)=0

(22)

degyPn(x,y,z)=degyQn(x,y,z)=2n(n+1)(n+2)/3

(23)

degzPn(x,y,z)=degzQn(x,y,z)=2n(n+1)(n+2)/3

(24)

證明由(4)式易得式(22),由于

將引理2中式(20)的次數(shù)代入Rn(x,y,z),各項次數(shù)累次相加,得到

同理計算degzPn(x,y,z)=degzQn(x,y,z)=

2n(n+1)(n+2)/3。

3 誤差估計

為了得到有理插值函數(shù)的誤差估計,將給出以下定義以及一些引理。

定義2對于i=0,1,…,n,令

(25)

其中,當(dāng)j=0,1,…,2(n-i),有

(26)

定義3對于i=0,1,…,n,令

(27)

其中,當(dāng)j=0,1,…,2(n-i),可得

(28)

(29)

(30)

其中,

φb[x0,…,xi;y0,…,yj;z0,…,z2(n-i),z]=

φc[x0,…,xi;z0,…,zk;y0,…,yj,y]=

則i=0,1,…,n時,有:

(31)

(32)

(33)

(34)

證明證明過程同定理1的證明過程類似。

f(x,y,z)-Rn(x,y,z)=

(35)

式中,ηi是包含x0,…,xi區(qū)間I[x0,…,xi]的最小數(shù);ξi,τi為包含y0,…,y2(n-i)區(qū)間I[y0,…,y2(n-i)]的最小數(shù);z0,…,z2(n-i)是包含z0,…,z2(n-i)區(qū)間I[z0,…,z2(n-i)]的最小數(shù)。

其中,i=0,1,…,n;j,k=0,1,…,2(n-i),則有

(36)

證明對于?z∈{z0,z1,…,z2(n-i)}

利用Newton展開式對f(x,y,z)展開

由此

f(x,y,z)-Rn(x,y,z)=

(a)n=1 (b)n=2

定理得證。

4 數(shù)值舉例

當(dāng)i=0時,初始值f(xi,yj,zk)如表1所示;

表1 初始表

對于j,k=0,1,2,由式(6)和式(7)可得:

b1,0(z)+c1,0(y)

由定義1及式(4)～(7)式計算可得到各項系數(shù),表2為保留小數(shù)點后4位的插值系數(shù),表3為保留小數(shù)點后5位的插值系數(shù)。

表2 c0,j(y),b0,j(z)系數(shù)表

表3 c0,j(y),b0,j(z)系數(shù)表

不妨令f1,4(x,y,z)、f1,5(x,y,z)分別為表1保留4位小數(shù)和5位小數(shù)的被插值函數(shù),例如f1,4(x0,y1,z1)=0.6667,f1,5(x0,y1,z1)=0.66667。令R1,4(x,y,z),R1,5(x,y,z)分別為保留4位小數(shù)與5位小數(shù)的混合有理插值函數(shù)。而r1,4(x,y,z),r1,5(x,y,z)為混合有理插值與被插值點的絕對誤差,分別保留4位、5位小數(shù)。即

r1,4(x,y,z)=|R1,4(x,y,z)-f(x,y,z)|;

r1,5(x,y,z)=|R1,5(x,y,z)-f(x,y,z)|.

從表4可以看出,當(dāng)系數(shù)保留小數(shù)點后4位時,其精確度能達(dá)到小數(shù)點后兩位。當(dāng)系數(shù)保留小數(shù)點后5位時,精確度能達(dá)到小數(shù)點的后3位。保留小數(shù)點的位數(shù)越多,其精確度也越高。

表4 例5.1誤差表

表5 f(x,y,z)初始表

表6 c0,j(y),b0,j(z)系數(shù)表

當(dāng)i=0時,初始值如表5所示;

不妨設(shè)r(x,y,z)為R1(x,y,z)與被插值函數(shù)f(x,y,z)的絕對誤差,即r(x,y,z)=|R1(x,y,z)-f(x,y,z)|。

對于表7,在區(qū)間G=[0,1]×[0,1]×[0,1]上任意取20組隨機(jī)數(shù)據(jù)(xi,yj,zk)∈G,由此得到了r(xi,yj,zk)=|R1(xi,yj,zk)-f(xi,yj,zk)|,可以看出,在插值點個數(shù)為10、保留小數(shù)在萬分位的情況下,其能達(dá)到較小的絕對誤差。

表7 誤差值

固定x的取值,分別取xi=0.02,0.04,0.06,0.08時,在區(qū)間[0.2,0.7]×[0.2,0.7]上,yj,zk以0.01的等步長取值,計算得到r(xi,yj,zk);于是做出關(guān)于(yj,zk,r(xi,yj,zk))的三維圖(見圖2),可以清楚地看到,將x固定、取以上數(shù)時,插值函數(shù)R(x,y,z)與被插值函數(shù)f(x,y,z)=(x2+y2+z2)e-(x+y+z)的誤差均0.1以下,精確度較好。

(a)x=0.02 (b)x=0.04

5 結(jié)語

本文對已有塔型有理插值文獻(xiàn)的插值格式進(jìn)行改進(jìn),提出了一種基于新型塔形網(wǎng)格上的混合有理插值算法?；旌嫌欣聿逯敌滤惴ǖ奶岢鰹樗途W(wǎng)格上的插值提供了新的路徑,從實驗結(jié)果可以看出,插值效果較好;且與之前的文獻(xiàn)相比,無需在定義中定義初始點的值,在計算方面得到了優(yōu)化。然而,由于插值格式的不同,無法進(jìn)行實驗比較。在計算過程中可能會出現(xiàn)極點的情況,導(dǎo)致算法的不可用性,因此,后期可針對能否處理極點和不可達(dá)點出現(xiàn)的情況作進(jìn)一步研究。