李曉英,李云召,邵睿智,徐 寧

(西安交通大學 能源與動力工程學院,陜西 西安 710049)

電子輸運過程在電子元件對輻射環(huán)境的響應、醫(yī)療輻射治療、食品殺菌等領域應用廣泛。目前,功能強大的蒙特卡羅程序,如MCNP[1]、Geant4[2]等,已經(jīng)能準確模擬許多場景中的電子輸運過程。但是,由于電子輸運過程中的短平均自由程和高度前向峰等特點,蒙特卡羅方法計算效率比較低、計算成本非常大。相比之下,在解決分布式計算、深穿透過程模擬和低概率事件概率估計上,確定論計算方法的優(yōu)勢更加明顯[3]。

已有研究表明,電子輸運的確定論方法可有效代替蒙特卡羅方法[4]。由桑迪亞國家實驗室Lorence等[5]開發(fā)的截面生成程序CEPXS可生成用于電子-光子耦合輸運計算所需的多群勒讓德截面,基于這些截面,可直接利用一維確定論粒子輸運計算程序ONEDANT[6]進行電子-光子的耦合輸運計算。CEPXS/ONELD[7]程序包已達到了很高的復雜精度,并已廣泛用于一維幾何的問題。研究人員在CEPXS的基礎上后續(xù)開發(fā)了截面生成程序CEPXS-BFP[8],適用于使用離散縱標法的確定論電子輸運程序,用于求解Boltzmann-Fokker-Planck(BFP)[9-10]形式的電子輸運方程。確定論柵格計算程序DRAGON-5.0.8也增加了電子輸運計算功能,基于CEPXS-BFP生成的FMAC-M格式電子庫,利用高階菱形差分法求解一維、二維[11]、三維[12]笛卡爾幾何下的電子輸運問題,Hébert等還在NJOY12[13]中開發(fā)了與DRAGON-5.0.8中電子輸運計算相匹配的ELECTR[14-15]模塊。

考慮到電子輸運過程的蒙特卡羅模擬方法計算效率低,確定論方法的研發(fā)尚未成熟,本文在已知電子發(fā)射源分布的條件下,基于Boltzmann方程,設計一套針對EPICS2017中的電子截面數(shù)據(jù)(EEDL)[16]的多群電子截面庫處理流程,以NECP-Atlas[17]程序的多群光子截面數(shù)據(jù)庫處理模塊為平臺基礎,對電子反應多群總截面和散射矩陣進行加工,直接利用壓水堆堆芯分析軟件NECP-Bamboo的柵格計算程序Bamboo-Lattice[18]中基于特征線方法的中子輸運計算核心,構建確定論電子輸運計算程序。

1 理論模型

1.1 電子輸運方程

穩(wěn)態(tài)線性Boltzmann輸運方程可以描述中子、光子、電子等粒子在介質(zhì)中的輸運過程。由于電子輸運過程和中子輸運過程在輸運方程形式上的一致性,Bamboo-Lattice中的中子輸運計算核心可以在不改變計算模型的基礎上直接用于電子輸運過程的計算,只是需要為其提供多群電子截面數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)。對于不同類型的粒子,Boltzmann輸運方程碰撞項的具體形式有所不同,它敏感地依賴于粒子的類型以及粒子與介質(zhì)原子相互作用的微觀機制與特點。針對電子輸運過程,散射產(chǎn)生項主要考慮電離、激發(fā)、軔致輻射、彈性散射等的影響,相應的多群形式Boltzmann方程如下:

(1)

(2)

1.2 電子截面數(shù)據(jù)庫

電子-光子相互作用截面(EPICS)是ENDF/B[19]系統(tǒng)的一部分,用于補充ENDF/B的中子數(shù)據(jù),開展工程應用中的耦合計算。EEDL是其中以ENDF-6格式存儲的電子截面數(shù)據(jù),具體內(nèi)容列于表1,可以作為計算所需的核數(shù)據(jù)。表1中MF為數(shù)據(jù)類型標號,MT為反應道類型標號。

表1 EEDL中的數(shù)據(jù)列表

1.3 多群電子截面數(shù)據(jù)處理

NECP-Atlas是由西安交通大學核工程計算物理實驗室(NECP)自主研發(fā)的多功能核數(shù)據(jù)處理程序,可將評價核數(shù)據(jù)庫轉化為多種形式的核數(shù)據(jù)庫,為中子-光子耦合輸運、燃耗計算、輻照損傷計算、屏蔽計算、釋熱計算以及不確定度量化等分析提供高精度的基礎數(shù)據(jù)[20]。本文基于NECP-Atlas程序,處理EEDL[21],生成電子多群總截面和散射矩陣。

多群電子反應總截面的表達式為:

(3)

式中:σ501,g為MT501的第g群微觀截面;σ501(E)為MT501中能量E下的微觀點截面;φ0(E)為0階典型電子權重譜。

電子的彈性散射不向外輻射能量,只改變其運動方向,可由EEDL中的525反應道獲得饋送函數(shù)如下:

f525,l(E→g′)=

(4)

式中:f525,l(E→g′)為大角度彈性散射的饋送函數(shù);Pn(μLAB)為勒讓德多項式;f525(E,μLAB)為電子與原子發(fā)生大角度彈性散射后的實驗室坐標系下的角度分布,在26/525中給出;μLAB為實驗室坐標系下的散射余弦。

激發(fā)和軔致輻射的處理類似,假定自由電子與介質(zhì)原子發(fā)生激發(fā)或軔致輻射后仍沿著原來的運動方向前進,則饋送函數(shù)形式如下:

(5)

式中:fx(E→E′)為x反應道中入射能量為E的自由電子與介質(zhì)原子反應后能量變?yōu)镋′的概率分布;ΔE為反應后的電子能損,其分布在MF26中給出;反應道x的取值為527或528。

入射能量為E的快電子與原子核外電子發(fā)生非彈性碰撞,使核外電子擺脫束縛能Ei成為自由電子的過程被稱為電離。假定自由電子和反沖電子都沿入射電子原來的運動方向繼續(xù)前進,且入射電子的能量不會轉移給剩余原子。一般認為電離后能量較大的電子((E-Ei)/2

(6)

式中:i為電離殼層的索引;Er為反沖電子的能量;Eg′與Eg′+1為g′能群的上下限;fi(E→Er)為電子與介質(zhì)原子的第i層亞殼層發(fā)生反應后的反沖電子能量分布,在26/534～26/572中依次給出。

由饋送函數(shù)fx,l(E→g′),可進一步求得多群電子散射矩陣:

(7)

式中:σx,l,g→g′為x反應道第g群到第g′群的l階多群轉移矩陣;φl(E)為入射能量為E的l階注量率;σx(E)為x反應道下入射能量為E時的微觀截面。

2 數(shù)值結果

本文通過對單核素均勻問題、化合物均勻問題、化合物非均勻問題等算例的計算,使用蒙特卡羅程序對該確定論程序進行驗證,代表性算例問題的幾何均如圖1所示。所采用的源均勻分布在半徑0.235 6 cm的圓域內(nèi),能量分布在0.001～10 MeV,共分為60個能群,能群的數(shù)據(jù)結構如圖2所示,在低能區(qū)域時分布較多,在高能區(qū)域時較少。本文的電子源項是通過蒙特卡羅程序計算AP1000堆芯中D類組件[22]內(nèi)SPND發(fā)射體處產(chǎn)生的電子源項。在確定論程序Bamboo-Lattice計算過程中,特征線條數(shù)設置為50,收斂準則設置為10-4。

圖1 代表性算例問題的幾何

圖2 源項能群的數(shù)據(jù)結構

2.1 單核素均勻問題

所有單核素均勻問題中,核素的核數(shù)密度均為4.293 54×10-2barn-1·cm-1,只統(tǒng)計圓域內(nèi)的通量分布,計算的歸一化通量分布曲線及其與蒙特卡羅程序的對比如圖3所示。計算各類單核素均勻問題時,Bamboo-Lattice程序和蒙特卡羅程序所需時間列于表2。由圖3和表2結果可知,H、B、O、Al、S、Cl的Bamboo-Lattice結果與蒙特卡羅程序結果符合得較好,但Bamboo-Lattice的計算耗時明顯比蒙特卡羅程序計算耗時少,計算效率可提高83～571倍。

a——H;b——B;c——O;d——Al;e——S;f——Cl

表2 單核素均勻問題計算時長

2.2 化合物均勻問題

化合物均勻問題計算了Al2O3與含硼水兩類,其中Al2O3中O、Al元素的核數(shù)密度分別為3.396 898×10-2和2.264 599×10-2barn-1·cm-1,含硼水中H、O、B 3種元素的核數(shù)密度分別為4.624 176×10-2、2.315 550×10-2、2.307 683×10-5barn-1·cm-1。該類問題只統(tǒng)計了圓域內(nèi)的通量分布,歸一化通量分布如圖4所示。計算化合物均勻問題的時長比較列于表3。可以看出,化合物均勻問題中Al2O3和含硼水的Bamboo-Lattice結果與蒙特卡羅程序結果符合得較好,但計算效率提高了82～109倍。

a——Al2O3;b——含硼水

表3 化合物均勻問題計算時長

2.3 化合物非均勻問題

化合物非均勻問題為1個兩層結構柵元問題,內(nèi)層為Al2O3,外層為含硼水,材料的元素構成列于表4。該問題的歸一化通量譜對比如圖5所示,計算時長列于表5。可以看出,僅由較小核素構成的Al2O3層和含硼水層的Bamboo-Lattice結果與蒙特卡羅程序結果的趨勢相一致,且在計算時長上效率提高約169倍。

a——Al2O3層;b——含硼水層

表4 非均勻問題構成元素及密度

表5 化合物非均勻問題計算時長

3 結論與展望

本文基于核數(shù)據(jù)處理程序NECP-Atlas將EEDL中連續(xù)能量的電子截面數(shù)據(jù)加工為多群形式,利用柵格計算程序Bamboo-Lattice中的中子輸運計算核心進行電子輸運計算。對單核素均勻問題、化合物均勻問題和化合物非均勻問題進行計算,并與蒙特卡羅程序計算結果進行對比驗證。結果表明,該確定論程序可正確模擬電子輸運過程,且計算效率比蒙特卡羅程序快80倍以上。后續(xù)研究將利用該確定論電子輸運計算軟件計算實際壓水堆中自給能中子探測器(SPND)的響應電流,用以替換現(xiàn)有的蒙特卡羅程序[23]。