黃文芳

［摘 要］文章著重分析高考數(shù)學(xué)“比較大小”的真題和模擬題的考查形式和命題理念。通過試題研究發(fā)現(xiàn)，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)為出發(fā)點和歸宿，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］深度學(xué)習(xí)；高三數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)教學(xué)；比較大小

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0008-05

一、研究背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2022年修訂）》中的“基本理念”強調(diào)：優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容；把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)。深度學(xué)習(xí)是素質(zhì)教育背景下轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)淺層化和表面化的需要，同時也是提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的必要路徑。近幾年來，高考對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提出了更高的要求，最直接的表現(xiàn)就是試題難度加大，更加注重考查學(xué)生的解決問題的能力。通過分析近十年全國高考數(shù)學(xué)“比較大小”的真題和模擬題的考查形式和命題理念發(fā)現(xiàn)，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)為出發(fā)點和歸宿，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。表1所示是2012—2022年高考數(shù)學(xué)真題中的“比較大小”方法匯總。

通過表1，我們發(fā)現(xiàn)“比較大小”問題幾乎年年出現(xiàn)在高考選擇題中，近幾年有偏向壓軸題的趨勢。在高考模擬卷和高考卷中，此類問題的“精度”要求變得越來越高，意味著難度也越來越大。有些問題需借助泰勒展開式來處理，這無形之中增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

筆者以近十年全國各地高考數(shù)學(xué)“比較大小”真題和各地模擬題為研究藍(lán)本，分析了相應(yīng)的高考考查形式和命題理念，并以此優(yōu)化復(fù)習(xí)教學(xué)，收到了良好的效果。

二、教學(xué)案例

（一）利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小類問題是最基礎(chǔ)的“比較大小”題型，它適用于同類型函數(shù)比較大小，即指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)通過討論指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)是大于1或者是小于1，利用單調(diào)性比較大小，而冪函數(shù)則通過冪指數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)值的大小。它們涉及底數(shù)、冪、真數(shù)，如果三者之一都不同，需要進(jìn)行換底、換冪和換真數(shù)。

1.辨清指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，提高分辨能力

［例1］設(shè)[a=0.60.6]，[b=0.61.5]，[c=1.50.6]，則[a]、[b]、[c]的大小關(guān)系是 ? ? ? ? ? ? 。

分析：本題中[a]和[b]同底，[a]和[c]同冪，因此可以按照同底和同冪的性質(zhì)分別比較大小，利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小。

解：先比較[a]和[b]，由于[y=0.6x]是減函數(shù)，因此[0.60.6>0.61.5]，從而[a>b]；再比較[a]和[c]，由于[y=x0.6]是增函數(shù)，因此[0.60.6<1.50.6]，從而[a

歸納：遇到同底或同冪類型的大小比較，要先分清是指數(shù)函數(shù)還是冪函數(shù)，然后再利用單調(diào)性進(jìn)行大小比較。

2.靈活處理細(xì)節(jié)，提高解題能力

［例2］（1）比較[a]、[b]、[c]的大?。篬a=log1312]，[b=log1323]，[c=log343]。

（2）比較[a]、[b]、[c]的大?。篬a=log36]，[b=log1516]，[c=log46]。

（3）比較[a]、[b]、[c]的大?。篬a=40.9]，[b=80.48]，[c=12-1.5]。

分析：指數(shù)、對數(shù)大小比較，先研究底數(shù)，若同底，則直接利用它們的單調(diào)性比較；若不同底，先用換底公式換成同底，再結(jié)合單調(diào)性比較。但對數(shù)還有一種情形，就是底數(shù)不同，但真數(shù)相同，這便再分真數(shù)大于1和真數(shù)小于1的情況得到結(jié)果。

解：（1）首先比較[a]和[b]，由于[y=log13x]是減函數(shù)，因此[log1312>log1323]，從而[a>b]；再比較[a]和[c]，由于[y=log3x]是增函數(shù)，因此借助換底公式得[log1312=log32>log343]，從而[a>c]；然后比較[b]和[c]，借助換底公式得[log1323=log332>log343]，從而[b>c]；最后得到[c

（2）[a]和[c]的真數(shù)相同，[b]的真數(shù)[16]與6有關(guān)系，通過對數(shù)的換底公式得[b=log1516=log56]，從而[a，b，c]真數(shù)均相同；根據(jù)真數(shù)6大于1，底數(shù)[3<4<5]，底數(shù)越小，函數(shù)值越大，從而有[a>c>b]。

（3）底數(shù)不同，可以換底，采用[axy=（ax）y=（ay）x]，可得[a=（2）20.9=22×0.9=21.8]，[b=（2）30.48=23×0.48=21.44]，[c=（2）-1-1.5=2（-1）×（-1.5）=21.5]，進(jìn)而利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得[a>c>b]。

歸納：如果底數(shù)不同，可借助換底公式然后利用單調(diào)性比較大小。常用的換底公式為[logambn=nmlogab]，[axy=（ax）y=（ay）x]。底數(shù)不同，真數(shù)相同，真數(shù)大于1，底數(shù)越小，函數(shù)值越大；真數(shù)大于0且小于1，底數(shù)越小，函數(shù)值越小。

3.挖掘深意，提高思維能力

［例3］設(shè)[a=log23]，[b=log46]，[c=log69]，則（）。

A. [c>b>a]B. [b>c>a]

C. [a>c>b] D. [a>b>c]

分析：對數(shù)大小比較，先觀察底數(shù)和真數(shù)，如果它們均不同，但是底數(shù)和真數(shù)之間存在相同的比例關(guān)系，則可以采用“換真數(shù)”的方法進(jìn)行判斷。

解：[32=64=96]，當(dāng)真數(shù)與底數(shù)都不相同，但是真數(shù)與底數(shù)的比例相同時，可以用“換真數(shù)”的方法（用底數(shù)表示真數(shù)）：[logaxy=logax+logay]，從而[a=log22×32=log22+log232=1+log232]，[b=log44×64=log44+log464=1+log432]，[c=log66×96=log66+log696=1+log632 ]，最終比較[log232]、[log432]、[log632]三個數(shù)的大小。由于真數(shù)相同，底數(shù)不同，根據(jù)對數(shù)的圖象和單調(diào)性，以及“真數(shù)相同時當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時，底數(shù)越小，函數(shù)值越大”，可得出[a>b>c]。

歸納：當(dāng)真數(shù)與底數(shù)都不相同，但是真數(shù)與底數(shù)的比例相同時，可以用“換真數(shù)”的方法進(jìn)行判斷。

總結(jié)：在解決同類型函數(shù)“比較大小”問題時，無論是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)還是冪函數(shù)，關(guān)鍵抓的就是底數(shù)、真數(shù)和冪，盡量通過變形化簡運算使它們有一者相同，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小。

（二）與具體數(shù)字比較大小

1.借助具體數(shù)字比較

［例4］（1）已知[a=log0.53]，[b=log52]，[c=20.5]，則（）。

A. [c

C. [a

（2）已知[a=log27]，[b=log38]，[c=0.30.2]，則（）。

A. [c

C. [b

分析：同時出現(xiàn)了指數(shù)、對數(shù)兩種類型的函數(shù)，如果底數(shù)、真數(shù)、冪不同，就要與具體數(shù)字來比較。首先借助特殊值“0”“1”來比較，但如果無法用“0”“1”時，就要借助其他數(shù)，如“2”“3”“[12]”等。

解：（1）[log0.5320=1]，[a

（2）[log27>log22=1]，[log38>log33=1]，[0.30.2<0.30=1]，此時[a]和[b]均是比1大的數(shù)，只能采取其他數(shù)。而[log27>log24=2]，[log38

歸納：當(dāng)出現(xiàn)不同類型的函數(shù)時，首先借助特殊值“0”“1”來比較大小。如果達(dá)不到目的，需要再去找其他數(shù)，如“2”“3”“[12]”等。

2.與特殊值比較

熟記以下三個數(shù)：[ln2≈0.7]，[ln3≈1.1]，[ln5≈1.6]，當(dāng)題目出現(xiàn)與之有關(guān)的式子時，可通過其對應(yīng)的值或者對數(shù)運算法則進(jìn)行大小比較。

［例5］設(shè)[a=log2e，b=ln3，c=e-23]，則（）。

A.[a

C. [c

分析：題目出現(xiàn)[ln2]，[ln3]，[ln5]中的一個或多個時，可以快速利用它們的特殊值進(jìn)行計算比較大小。

解：[a=log2e=1ln2=10.7≈1.4]，[b=ln3≈1.1]，[c=e-23=1e23<1]，所以[a>b>c]。答案選D。

歸納：當(dāng)0，1之間無法區(qū)分函數(shù)值的大小，需要更加精確的值；當(dāng)出現(xiàn)對數(shù)時，借助幾個特殊的對數(shù)值，能讓答案顯而易見。

3.與“[ba]”比較

［例6］設(shè)[a=log32]，[b=log53]，[c=23]，則（）。

A. [a

C. [b

分析：若題目沒有出現(xiàn)[ln2]，[ln3]，[ln5]，可以通過換底公式用[ln2]，[ln3]，[ln5]表示，比較出[a、b、c]的大??；但是如果是隨意給出的一個對數(shù)或者較復(fù)雜的對數(shù)，除了可以通過換底轉(zhuǎn)化成特殊值計算，還可以用[ba]估算。由于[logab]的值與[ba]的值幾乎接近，因此可用此方法比較大小。

解：[a=log32=ln2ln3≈0.64]，[b=ln3ln5≈0.69]，[c=23≈0.67]，所以[a

總結(jié)：與具體數(shù)字比較大小是選擇一些滿足題意的特殊值，通過與特殊值比較，從而比較出指數(shù)、對數(shù)函數(shù)式的大小的一種方式，其能將運算過程化繁為簡，提高運算的速度和正確率。

（三）構(gòu)造函數(shù)

利用函數(shù)單調(diào)性原理，如果一個函數(shù)是增函數(shù)且有[f（x1）

1.構(gòu)造特殊函數(shù)比較大小

對形如[f（x）=lnxx]的結(jié)構(gòu)，利用求導(dǎo)可得在[（0，e）]上遞增，（e，+∞）上遞減，其適用范圍有以下兩種情況：①[ab]與[ba]；②[logab]與[ba]。

［例7］已知[a=3ln2π]，[b=2ln3π]，[c=3lnπ2]。則下列選項正確的是（）。

A. [a>b>c]B. [c>a>b]

C. [c>b>a]D. [b>c>a]

解：[a=3ln2π=3πl(wèi)n2]，[b=2πl(wèi)n3]，[c=6lnπ]，三個數(shù)同時除以[6π]，即可以轉(zhuǎn)化為[a=ln22]，[b=ln33]，[c=lnππ]，因此可以構(gòu)造函數(shù)[f（x）=lnxx]，[f（x）=lnxx]在[（0，e）]上遞增，（e，+∞）上遞減，[b、c]在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，[a]不在，務(wù)必將[a]變形為[a=ln22=2ln24=ln44]，此時[a、b、c]都在（e，+∞）上且遞減，綜上可得[ln44c>a]，答案選D。

歸納：對于結(jié)構(gòu)類似，底數(shù)、真數(shù)或者指數(shù)反復(fù)出現(xiàn)的題目，可以構(gòu)造函數(shù)[f（x）=lnxx]來解答，有些題目不顯而易見，需要進(jìn)行化簡變形，注意自變量的取值范圍要在對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間上方可比較大小，如果不在，則無法比較。

2.構(gòu)造一般函數(shù)比較大小

構(gòu)造函數(shù)難度比較大，最關(guān)鍵的是先分離變量再構(gòu)造函數(shù)。以變量為主，進(jìn)行構(gòu)造。

［例8］若[2x-2y<3-x-3-y]，則（）。

A. [ln（y-x+1）>0] B. [n（y-x+1）<0]

C. [lnx-y>0]D. [lnx-y<0]

分析：該題的算式結(jié)構(gòu)很類似，且變量也相對單一，就可以用構(gòu)造函數(shù)的方法比較大小。先分離變量，再構(gòu)造，最后利用單調(diào)性比較大小。

解：先分離變量：[2x-3-x<2y-3-y]，再構(gòu)造函數(shù)[F（x）=2x-3-x]，[F（y）=2y-3-y]，即原不等式轉(zhuǎn)化已知[F（x）0]，[y-x+1>1]，所以[ln（y-x+1）>0]。答案選A。

三、結(jié)語

與指數(shù)式、對數(shù)式、冪函數(shù)式相關(guān)的比較大小的試題，集指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等眾多知識于一體，綜合性強，解題方法靈活多樣，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算以及直觀想象等學(xué)科核心素養(yǎng)的考查。除本文介紹的方法外，還有作差作商、基本不等式等方法。在實際的解題過程中，可根據(jù)題目的條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，以使解題效果最優(yōu)化。

總之，對高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課來說，課堂教學(xué)是基礎(chǔ)，深度學(xué)習(xí)是過程，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)是目標(biāo)，三者邏輯相關(guān)，有機統(tǒng)一。開展基于深度學(xué)習(xí)的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為學(xué)生高效地復(fù)習(xí)提供保障。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?劉曉玫.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2019.

［3］ ?白軍祥.比較大小問題的題型歸納與教學(xué)啟示：從一道“八省聯(lián)考”試題談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2022（9）：25-27.

［4］ ?郭學(xué)博.“冪指對”大小的比較解析［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021（9）：7-8.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）