王莉

［摘? 要］ 初中數(shù)學(xué)教學(xué)要高度重視數(shù)學(xué)建模的價(jià)值. 站在教學(xué)的角度來(lái)看，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中認(rèn)識(shí)到模型的價(jià)值. 數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的本質(zhì)，是提升學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要途徑. 只有讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，數(shù)學(xué)建模的意義才能凸顯出來(lái). 數(shù)學(xué)建模過(guò)程中要重視學(xué)生的體驗(yàn)感、獲得感和成就感. 初中數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù)之一，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想去引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)并把握模型教學(xué)的意蘊(yùn). 從教學(xué)任務(wù)、教學(xué)時(shí)間、教學(xué)策略的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)建模對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了更高要求.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)建模理解；數(shù)學(xué)建模路徑

建立模型對(duì)于初中數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)并不陌生，具有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師也都知道在20世紀(jì)90年代，我國(guó)基礎(chǔ)教育曾經(jīng)流行過(guò)一陣“建?！憋L(fēng)，后來(lái)隨著課程改革的推進(jìn)，一些新的教育概念層出不窮，相比較而言，“建?！边@一概念有一些淡化，但這并不意味著建模退居幕后. 就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)建模一直受重視，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》就明確提出了數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生“學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”（這是義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的三個(gè)內(nèi)涵之一），這實(shí)際上就是在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值與作用. 通常情況下，一線數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)建模理解為建立模型. 這樣的理解當(dāng)然是正確的，但如果站在教學(xué)的角度來(lái)看，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中認(rèn)識(shí)到模型的價(jià)值，那么教師就必須理解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在機(jī)制，以及理解學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中會(huì)有怎樣的心理歷程，只有這樣才能確定出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模特點(diǎn)的教學(xué)路徑，也才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在一步步的積累中上升為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

理解數(shù)學(xué)建模的含義

從一般意義的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)建模就是指建立數(shù)學(xué)模型. 理解數(shù)學(xué)建模含義時(shí)，首先要知道什么是數(shù)學(xué)模型. 通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型是指針對(duì)一個(gè)特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)其特有的本質(zhì)規(guī)律進(jìn)行一系列簡(jiǎn)化、假設(shè)處理，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型. 從這樣的理解可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型與人們常說(shuō)的實(shí)物模型并不完全是一回事，數(shù)學(xué)模型可以包括實(shí)物模型，比如教學(xué)“長(zhǎng)方形”時(shí)，給學(xué)生呈現(xiàn)的長(zhǎng)方形物體就是一個(gè)實(shí)物模型；但是更多情況下，數(shù)學(xué)模型往往是結(jié)構(gòu)模型，也就是借助數(shù)學(xué)工具來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的模型. 相應(yīng)地，建立這樣模型的過(guò)程，就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程. 從宏觀角度來(lái)認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果解決實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn). 數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)的是讓學(xué)生參與思考過(guò)程，致力于學(xué)生思維能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展［1］.

由此可見，面向初中生的數(shù)學(xué)建模，要將其理解為促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、優(yōu)化學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的有效手段. 數(shù)學(xué)模型是客觀的，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程卻充滿著主觀特征. 數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的相關(guān)概念與規(guī)律可以稱為數(shù)學(xué)模型，在解決典型問(wèn)題時(shí)形成的一般性思路也可以歸納為數(shù)學(xué)模型，因此建構(gòu)重要的數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，總結(jié)問(wèn)題解決思路的過(guò)程，又可以理解為數(shù)學(xué)建模過(guò)程. 但是這樣宏觀的理解，去思考數(shù)學(xué)建模對(duì)于日常教學(xué)的意義，還需要形成如下兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

其一，數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的本質(zhì). 傳統(tǒng)意義上對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)，就是學(xué)生接受教師所講授的數(shù)學(xué)知識(shí)，然后將這些數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于解題和考試. 當(dāng)下的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事情，學(xué)生所獲得的知識(shí)不是由教師傳遞的，而是由學(xué)生自主建構(gòu)的. 對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)而言，這樣的建構(gòu)過(guò)程與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程高度相關(guān)，可以說(shuō)離開了數(shù)學(xué)建模過(guò)程，就談不上數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu). 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的內(nèi)核，體現(xiàn)著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，彰顯著數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)形成的基本特征.

其二，數(shù)學(xué)建模是提升學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要途徑. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生成長(zhǎng)的意義在于幫助學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 除此之外，在“用數(shù)學(xué)教”的理念下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還承擔(dān)著提升學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的作用. 數(shù)學(xué)建模能夠讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型建立的過(guò)程，能夠讓學(xué)生在此過(guò)程中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，從而讓學(xué)生在體驗(yàn)的過(guò)程中形成關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，而這正是學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要組成部分. 理解數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性作用，用數(shù)學(xué)建模提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，也是其中的重要內(nèi)容.

基于以上兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)，當(dāng)面向初中生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，教師就應(yīng)當(dāng)努力創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中有深刻體驗(yàn)，在認(rèn)同數(shù)學(xué)建模價(jià)值的同時(shí)，可獲得數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)與問(wèn)題解決的一般性思路. 當(dāng)然需要指出的是，對(duì)于初中生而言，數(shù)學(xué)建模重在過(guò)程的體驗(yàn)，而不是“數(shù)學(xué)建?！备拍畹暮?jiǎn)單記憶，更不是貼標(biāo)簽式的教學(xué).

探究數(shù)學(xué)建模的路徑

站在學(xué)生的角度研究數(shù)學(xué)建模，有研究者認(rèn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可以分為兩類：一是發(fā)現(xiàn)一類事物與數(shù)量關(guān)系、空間形式有關(guān)的一般規(guī)律，并通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言將這些規(guī)律表示出來(lái)，形成一般模型；二是面對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境，通過(guò)調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)分析問(wèn)題. 利用已有的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，這兩類建?；顒?dòng)是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的［2］. 其實(shí)這兩類建?；顒?dòng)就是上面提及的分別面向數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)與問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)建模過(guò)程. 這個(gè)過(guò)程是面向?qū)W生的，如同上面所強(qiáng)調(diào)的那樣，只有讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模過(guò)程，數(shù)學(xué)建模的意義才能凸顯出來(lái). 根據(jù)筆者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，此處必須重點(diǎn)突出學(xué)生的體驗(yàn)感、獲得感（主要面向數(shù)學(xué)知識(shí)與問(wèn)題解決方法的獲得，通常屬于認(rèn)知領(lǐng)域）和成就感（主要面向?qū)W生的學(xué)習(xí)感受，通常屬于情感領(lǐng)域）. 作為初中數(shù)學(xué)教師，必須把握學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的相關(guān)體驗(yàn)，其中最值得關(guān)注的就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模時(shí)的內(nèi)在心理機(jī)制，這是數(shù)學(xué)建模路徑得以總結(jié)出來(lái)并發(fā)揮作用的關(guān)鍵.

研究表明，當(dāng)遇到具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生所表現(xiàn)出來(lái)的問(wèn)題解決思路并不清晰，已有經(jīng)驗(yàn)與新問(wèn)題之間的交互、知識(shí)建構(gòu)或問(wèn)題解決所需要的數(shù)學(xué)工具選擇等，都需要不斷地摸索才能最終成型. 這一點(diǎn)符合初中生的認(rèn)知特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)建模必須重視的現(xiàn)實(shí). 認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)后再去歸納數(shù)學(xué)建模的途徑，可以概括為：面向初中生的數(shù)學(xué)建模，應(yīng)當(dāng)在把握初中生學(xué)習(xí)心理的基礎(chǔ)上，通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)，并讓學(xué)生走入情境中，然后充分激活已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并確定知識(shí)建構(gòu)或問(wèn)題解決的程序. 在此過(guò)程中應(yīng)當(dāng)滲透試錯(cuò)與糾錯(cuò)的環(huán)節(jié)，確保學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)與問(wèn)題解決過(guò)程簡(jiǎn)練化、模式化，最后通過(guò)學(xué)習(xí)總結(jié)，提煉數(shù)學(xué)建模思想，并在變式訓(xùn)練中強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思路，以確保數(shù)學(xué)建模在學(xué)生的思維中落地生根.

例如，在“軸對(duì)稱”這一知識(shí)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)為當(dāng)學(xué)生看到軸對(duì)稱這一概念時(shí)，能夠在大腦中浮現(xiàn)出軸對(duì)稱的相關(guān)圖形（即表象），同時(shí)反映出軸對(duì)稱的基本性質(zhì)；除此之外，在現(xiàn)實(shí)生活中看到軸對(duì)稱物體時(shí)，能夠迅速反映出軸對(duì)稱的概念，并且介入軸對(duì)稱的性質(zhì)去演繹. 對(duì)于這樣的理解，設(shè)計(jì)本內(nèi)容的教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)在意以下兩個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生建立軸對(duì)稱的表象.

在生活中關(guān)于軸對(duì)稱的實(shí)例并不少見，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)當(dāng)努力的是：通過(guò)列舉若干個(gè)例子，讓學(xué)生利用分析與綜合的方法，發(fā)現(xiàn)這些例子的共同特征. 這是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，要將生活中軸對(duì)稱實(shí)例的非數(shù)學(xué)要素如顏色等去除，然后從對(duì)稱的角度去解析. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，對(duì)這一環(huán)節(jié)通常比較重視，因此這里不再贅述. 但是需要強(qiáng)調(diào)的一個(gè)細(xì)節(jié)是，應(yīng)當(dāng)在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中讓學(xué)生有動(dòng)手做的機(jī)會(huì). “做”的方式可以是多樣的：可以讓學(xué)生在草稿紙上畫軸對(duì)稱圖形，也可以讓學(xué)生用類似于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法去“做”軸對(duì)稱圖形. 這個(gè)細(xì)節(jié)的價(jià)值是不言而喻的，最重要的一點(diǎn)就是學(xué)生可以在動(dòng)手做的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的內(nèi)涵是“對(duì)稱軸”（當(dāng)然此時(shí)學(xué)生還不知道這一概念，學(xué)生會(huì)用生活語(yǔ)言如“畫一條線”來(lái)表示對(duì)對(duì)稱軸的認(rèn)識(shí)），說(shuō)得具體一點(diǎn)就是學(xué)生畫圖或折疊時(shí)，發(fā)現(xiàn)只要有了一根線，那么軸對(duì)稱圖形就是精確的軸對(duì)稱，這比學(xué)生最初嘗試通過(guò)目測(cè)的方法畫出軸對(duì)稱圖形的效果要好得多. 實(shí)際上，通過(guò)學(xué)生的這一動(dòng)手做，在強(qiáng)化對(duì)稱軸價(jià)值的同時(shí)，使得學(xué)生大腦中的模型更加清晰.

環(huán)節(jié)二：形成軸對(duì)稱概念，當(dāng)面對(duì)現(xiàn)實(shí)例子時(shí)進(jìn)行解釋.

當(dāng)學(xué)生大腦中的軸對(duì)稱表現(xiàn)豐富后，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言自然就是：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，實(shí)現(xiàn)兩邊的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.

這樣一段數(shù)學(xué)語(yǔ)言所描述的就是軸對(duì)稱這一概念的數(shù)學(xué)本質(zhì). 為了防止學(xué)生死記硬背，教師必須強(qiáng)調(diào)，在記住這句話的同時(shí)，大腦中要有相應(yīng)的軸對(duì)稱例子出來(lái). 此時(shí)教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生舉出新的例子，讓學(xué)生進(jìn)行判斷；或者讓學(xué)生舉出新的例子，讓學(xué)生互相判斷. 這是一個(gè)變式訓(xùn)練的過(guò)程，可以鞏固軸對(duì)稱模型的認(rèn)知.

值得一提的是，此處同樣有一個(gè)環(huán)節(jié)值得強(qiáng)調(diào)，那就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，讓學(xué)生知道自己是怎樣建立軸對(duì)稱這一概念的. 這樣的反思通常會(huì)淡化知識(shí)而強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方法，因此就能有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

數(shù)學(xué)建模的前景思考

縱觀數(shù)學(xué)教學(xué)研究發(fā)展的歷史，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在其中發(fā)揮著關(guān)鍵性作用，國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)從課程層面約定了數(shù)學(xué)建模的重要性，這對(duì)于日常教學(xué)而言，是將數(shù)學(xué)建模當(dāng)成了國(guó)家課程教育的意志，這意味著日常教學(xué)要將數(shù)學(xué)建模當(dāng)作教學(xué)的重要線索，要在促進(jìn)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的同時(shí)，讓學(xué)生更多地體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的魅力.

從當(dāng)前的教學(xué)實(shí)際情況來(lái)看，初中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著實(shí)際評(píng)價(jià)和選拔與課程標(biāo)準(zhǔn)落實(shí)之間的矛盾，這是一個(gè)不爭(zhēng)事實(shí)，其根本原因在于前者只能以題目為載體，而后者則需要同時(shí)關(guān)注考試評(píng)價(jià)、選拔與核心素養(yǎng)的發(fā)展. 這意味著在可以預(yù)見的未來(lái)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)必須堅(jiān)持兩條主線，而且要將這兩條主線充分結(jié)合在一起. 在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，在發(fā)展學(xué)生應(yīng)試能力的同時(shí)，數(shù)學(xué)建模進(jìn)行得越充分，那么學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與運(yùn)用水平就會(huì)越高，這是可以預(yù)期的. 在這樣的背景下，初中數(shù)學(xué)教師有一個(gè)重要的任務(wù)，那就是運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想去認(rèn)識(shí)并把握模型教學(xué)的意蘊(yùn). 這實(shí)際上是說(shuō)數(shù)學(xué)建模引導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了更高要求：從教學(xué)任務(wù)的角度來(lái)看，除應(yīng)試能力培養(yǎng)外多了包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的核心素養(yǎng)教學(xué)主線；從教學(xué)時(shí)間的角度來(lái)看，將原本用于應(yīng)試的一部分時(shí)間解放出來(lái)用于培育包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，考驗(yàn)著教師的教學(xué)水平和教學(xué)理念，甚至還考驗(yàn)著教師的教學(xué)魄力；從教學(xué)策略的角度來(lái)看，如何在知識(shí)理解與運(yùn)用的教學(xué)基礎(chǔ)上，將包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的核心素養(yǎng)滲透其中，考驗(yàn)著教師的教學(xué)智慧……

總體而言，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素，未來(lái)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要堅(jiān)持以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，并努力以數(shù)學(xué)建模帶動(dòng)其他要素落地.

參考文獻(xiàn)：

［1］閆如明，呂吉華. 對(duì)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的幾點(diǎn)思考——以解直角三角形為例［J］. 山東教育，2021（Z2）：51-52.

［2］湯靜. 知行共驅(qū)：指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的初中路徑探研［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）， 2021（22）：79-81.