許旭紅

［摘 ?要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史已經(jīng)成為一線教師的共識(shí)。以數(shù)學(xué)史重構(gòu)的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)知識(shí)的生成脈絡(luò)、厚實(shí)背景以及形成過程等意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要發(fā)掘相關(guān)資源，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)，反思學(xué)習(xí)過程，從而讓數(shù)學(xué)史嵌入、融入、載入數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師要善于捕捉數(shù)學(xué)知識(shí)中的歷史基因，讓其在重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)歷史中發(fā)揮較大作用。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)史；重構(gòu)式

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系早在19世紀(jì)就已經(jīng)受到歐美數(shù)學(xué)家的關(guān)注。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史已經(jīng)成為一線教師的共識(shí)。但數(shù)學(xué)史如何走入數(shù)學(xué)課堂，數(shù)學(xué)史以怎樣的姿態(tài)走入數(shù)學(xué)課堂，是一個(gè)值得研究的問題。本文提出，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式有3種：其一是鏈接式，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中簡(jiǎn)單地加入一些數(shù)學(xué)史實(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹；其二是再現(xiàn)式，即將人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷程呈現(xiàn)出來；其三是重構(gòu)式，即引導(dǎo)學(xué)生重蹈人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步子，將學(xué)生的火熱思考融入其中。相比較而言，重構(gòu)數(shù)學(xué)歷史比鏈接數(shù)學(xué)歷史、再現(xiàn)數(shù)學(xué)歷史要深刻得多，也困難得多。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入研究重構(gòu)數(shù)學(xué)史的策略、路徑、方式和方法，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)史功能。

一、重構(gòu)數(shù)學(xué)史的意義和價(jià)值

著名的數(shù)學(xué)家克萊因曾經(jīng)這樣說：“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重構(gòu)數(shù)學(xué)史，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，就是要以數(shù)學(xué)史作為指導(dǎo)，讓學(xué)生循著數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)生順序，循著人類生命實(shí)踐活動(dòng)的步子，去了解、把握數(shù)學(xué)知識(shí)。正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷。”

1. 厘清數(shù)學(xué)知識(shí)生成脈絡(luò)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)史，有助于學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的生成脈絡(luò)。重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵、關(guān)聯(lián)，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史性。為此，教師要以“歷史發(fā)生原理”作為指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，將數(shù)學(xué)知識(shí)生產(chǎn)、建構(gòu)、創(chuàng)造、開發(fā)出來。在這個(gè)過程中，學(xué)生能把握數(shù)學(xué)知識(shí)的源流，在心里搭建數(shù)學(xué)新知、未知與已知、舊知的橋梁。重構(gòu)數(shù)學(xué)史，可以彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，豐富、拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。比如教學(xué)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”，教師不僅僅要引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單地認(rèn)識(shí)“負(fù)數(shù)的意義”，即“正數(shù)和負(fù)數(shù)是具有相反意義的量”，更要揣摩、讀懂學(xué)生認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的心理，抓住“0”的意義，體會(huì)“負(fù)數(shù)”與“0”的關(guān)聯(lián)，從而讓學(xué)生逐步超越自己的已有認(rèn)知，即“0”不僅表示沒有，而且表示標(biāo)準(zhǔn)、界限等。抓住了0和負(fù)數(shù)之間的關(guān)系，就能讓負(fù)數(shù)的意義和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的數(shù)系結(jié)合起來，從而讓學(xué)生在心理上逐步接納負(fù)數(shù)。

2. 豐富數(shù)學(xué)知識(shí)厚重背景

數(shù)學(xué)知識(shí)是理性化、形式化、符號(hào)化的，但卻蘊(yùn)含著人類的實(shí)踐智慧［１］。立足于數(shù)學(xué)史實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是讓教學(xué)凸顯知識(shí)的歷史核心價(jià)值，更為重要的是要融入人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步伐，讓學(xué)生重蹈人類探索知識(shí)的關(guān)鍵步子，從而能實(shí)實(shí)在在地感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的真諦。知識(shí)的歷史誕生過程往往給人以智慧的啟迪，同樣能給教學(xué)以智慧的啟迪、文化的濡染。立足于數(shù)學(xué)史，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值核心，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、學(xué)科觀、學(xué)習(xí)觀以及人文情感等形成深刻的理解。比如“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容，是學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)的雛形、萌芽。許多教師對(duì)于這部分內(nèi)容的處理往往簡(jiǎn)單化，部分教師甚至認(rèn)為“用字母表示數(shù)”就是“用字母代替數(shù)”，或者用“未知數(shù)代替已知數(shù)”，等等。而重構(gòu)數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的“文辭代數(shù)階段”“縮小代數(shù)階段”“符號(hào)代數(shù)階段”等（參見《“用字母表示數(shù)”的歷史演進(jìn)及其數(shù)學(xué)價(jià)值》《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)）》），就能讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)“用字母表示數(shù)”的意義，即字母不僅可以表示未知數(shù)，而且可以表示已知數(shù)；不僅可以表示特定意義的數(shù)，而且可以表示變化的數(shù)；不僅可以在文辭、縮寫上運(yùn)用字母，而且可以在符號(hào)關(guān)系水平上運(yùn)用字母，等等。

3. 敞亮數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程

教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)是一種“壓縮形態(tài)”的知識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過重構(gòu)數(shù)學(xué)史，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“解壓縮”，恢復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)誕生時(shí)鮮活的過程形態(tài)，進(jìn)而敞亮數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣說，“孩子應(yīng)該重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過程，但不是簡(jiǎn)單地、完全地再現(xiàn)歷史，展現(xiàn)知識(shí)的實(shí)際發(fā)生過程，這種‘再創(chuàng)造’不同于知識(shí)的原始創(chuàng)造，而是進(jìn)行一種假定人類當(dāng)初知道我們現(xiàn)在所知道的東西，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)過程”（《參見《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》）。比如教學(xué)“認(rèn)識(shí)厘米”，教師就不能簡(jiǎn)單地說教，讓學(xué)生機(jī)械識(shí)記“1厘米有多長(zhǎng)”，機(jī)械、枯燥地進(jìn)行厘米測(cè)量訓(xùn)練，而應(yīng)當(dāng)重構(gòu)數(shù)學(xué)史，從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)出發(fā)。筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了這樣的一些過程：首先，用不同方式測(cè)量物體長(zhǎng)度，讓學(xué)生體會(huì)到用不同的度量單位去進(jìn)行測(cè)量的混亂，進(jìn)而產(chǎn)生建立統(tǒng)一度量單位的必要性；其次，引導(dǎo)學(xué)生建立“1厘米”的表象，引導(dǎo)學(xué)生用“1厘米”去測(cè)量，進(jìn)而感受到用一個(gè)個(gè)測(cè)量單位去測(cè)量對(duì)象的瑣碎、復(fù)雜等，產(chǎn)生將諸多個(gè)單位長(zhǎng)度連綴在一起進(jìn)行有序測(cè)量的想法，由此構(gòu)建“厘米尺”的雛形；最后，引導(dǎo)學(xué)生估測(cè)物體的長(zhǎng)度，并用厘米尺進(jìn)行精準(zhǔn)測(cè)量，并將估測(cè)結(jié)果與厘米尺測(cè)量結(jié)果相比較。這個(gè)過程中的許多步驟，都對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)史中的相關(guān)內(nèi)容，如“布指知寸、布手知尺”“米原器”等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，敞亮數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，并不是機(jī)械地重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過程，而是教師指導(dǎo)下高效的“再創(chuàng)造”。這樣的引導(dǎo)有助于學(xué)生不再機(jī)械、盲目地走歷史老路。

重構(gòu)式歷史教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾倡導(dǎo)的一個(gè)觀點(diǎn)就是，“不完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)當(dāng)是經(jīng)過改良、同時(shí)更好地引導(dǎo)的歷史過程”，是一種“快速地經(jīng)歷人類探索知識(shí)的關(guān)鍵歷程”的過程。在歷史重構(gòu)式教學(xué)中，教師不必過度關(guān)注知識(shí)的細(xì)枝末節(jié)，而應(yīng)當(dāng)著眼于突出于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程中的關(guān)鍵步驟、步子等。

二、重構(gòu)數(shù)學(xué)史的路徑和策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重構(gòu)數(shù)學(xué)史，要以歷史發(fā)生原理為主要依據(jù)，要以理性重構(gòu)作為關(guān)鍵。重構(gòu)數(shù)學(xué)史包括3個(gè)方面的內(nèi)容：其一是數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和形成過程；其二是數(shù)學(xué)思想方法的感悟；其三是數(shù)學(xué)精神的滲透、融入、啟迪等。重構(gòu)數(shù)學(xué)史，既要讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史性，又要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)性，還要滲透數(shù)學(xué)的教育性。換言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重構(gòu)數(shù)學(xué)史，不僅僅是“為了數(shù)學(xué)而歷史”，更是“為了教育而歷史”的過程。

1. 發(fā)掘相關(guān)資源，讓數(shù)學(xué)史嵌入數(shù)學(xué)教學(xué)

重構(gòu)數(shù)學(xué)史，需要教師發(fā)掘相關(guān)資源，從中吸取相關(guān)的因子，從而讓數(shù)學(xué)史嵌入數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程之中。這些素材包括知識(shí)性素材、方法性素材以及情感性素材，等等。比如教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”這部分內(nèi)容，教師可以融入的素材極其豐富。從知識(shí)性資源素材上來看，主要有古代的關(guān)于圓的知識(shí)的相關(guān)表述，如“圓，一中同長(zhǎng)也”“不以規(guī)矩不能成方圓”等；從方法性資源素材上來看，主要有“圓出于方，方出于矩”等；從情感性資源、素材上來看，主要有“自然界中的圓”“生活中的圓”“有寓意的圓”等。從數(shù)學(xué)史中發(fā)掘出相關(guān)的資源、素材之后，教師要有意識(shí)地對(duì)這些資源、素材進(jìn)行組織，從而將素材、資源等寓于其中。比如筆者用多媒體展示由正三角形演變成正方形進(jìn)而逐步演變成正五邊形、六邊形等之時(shí)，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)“圓出于方，方出于矩”等的概念。比如為了讓學(xué)生感受、體驗(yàn)“一中同長(zhǎng)”，筆者力圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”；為了讓學(xué)生感受、體驗(yàn)“不以規(guī)矩不能成方圓”，筆者引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造畫圓工具，感知圓規(guī)的形成過程。通過發(fā)掘相關(guān)的資源、素材等，重構(gòu)數(shù)學(xué)史，可以引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)技能，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2. 引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)

活動(dòng)是重構(gòu)數(shù)學(xué)史教學(xué)的重要載體［２］。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化活動(dòng)，不僅能讓學(xué)生從對(duì)數(shù)學(xué)的生活化、經(jīng)驗(yàn)化認(rèn)知上升到數(shù)學(xué)化、形式化的認(rèn)知，更有助于讓學(xué)生感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)史。需要特別注意的是，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，要結(jié)合學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行研發(fā)、設(shè)計(jì)，以便讓活動(dòng)更具有針對(duì)性、實(shí)效性。以教學(xué)“平均數(shù)”這一部分內(nèi)容為例，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)總是非常強(qiáng)調(diào)平均數(shù)的計(jì)算方法、計(jì)算技能訓(xùn)練，諸如“總數(shù)量除以總份數(shù)等于平均數(shù)”，將重點(diǎn)放置在用平均數(shù)解決問題上面。立足于數(shù)學(xué)史的視角，平均數(shù)這一部分內(nèi)容應(yīng)當(dāng)更加注重其意義教學(xué)?？v觀平均數(shù)的發(fā)展史，筆者發(fā)現(xiàn)了這樣的幾個(gè)關(guān)鍵性的知識(shí)生發(fā)、豐富階段，即“利用平均數(shù)估計(jì)大數(shù)”“重復(fù)測(cè)量取平均數(shù)減少誤差”“平均數(shù)的補(bǔ)償”“公平分擔(dān)”等。一直到十九世紀(jì)中葉，著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家奎奈特提出了“平均數(shù)”的概念。對(duì)于“平均數(shù)”這一概念的歷史經(jīng)緯的梳理，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把握以下幾個(gè)方面，去引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)：一是平均數(shù)僅僅是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的一種；二是平均數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的整體水平；三是平均數(shù)一定在極端數(shù)據(jù)中間；四是平均數(shù)是一個(gè)虛擬性的數(shù)據(jù)，不一定在一組數(shù)據(jù)中間；五是平均數(shù)會(huì)受到一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)影響。立足于數(shù)學(xué)史的視角，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考、研究以下幾個(gè)方面的問題：其一是平均數(shù)的內(nèi)涵主要是指什么？其二是感悟平均數(shù)所蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)分析觀念。教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，尤其是讓學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行整體性分析，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的一般性、整體性的水平。為此，教師可以在數(shù)據(jù)中增加一些極端數(shù)據(jù)，可以改變其中的某一個(gè)數(shù)據(jù)，可以精心設(shè)計(jì)一組數(shù)據(jù)以便讓平均數(shù)不是一組數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)，從而讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到平均數(shù)的整體性特質(zhì)、虛擬性特質(zhì)、波動(dòng)性特質(zhì)等。從歷史的視角關(guān)照平均數(shù)，設(shè)計(jì)、研發(fā)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，就能彰顯出平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

3. 反思學(xué)習(xí)過程，讓數(shù)學(xué)史載入數(shù)學(xué)教學(xué)

立足于數(shù)學(xué)史的視角，教師還要引導(dǎo)學(xué)生能夠跳出“內(nèi)史”，從數(shù)學(xué)文化的背景、社會(huì)背景等視角來觀照學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的方法論重建，更要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的文化論重建。只有這樣，才能生成學(xué)習(xí)智慧。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生“以史為鑒”，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思、反芻、反省等。只有引導(dǎo)學(xué)生反思、反芻，才能讓學(xué)生在課堂上對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度建構(gòu)、創(chuàng)新建構(gòu)。

比如教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行”，筆者追溯歷史，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)以及知識(shí)的邏輯順序，重構(gòu)了平行的教學(xué)路徑。對(duì)于平行的概念，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史上的3種理解方式：其一是直觀性感知，即同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線；其二是距離性定義，墨子說過，“平，同高也”；其三是角度性定義，即依據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等證明兩直線平行。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從這3個(gè)視角對(duì)平行進(jìn)行審視、反思，通過直觀感知、動(dòng)態(tài)想象、理性反思，幫助學(xué)生建立平行的概念，引導(dǎo)學(xué)生探索平行線的畫法，反思平行線的畫法等，從而讓學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)，表示平行關(guān)系等。教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思過程，讓學(xué)生體會(huì)平行之用。在反思的過程中，學(xué)生能體會(huì)到距離性的平行概念對(duì)于畫平行線具有較強(qiáng)的啟示引導(dǎo)作用。而在學(xué)生認(rèn)識(shí)平行、畫平行的過程中，充分彰顯出數(shù)學(xué)史對(duì)科學(xué)教學(xué)方法的價(jià)值。

教師要善于捕捉數(shù)學(xué)知識(shí)中的歷史基因，讓其在重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)歷史中發(fā)揮較大作用。借助數(shù)學(xué)史，教師在教學(xué)中不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、習(xí)得相關(guān)數(shù)學(xué)技能，更要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)精神的覺醒，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中增強(qiáng)學(xué)生的文化自信、精神自信。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 楊玉東. “本原性數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)”的比較研究［Ｄ］. 華東師范大學(xué)，２００４.

［２］ 黃毅英. 數(shù)學(xué)觀研究綜述［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，２００２（０１）：１－８.