蔣逸卿 鄭蓉蓉 唐恒鈞

【摘 要】弧度制一直是高中數(shù)學教學中較難把握的內(nèi)容。近年來，隨著HPM教學理念的廣泛傳播，HPM視角下弧度制的教學設(shè)計案例逐漸增多，但在凸顯知識發(fā)生發(fā)展和促進學生理解概念的過程中還存在一些不易處理的問題。本文提出弧度制教學中四個普遍存在的問題，評析現(xiàn)有HPM視角下弧度制教學設(shè)計處理這四個問題的典型方案，最后根據(jù)弧度制的歷史發(fā)展脈絡(luò)對教學內(nèi)容進行整合重構(gòu)，給出針對四個問題的教學設(shè)計。

【關(guān)鍵詞】HPM；弧度制；教學設(shè)計；教學反思

一、引言

HPM視角下的教學研究不斷深入，實踐表明，在課堂教學方面，數(shù)學史具有知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等六類教育價值［1］?；《戎埔恢笔歉咧袛?shù)學教學中的一個熱點和難點，基于HPM視角的弧度制教學可以從多方面突破難點，提高課堂的有效性?；《戎平虒W設(shè)計中目前還存在一些較難處理的問題，本文試圖梳理和評析現(xiàn)有HPM視角下弧度制教學設(shè)計處理這些難題的典型方案，嘗試根據(jù)弧度制歷史發(fā)展脈絡(luò)整合教學內(nèi)容，并借鑒現(xiàn)有研究的處理思路，對弧度制教學的重構(gòu)設(shè)計進行探索，以期為現(xiàn)有弧度制教學提供有益的參考。

二、HPM視角下弧度制教學研究現(xiàn)狀審視

弧度制一課的教學設(shè)計中，主要有以下四個較難處理的問題：

（1）引入環(huán)節(jié)如何自然凸顯弧度制的必要性和內(nèi)在邏輯。

（2）尋找可以表示角的新的量（標準）并進行驗證時如何體現(xiàn)合理性與關(guān)聯(lián)性。

（3）尋求新制度（弧度制）下的“單位1”時直接就令l/r=1。

（4）得到1弧度的角的定義后直接給出了任意角定量表示|α|=l/r。

現(xiàn)有HPM視角下弧度制的教學設(shè)計是如何回應(yīng)上述四個問題的？下面評析幾種典型的處理方案。

（一）引入環(huán)節(jié)如何自然凸顯弧度制的必要性和內(nèi)在邏輯

現(xiàn)有教學設(shè)計對該問題的關(guān)注程度較高，也涌現(xiàn)出很多切實有效的策略，其中以“函數(shù)定義沖突型”和“單位制型”兩類方案最為普遍和典型。

方案1：函數(shù)定義沖突型

這類方案的引入思路一般是先讓學生回憶初中所學的銳角三角函數(shù)，舉出例子，再反思是否符合高中對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義，引發(fā)認知沖突，為能在原有函數(shù)體系中建立三角函數(shù)的概念而引入弧度制。

這種方式指明了學習弧度制的目的，在凸顯學習弧度制的必要性和內(nèi)在邏輯上的效果顯著，學生能體會到學習弧度制是必要的、重要的，這為問題（1）的解決提供了非常不錯的思路。但還有問題值得繼續(xù)思考：是否六十進制的角度不是實數(shù)？事實上，角度與弧度一樣，都是度量平面角的量值，具有單位量，“度”或“弧度”并不影響其本身實數(shù)屬性；角度單位“度、分、秒”之間每逢60進1，但度以上并無更大的單位，因此角度數(shù)常常表示為十進制的數(shù)［2］。綜上，角度不是實數(shù)的觀點的理論依據(jù)有所欠缺。此外，由于研究的方向是用實數(shù)表示角而非統(tǒng)一度量單位，后續(xù)環(huán)節(jié)在數(shù)學史的融入方面可能有一定困難?；谝陨暇売?，這類方案近年來逐漸式微，取而代之的是從單位制出發(fā)的方案。

方案2：單位制型

這類方案從同一問題中單位的適切性、統(tǒng)一性的角度引出弧度制，可以分為多種度量制度式和單位不統(tǒng)一式兩種類型。

多種度量制度式沿用教科書的引入思想：類比物理量的不同度量制，讓學生體會一個量可以有多種單位制，不同的單位制各有優(yōu)勢，單位的選擇要與問題貼合，從這個角度引出可能有其他度量角的方式（弧度制）。以物理量具有不同單位制為例的引入方式符合學生的認知，可以很好地激發(fā)學生探尋角的其他度量方式的興趣。但本質(zhì)上一個量的多種單位制與弧度制的邏輯關(guān)聯(lián)不強，弧度制引入的必要性與思維指向性有所不足［3］，數(shù)學史的融入方式易停留于附加式和復制式。

單位不統(tǒng)一式通過設(shè)置數(shù)學情境和提出引發(fā)認知沖突的問題（比如[sinα]與[α]的關(guān)系），來明確統(tǒng)一角度單位與長度單位的研究目標。這一目標與驅(qū)動弧度制產(chǎn)生和發(fā)展的目的是一致的，因此將知識線、活動線與統(tǒng)一弧長、半徑度量的歷史發(fā)展線相交融，從而厘清數(shù)學本源，為學生生成積極的內(nèi)在學習動機，引導學生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程。當然這類方式也有不易處理的地方，比如情境問題“[30°]+sin[30°]等于多少？”是值得商榷的，即使用弧度制，[30°]轉(zhuǎn)換為了 π/6rad，它本身依然是量值，與數(shù)值sin[30°]仍然無法相加。

（二）新度量制度的建立如何具有脈絡(luò)而不突兀

本部分內(nèi)容討論現(xiàn)有教學設(shè)計針對問題（2）（3）（4）的典型處理方案，這三個問題指向的是弧度制的建立過程，如何做到自然連貫、脈絡(luò)分明是值得深思的。

方案1：比值-單位-定量表示型

這類方案與教科書呈現(xiàn)的思路一致，即從弧長公式出發(fā)，探究弧長與半徑、角之間的關(guān)系，學生經(jīng)歷猜想、驗證，認識到用[lr]度量角的合理性，接著考慮到表示方法應(yīng)力求簡潔，令l/r=1給出1弧度角和弧度制的概念，再通過作特殊弧度的角的練習得到任意角的定量表示。這種做法在尋找度量標準[lr]的環(huán)節(jié)上具有較強的探究性，能讓學生經(jīng)歷概念的自主建構(gòu)，體會數(shù)學抽象的過程。但學生對新度量制的標準是缺少認識的，容易導致目標指向不明而陷于盲目的規(guī)律探尋中。此外，用l/r=1的簡潔性來解釋“單位1”的產(chǎn)生略顯生硬，說服力不夠，反映由單位角到定量表示任意角的內(nèi)在邏輯還不夠清晰。

方案2：單位生成型

單位生成型以度量單位的產(chǎn)生和應(yīng)用為主線，引導學生經(jīng)歷“類比角度制—規(guī)定單位1—應(yīng)用單位1度量其他角”的過程，使得數(shù)學史的融入自然透徹。學生能較好理解l/r的本質(zhì)即為倍數(shù)，而不只是一個與角互相確定的量而已，于是|α|=l/r就呼之欲出了。在這種方案下，學生獲得了單位制生成的經(jīng)驗，能體會規(guī)定單位1的必要性，且基于思維的可逆性，能從半徑出發(fā)得到規(guī)定單位1的方法。當然，這一方案也存在可以探究的地方，比如為何以r為1個單位去量弧長和角而不是用1厘米或1米？顯然后者會導致角與度量值無法一一對應(yīng)，但不可否認這會是學生最自然的想法，在教學中不應(yīng)被忽略。

縱觀上述針對四個問題的典型方案可知，HPM視角下的教學設(shè)計應(yīng)高度關(guān)注弧度制本身的發(fā)展脈絡(luò)。

三、弧度制的數(shù)學發(fā)展脈絡(luò)

不管是在數(shù)學史上還是在數(shù)學教學上，角度制與弧度制之間的關(guān)系都具有重要意義，弧度制的建立離不開對角度制等分圓周之本質(zhì)的借鑒，而弧度制與角度制之間的共性與差異又能加深學生對數(shù)學本質(zhì)的理解。因此，本文從角度制的起源開始，根據(jù)啟蒙期、傳播期、確立期［4］三個發(fā)展階段的主要內(nèi)容，梳理弧度制產(chǎn)生與發(fā)展的脈絡(luò)。

（一）啟蒙期

角的度量起源于對兩條相交直線分離程度的定量刻畫的需求。一般認為由古巴比倫人在等分圓周的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了圓弧的度量，在弧與角建立一一對應(yīng)關(guān)系后得到了角的度量，將每一份圓弧所對應(yīng)的圓心角定義為1度的角。

（二）傳播期

天文學家托勒密出于方便計算的考量，在古巴比倫人的基礎(chǔ)上對“1度”又做了兩次更細致的等分，形成了如今用“度、分、秒”度量角的單位制度——角度制。托勒密及其后的印度數(shù)學家阿耶波多在實際計算中注意到弧長與弦長應(yīng)采用相同的度量單位，因此以弧長的度量單位為準，借助公式2 πr=[360°=21600′]，實現(xiàn)了半徑與弧長度量單位的統(tǒng)一。但以弧長單位為基準去實現(xiàn)統(tǒng)一，使得弧長與半徑都處于六十進制度量之下，從整體看，計算并未得到實質(zhì)性簡化。

（三）確立期

直到18世紀中期，數(shù)學家歐拉逆向思考，提出以半徑為單位來度量弧長及對應(yīng)的圓心角?；《戎频母拍钣纱苏疆a(chǎn)生，其本質(zhì)是用十進制的長度單位實現(xiàn)了弧長與半徑的統(tǒng)一。

綜上，天文學計算中度量單位不統(tǒng)一造成的運算不便是弧度制產(chǎn)生的動力源。從以弧長（圓心角）的度量單位為基準到以半徑為度量單位，天文學家、數(shù)學家們?yōu)榻y(tǒng)一度量制，經(jīng)歷了啟蒙期、傳播期、確立期三個階段的漫長探索。

四、HPM視角下弧度制的教學重構(gòu)

HPM視角下的弧度制教學需特別關(guān)注弧度制本身的發(fā)展脈絡(luò)，本文基于對上述史料脈絡(luò)結(jié)構(gòu)的提取，以弧度制的發(fā)生發(fā)展脈絡(luò)為架構(gòu)點，以符合學生認知規(guī)律為出發(fā)點，重構(gòu)教學活動。以“度量”的思想為主線［5］，在不斷提取和應(yīng)用的過程中使其逐漸清晰、完善，加深學生對知識本質(zhì)的理解和認識。教學設(shè)計流程見圖1。

本文呈現(xiàn)的教學設(shè)計僅涵蓋前文提及的四個問題所對應(yīng)的教學內(nèi)容，即弧度制的引入到任意角的定量表示。其中“1.呈現(xiàn)情境，提出問題”針對問題（1）的解決，“2.聯(lián)想激活，明確方向”“3.猜想類比，探索新知”“4.歸納整理，明確概念”針對問題（2）（3）（4）的解決。

1.呈現(xiàn)情境，提出問題

【情境】（1）如圖2所示，自行車以20km/h的速度行駛在馬路上，其行駛時間y（h）關(guān)于路程x（km）的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？（2）如圖3所示，過山車沿著一段半徑為20m的半圓形軌道運行，其離地高度y（m）關(guān)于旋轉(zhuǎn)角度x的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？

問題1：函數(shù)y=0.05x的自變量x是什么類型的數(shù)？函數(shù)y=20sinx的自變量x是什么？

問題2：函數(shù)h（x）=0.05x+20sinx的自變量x又是什么？h（10）有意義嗎？你遇到了什么問題？

問題2-1：如何讓函數(shù)h（x）有意義？

【預設(shè)】學生發(fā)現(xiàn)在函數(shù)h（x）中自變量的單位不統(tǒng)一，即一個是長度單位一個是角度單位，為了使函數(shù)有意義，提出統(tǒng)一單位的想法。對于角來說，可能需要采取一種以長度單位為基礎(chǔ)的度量方式。

【設(shè)計意圖】根據(jù)本文第二部分“二、HPM視角下弧度制教學研究現(xiàn)狀審視”的評析，“單位不統(tǒng)一式”的引入方式在教學中具有較大的優(yōu)勢。因此首先設(shè)置情境，引導學生寫出自變量使用不同單位制的兩個函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)的和引出一個函數(shù)中自變量單位制不同的問題，用h（10）存在意義的問題將認知沖突推向高潮，激發(fā)學生想要了解自變量為一般數(shù)值時三角函數(shù)的意義的強烈欲望，從而引出對長度單位、角度單位統(tǒng)一的探究，避免了前文所述的使用了弧度制也無法解決[sin30°與30°]不能相加問題的尷尬。

問題3：我們是如何度量角的大小的？

教師引導學生回憶角度制的定義，并播放視頻呈現(xiàn)古巴比倫人建立角度制的過程：古巴比倫人最早創(chuàng)立了以六十進制為基礎(chǔ)的角度制，即把圓周進行360等分，每1份弧長對應(yīng)的圓心角定義為1度的角，記作[1°]。

教師提出，除了把圓周等分的角度制外，歷史上還有許多其他類型的度量角的方法。教師呈現(xiàn)歷史上法國等分圓周建立的十進制的角度制，軍事上的密位制，天文學中等分圓周形成的角度制等資料。

問題4：這些度量方法有何相同點？有何局限？

【預設(shè)】學生歸納出這些方法都把圓周進行了一定數(shù)目的等分，得到一定大小的單位角后再去量其他角的大小。教師引導學生發(fā)現(xiàn)等分圓周具有隨意性和偶然性，容易造成跨地區(qū)和跨領(lǐng)域交流的不便，因此若能建立一種與長度單位統(tǒng)一的度量角的方式，或許有解決這類問題的優(yōu)勢。

【設(shè)計意圖】問題3通過回憶角度制以及介紹其他本質(zhì)相同的量角方式，讓學生了解度量單位建立的基本路徑。問題4讓學生歸納所述度量方法的共性，體會以等分圓周為基礎(chǔ)的量角方式的局限，從另一個側(cè)面體會統(tǒng)一單位建立新度量方式的必要性。

2.聯(lián)想激活，明確方向

問題5：再次思考古巴比倫人定義1度角時的順序，你能發(fā)現(xiàn)什么？

【預設(shè)】教師引導學生發(fā)現(xiàn)古巴比倫人采用的“度”這個單位最早是刻畫圓弧的長度單位，在圓心角和圓弧之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系后，才將它作為度量角的單位。教師可以指出，這導致數(shù)學家們進行圓的相關(guān)計算時遇到了麻煩，源于弧長的單位與半徑的單位并不統(tǒng)一，也就是角度單位與長度單位不統(tǒng)一。

問題6：歷史上數(shù)學家們?yōu)榛￠L和半徑度量單位的統(tǒng)一做了很多工作，你們認為對兩者進行統(tǒng)一的方向是什么？

學生提出，度量單位的統(tǒng)一要么都采用歷史上弧長的度量單位，要么都使用半徑的度量單位。

活動1：探究如何采用歷史上弧長的單位（即“度”）去度量半徑。

問題7：如果都使用圓心角和弧長的度量單位（度），那么半徑長是多少（度）呢？

【預設(shè)】學生討論探究。教師展示托勒密做過的工作，即借助 2πr=360[°]得到直徑為360°/π度，近似為120度，半徑就是60度，半徑和任意弧長都可以統(tǒng)一用弧長的單位（度）來表示了。教師指出，這同樣帶來了問題，在平面幾何的研究工作中采用得最為普遍的是長度單位，統(tǒng)一使用弧長單位就會使得眾多計算需要轉(zhuǎn)化單位而變得十分煩瑣。因此，學生猜想也許統(tǒng)一用半徑的單位來度量會更方便。

3.猜想類比，探索新知

問題8：如果都使用半徑的度量單位，如何度量圓心角和弧長呢？

問題8-1：半徑的度量單位是什么？

活動2：探究并驗證采用基本的長度單位度量圓心角大小的可行性。

問題9：直接使用半徑的度量單位刻畫圓心角是否可行？請?zhí)骄框炞C。

【預設(shè)】學生合作探究，繪制出同心圓后發(fā)現(xiàn)，有弧長公式l=nπr/180，在弧長固定時圓心角的大小與半徑大小成反比，可能導致同樣單位數(shù)的圓心角的實際大小不同。

師：這給你怎樣的啟示？

生：使用一個新的標準去度量角的大小必須遵循相應(yīng)的原則，即角相同時新的量也應(yīng)該相等，角不同時新的量也要不同。

【要點說明】學生最自然想到的是用1cm長的圓弧作為度量弧長的1個單位，類比角度制的定義，1cm的弧所對的圓心角也就記作1個單位角，理應(yīng)能順利刻畫角的大小，即要確定一個圓心角[θ]的大小，只需計算出其所對的圓弧長s對于一個單位角所對圓弧長的倍數(shù)m，圓心角[θ]的大小就是m個單位。但學生通過探究發(fā)現(xiàn)這種方法不可行，教師進而引導學生進行歸納，即使用新的標準去度量角的大小必須遵循相應(yīng)的原則。

教師呈現(xiàn)歐拉創(chuàng)造性想法的多媒體資料。

問題10：歷史上，數(shù)學家歐拉提出以半徑為單位來度量弧長。如果將半徑本身作為1個單位，則圓周長、半圓周長為多少個單位長度？

活動3：類比探究以半徑為單位度量圓心角的大小是否可行。

問題11：如何以半徑作為1個單位度量圓心角的大??？是否可行？

【預設(shè)】學生再次沿著度量單位建立的路徑，先確定1個單位角，即半徑長的圓弧所對的圓心角定義為1個單位角。有了前面度量的經(jīng)驗，學生能得到圓心角[α]的大小就等于所對應(yīng)的圓弧長l對于1個單位角的圓弧長r的倍數(shù)，即[l/r]。借助信息技術(shù)，學生探究用[l/r]表示圓心角[α]的大小的可行性，即是否滿足角相同時新的量也應(yīng)該相等的原則。最后，在教師的引導下用弧長公式進行嚴謹證明?；《戎葡?，角定量表示的關(guān)系式呼之欲出。

4.歸納整理，明確概念

問題12：請回顧并總結(jié)活動2和活動3是怎樣一步一步完成角的度量的？

生：我們類比了古巴比倫人定義1度角的方式，先得到了一定大小的圓弧的1個單位，再定義它所對應(yīng)的圓心角是1個單位的角，對可行性進行驗證后，便能以這個單位角去度量其他角的大小了。

教師呈現(xiàn)1弧度的角和弧度制的定義。

問題13：利用關(guān)系式[α=l/r]是否就可以表示任意的角？

問題13-1：能否嘗試作出2rad的角？-2rad的角呢？

問題13-2：回顧作角的過程，反思關(guān)系式[α=l/r]是否一直成立？若不成立應(yīng)該如何調(diào)整？

【設(shè)計意圖】采用改進的“單位生成型”方案，將“度量”思想的主線與“統(tǒng)一弧長與半徑單位”的歷史發(fā)展線深刻融合、互相交織，學生反復經(jīng)歷“確定單位1—驗證可行性—度量其他角”的過程。在類比和逆向思維的引導下，學生能主動提出1個單位的確定方法并發(fā)現(xiàn)任意角定量表示的雛形。此外，正視學生的想法，將以1cm、1m作為1個單位的想法主動暴露在課堂中，并以此為契機引導學生探究、歸納用新標準度量角需要遵循的原則，并結(jié)合該原則進行嚴謹?shù)尿炞C，發(fā)展了學生重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神。

五、小結(jié)

本案例彰顯了數(shù)學史的教育價值。在已有史料基礎(chǔ)上，從啟蒙期、傳播期、確立期三個階段提煉出了弧度制的發(fā)展脈絡(luò)，教學流程的每個環(huán)節(jié)都基于相應(yīng)的脈絡(luò)節(jié)點進行重構(gòu)設(shè)計。比如第一個環(huán)節(jié)“1.呈現(xiàn)情境，提出問題”，在引發(fā)認知沖突，明確統(tǒng)一度量的目標后，學生自然需要對度量角的方式進行反思，因此從啟蒙期的角度制出發(fā)，體會度量角的基本路徑，加深對角度及角度單位本身的認識，體現(xiàn)了知識之諧。

本案例以傳播期、確立期兩個階段的發(fā)展脈絡(luò)為依據(jù)，設(shè)計了三個探究活動?；顒?學生實際上循著托勒密、阿耶波多的思想進行統(tǒng)一度量的工作，活動2和活動3則沿著歐拉的思想，在探究中逐步接近弧度制的內(nèi)核。在此過程中，學生深入弧度制發(fā)生發(fā)展的歷程，在探究中發(fā)現(xiàn)并解決問題，享受探究的樂趣，積累了“度量”的活動經(jīng)驗，體現(xiàn)了探究之樂。從活動1至活動3，學生不斷沿著“確定單位1—驗證可行性—度量其他角”的初始路徑嘗試進行度量制的統(tǒng)一工作。在活動2中，學生發(fā)現(xiàn)采用1cm等長度單位去度量角會出現(xiàn)問題，并概括出使用新標準進行度量須遵循的原則?；顒?中學生將該原則運用于猜想的驗證上，進一步理解“驗證可行性”這一步驟的重要性。學生在此過程中認識到直覺判斷的局限性，認識到對猜想進行嚴謹驗證的重要性，展現(xiàn)了德育之效。

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［5］劉燁燁.“弧度制”教學實錄與反思［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2020（6）：35-39.

（責任編輯：潘安）

【作者簡介】蔣逸卿，浙江師范大學教育學院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學課程與教學研究；鄭蓉蓉，浙江師范大學教育學院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學課程與教學研究；唐恒鈞（通訊作者），浙江師范大學教授，博士生導師，主要從事數(shù)學課程與教學研究。