范志曄　林永忠　翁建新

在“一核四層四翼”的高考評(píng)價(jià)體系總體框架下，試題的命制要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.試題命制必然要關(guān)注試題如何體現(xiàn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.為此，筆者在我市一次?？贾幸曰跈E圓第三定義命制了一道解析幾何多選題壓軸題，現(xiàn)成文，旨在與同行共同學(xué)習(xí)交流.

1 試題展示

（多選題） 已知A、B是橢圓E：x2/4+y2=1的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（1，0）且斜率不為零的直線與E交于M、N兩點(diǎn)，kAM，kBM，kAN，kBN分別表示直線AM，BM，AN，BN的斜率，則下列結(jié)論中正確的是（）.

A.kMA·yd·kMB=－1/4B. kBM·yd·kBN=－3/4 C.kMA=3kBN D.直線AM與BN的交點(diǎn)的軌跡方程是x=4

2 設(shè)計(jì)過(guò)程

2.1 命題意圖

本題是以橢圓的第三定義為背景命制的一道多選題，旨在考查直線與圓錐曲線位置中的定值定量、軌跡等問(wèn)題；本題綜合性較高，旨在考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的掌握情況，檢測(cè)學(xué)生的綜合能力.

2.2命題過(guò)程

（1）立意與選材

在圓錐曲線的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)課本有較多的二級(jí)結(jié)論，在研究二級(jí)結(jié)論的基礎(chǔ)上加以拓展是教學(xué)的重難點(diǎn)，也是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑，基于此，若能在教材原有的題目上進(jìn)一步延伸拓展，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三、觸類旁通，從而高效學(xué)習(xí).人教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)P108例3和P121探究就是雙曲線的第三定義，故有以此為背景進(jìn)一步拓展并命制相關(guān)題目的想法.

（2）聯(lián)系與搭架

教材以雙曲線為背景，在命題時(shí)進(jìn)行遷移，拓展出一般化的結(jié)論.但作為一道多項(xiàng)選擇題，若是用一般化結(jié)論進(jìn)行命題，學(xué)生不好下手，又學(xué)生對(duì)橢圓相對(duì)熟悉，故以具體的橢圓為背景命制試題.并以橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與左右頂點(diǎn)重合）到左右頂點(diǎn)兩項(xiàng)的斜率的積為定值－b2/a2為基調(diào)，進(jìn)一步拓展命制.

（3）加工與調(diào)整

第一稿：已知A、B是橢圓E：x2/4+y2=1的左右頂點(diǎn)，M、N是異于A、B的兩點(diǎn)，且kBN·kMB=－3/4，則下列選項(xiàng)中是正確的有（ ）.

4 試題評(píng)析

本題是在橢圓的第三定義背景下命制的一道多項(xiàng)選題壓軸題，試題設(shè)想考查學(xué)生對(duì)直線與圓錐曲線位置中的定量、軌跡等知識(shí)的掌握熟練程度；同時(shí)也考查學(xué)生在解題過(guò)程中根據(jù)題設(shè)條件適時(shí)調(diào)整運(yùn)算方向和運(yùn)算策略方案的能力，這也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的有效途徑.當(dāng)然在關(guān)注通性通法的基礎(chǔ)上，作為選擇題也可以從特殊值角度分析來(lái)降低難度，如從特殊點(diǎn)M（0，1）入手，結(jié)合對(duì)稱性取兩個(gè)特殊位置分析便于找到直線AM與BN交點(diǎn)的軌跡方程就是x=4.這符合現(xiàn)行的高考命題目的.本題當(dāng)中若不借助kMA與kBN的關(guān)系求軌跡方程，過(guò)程略顯麻煩，實(shí)際本題設(shè)置選項(xiàng)C就是為D選項(xiàng)做鋪墊用的.本題的測(cè)試具備一般性解決、功能性檢測(cè)、特殊性反饋，對(duì)后續(xù)的復(fù)習(xí)能夠起到很好的示范作用，可作為一道選擇壓軸題.

5 命題拓展

拓展一：已知A、B是橢圓E：x2/a2+y2/b2=1的左右頂點(diǎn)，過(guò)E的右焦點(diǎn)F的直線與E交于M、N兩點(diǎn)，則直線AM、BN交點(diǎn)的軌跡方程是x=a2/c.反之：點(diǎn)P是直線x=a2/c上的一點(diǎn)，直線AP、BP分別與E交于M、N兩點(diǎn)，則MN過(guò)定點(diǎn)F.（證明略）

拓展二：已知P是橢圓E：x2/a2+y2/b2=1的定點(diǎn)，M、N是E上的兩動(dòng)點(diǎn)，若kMP·kNP為定值，則直線MN過(guò)定點(diǎn).（證明略）

基于教材中橢圓的第三定義背景進(jìn)行試題命制，源于教材又高于教材，符合中國(guó)考試評(píng)價(jià)要求，試題能夠有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)所習(xí)知識(shí)的掌握情況，考查數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)達(dá)成情況，同時(shí)試題命制心路的呈現(xiàn)也能正確引導(dǎo)后續(xù)教學(xué).

參考文獻(xiàn)

［1］史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀［M］.北京：高等教育出版社，2018

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