摘?要：文章為研究具有公平偏好的零售商在促銷努力可變情況下的供應(yīng)鏈決策與協(xié)調(diào)機(jī)制，引入公平效用函數(shù)，構(gòu)建供應(yīng)商主導(dǎo)的二級供應(yīng)鏈系統(tǒng)，主要考察收益共享契約的協(xié)調(diào)問題。研究表明：公平偏好并不會(huì)影響促銷努力可變時(shí)的收益共享契約，但是限制了收益分享比例的范圍；在一定范圍內(nèi)供應(yīng)商最大收益分配隨著公平關(guān)切度的增大而減小，零售商存在最低收益分配，隨著公平關(guān)切度的增大而增大。

關(guān)鍵詞：公平偏好；供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)；收益共享契約

中圖分類號：F506文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1005-6432（2023）21-0177-04

DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2023.21.177

1?引言

激烈的市場競爭中，企業(yè)為了自身的發(fā)展而采取促銷的手段已經(jīng)成為市場的常態(tài)，由于市場的不穩(wěn)定以及產(chǎn)品的特殊性等導(dǎo)致企業(yè)會(huì)彈性地選擇促銷方式來獲取盡可能多的利潤。在這種情況下促銷努力水平是難以準(zhǔn)確估計(jì)的，而大部分的研究都假定其在銷售期初為一個(gè)固定的常數(shù)[1-2]，與現(xiàn)實(shí)不符。相關(guān)學(xué)者對促銷努力下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)進(jìn)行了大量的研究，Taylor[3]基于促銷努力影響市場需要的情況下，設(shè)計(jì)合理的返利和退貨契約；汪峻萍等[4]考慮顧客策略行為下，通過建立聯(lián)合促銷的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型來研究風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避對供應(yīng)商和零售商決策的影響；劉彩云等[5]利用CVaR研究在期末二次訂購時(shí)具有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和促銷努力零售商的決策問題。而往往決策者并非完全理性人，公平關(guān)切的行為偏好使得決策者更為關(guān)注供應(yīng)鏈的利潤分配。近年來，學(xué)者也逐漸重視行為偏好對供應(yīng)鏈管理的影響，王義寶等[6]研究了雙邊垂直和線下具有公平偏好的兩種零售商的雙渠道供應(yīng)鏈合作廣告模型；浦徐進(jìn)等[7]在制造商主導(dǎo)的二級供應(yīng)鏈系統(tǒng)中研究公平關(guān)切零售商對促銷努力以及供應(yīng)鏈整體效率的影響，并設(shè)計(jì)了基于Nash的收益共享契約協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈；Zhou等[8]證明零售商的公平偏好影響著廣告合作與減排成本分擔(dān)契約的協(xié)調(diào)。這些文獻(xiàn)大部分都是假設(shè)促銷努力不變，來對供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)進(jìn)行研究。

羅新星等[9]基于風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，研究銷售期中零售商促銷努力可變的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。文章與文獻(xiàn)[9]雖然都關(guān)注了促銷努力可變時(shí)的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，但存在以下區(qū)別：文章考慮了零售商具有公平關(guān)切的行為偏好的情形；文章既考慮了供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)，也對供銷雙方的收益進(jìn)行了探討。

2?問題描述

文章基于一個(gè)單周期二級供應(yīng)鏈系統(tǒng)，研究零售商促銷努力可變的情況下，公平偏好對于供應(yīng)鏈系統(tǒng)的影響，供應(yīng)商為風(fēng)險(xiǎn)中性，零售商具有公平關(guān)切的行為偏好。雙方進(jìn)行Stackelberg?博弈，供應(yīng)商為領(lǐng)導(dǎo)者，供應(yīng)商和零售商都為追求自身利益或者效用最大化進(jìn)行決策，銷售期初，供銷雙方商定收益共享契約；銷售期中，雙方重新商定收益共享契約來獲得更大的利潤。設(shè)e為促銷努力水平，努力成本為C（e），C′（e）>0；C″（e）>0；隨機(jī)需求，X=z（e）t+ξ，z（e）為單位時(shí)間需求增量，z′（e）>0，z″（e）<0，ξ是與時(shí)間t有關(guān)的隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f（x－z（et）t|t），概率分布函數(shù)為F（x－z（et）t|t），T表示總銷售期，供應(yīng)商的生產(chǎn)成為cs，零售商的促銷成本cr和市場價(jià)格p都是給定的，批發(fā)價(jià)格為w，訂貨量為Q，零售商和供應(yīng)商的促銷成本分擔(dān)系數(shù)分別為φ、?1－φ，收益共享比例為φ、?1－?φ。假定零售商存在公平偏好，公平關(guān)切度λ>0，公平得失參考系數(shù)為α。

3?銷售期期初的收益共享契約

3.1?集中決策

在集中決策情況下，供應(yīng)鏈各成員以整體利益最大為目標(biāo)進(jìn)行決策，則供應(yīng)鏈的期望利潤為：

∏Tsc（Q，eT）=p（Q－∫Qz（eT）TF（x－z（eT）T|T）d（x））－（cs+cr）Q－C（eT）（1）

引理1：集中決策下，零售商的最優(yōu)訂購量Q*與最優(yōu)促銷努力水平e*T滿足

F（Q*－z（e*T）T|T）=p－cs－crp（2）

C′（e*T）z′（e*T）=p－cs－cr（3）

證明：將式（1）的利潤函數(shù)求二階導(dǎo)，可得Hessian矩陣負(fù)定，因此∏Tsc是關(guān)于Q和eT的凹函數(shù)，存在唯一最優(yōu)解，令∏TscQ=0、∏TsceT=0，可求得式（2），將式（2）帶入∏TsceT=0中，求得式（3），證畢。

3.2?分散決策

零售商具有公平關(guān)切的行為偏好時(shí)，會(huì)更加關(guān)注供應(yīng)鏈成員間利潤分配的公平，以公平效用最大為目標(biāo)。零售商的期望利潤為：

∏Tr（Q，eT）=φTp（Q－∫Qz（eT）TF（x－z（eT）T|T）d（x））－（w+cr）Q－φTC（eT）（4）

供應(yīng)商的期望利潤為：

∏Ts（Q，eT）=（w－cs）Q+（1－φT）p（Q－∫Qz（eT）TF（x－z（eT）T|T）d（x））－（1－φT）C（eT）（5）

當(dāng)零售商具有公平偏好時(shí)，其銷售期初效用函數(shù)為：

UTr=∏Tr－λ（α∏Ts－∏Tr）=（1+λ）∏Tr－λα∏Ts（6）

引理2：分散決策下，當(dāng)且僅當(dāng)φT>λα1+λ+λα、φT>λα1+λ+λα，供應(yīng)鏈存在最優(yōu)決策，零售商的最優(yōu)訂購量QdT與最優(yōu)促銷努力水平edT滿足

F（QdT－z（eT）T|T）］=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］p［（1－φT）λα－（1+λ）φT］（7）

C′（edT）z′（edT）=（1+λ）［（w+cr）－φTp］+λα［（w－cs）+（1－φT）p］（1－φT）λα－（1+λ）φT（8）

證明：對式（2）的零售商的效用函數(shù)求二階導(dǎo)，根據(jù)z′（eT）>0、z″（eT）<0、C′（eT）>0、C″（eT）>0，得?φT>λα1+λ+λα，φT>λα1+λ+λα?xí)r海森矩陣負(fù)定，存在唯一最優(yōu)解，令UTrQ=0、UTreT=0，即F（QdT－z（eT）T|T）］=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］p［（1－φT）λα－（1+λ）φT］，將式（7）帶入U(xiǎn)TreT=0中，得式（8），證畢。

定理1：當(dāng)零售商的收入分享比例φT和促銷成本承擔(dān)比例φT滿足max（φ—T，φ∧T）<φT<1且φT=φT=w+crcs+cr時(shí)，供應(yīng)鏈能夠?qū)崿F(xiàn)協(xié)調(diào)。

證明：要使供應(yīng)鏈達(dá)到協(xié)調(diào)，即零售商在分散決策下的決策能使整個(gè)供應(yīng)鏈的績效達(dá)到集中決策的水平。

p－cs－crp=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］p［（1－φT）λα－（1+λ）φT］p－cs－cr=（1+λ）（w+cr－φTp）+λα［w－cs+（1－φT）p］（1－φT）λα－（1+λ）φT（9）

由式（9）可得ΦT=φT，再將其代回式（9）中可得φT=w+crcs+cr。

0<φT<1，可知w0，可得即φT>crcs+cr，令crcs+cr=φ∧T，即φT>φ∧T，由引理2可知φT、φT滿足φT>λα1+λ+λα、φT>λα1+λ+λα，令λα1+λ+λα=φT。此時(shí)可以得到

∏Tr（Q*，e*T）=φT∏Tsc（Q*，e*T）

UTr（Q*，e*T）=［φT（1+λ+λα）－λα］∏Tsc（Q*，e*T）

∏Ts（Q*，e*T）=（1－φT）∏Tsc（Q*，e*T）

證畢。

根據(jù)定理1，滿足獲得多少收益比例就承擔(dān)多少促銷成本的收益共享契約能夠協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈，公平偏好并不會(huì)影響協(xié)調(diào)時(shí)的收益共享契約，但在一定程度上影響著其對利益分配比例的范圍，供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)時(shí)零售商的收益分享比例轉(zhuǎn)變?yōu)榱闶凵坛杀菊颊麄€(gè)供應(yīng)鏈成本的比值。

4?銷售期的收益共享契約

4.1?集中決策

在銷售期中，零售商與供應(yīng)商根據(jù)剩余產(chǎn)品數(shù)量、供需關(guān)系重新商定收益共享契約，使得在剩余銷售期能夠?qū)崿F(xiàn)供應(yīng)鏈整體利益最大，剩余銷售期供應(yīng)鏈的期望利潤為：

∏tsc（q，et）=p（q－∫qz（et）tF（x－z（et）t|t）d（x））－C（et）（10）

引理3：集中決策下零售商的最優(yōu)促銷努力水平e*t滿足

C′（edt）z′（edt）=F（q－z（et）t|t）p（11）

證明：對式（10）求關(guān)于et的一階、二階導(dǎo)數(shù)。因?yàn)閜>0，z″（et）<0，C″（et）>0，因此2∏tsc（q，et）et2<0，∏tsc（q，et）為嚴(yán)格凹函數(shù)，令∏tsc（q，et）et=0，可得式（11），證畢。

4.2?分散決策

考慮零售商的公平偏好，在銷售期中，由于各種不確定因素，供應(yīng)鏈成員重新商定收益共享契約來使剩余銷售期中達(dá)到效用最大的目標(biāo)。在剩余銷售期中零售商的期望利潤為：

∏tr（q，et）=φtpSt（q，et）－φtC（et）（12）

供應(yīng)商的期望利潤為：

∏ts（q，et）=（1－Φt）pSt（q，et）－（1－φt）C（et）（13）

當(dāng)零售商具有公平偏好時(shí)，剩余銷售期的期望效用為：

Utr=（1+λ）∏tr－λα∏ts（14）

引理4：分散決策下銷售期中零售商收益分享比例和成本分擔(dān)比例分別滿足Φt>λα1+λ+λα、φt>λα1+λ+λα?xí)r，其最優(yōu)促銷努力水平edt滿足

C′（edt）z′（edt）=（1+λ）Φt-λα（1-Φt）（1+λ）φt-λα（1-φt）F（q-z（et）t|t）p（15）

證明：對式（14）求關(guān)于et的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

當(dāng)Φt＞λα1+λ+λα、φt＞λα1+λ+λα?xí)r，由于z″（et）＜0，C″（et）＞0，2Utr（q，et）e2t＜0，因此Utr為嚴(yán)格凹函數(shù)，令Utr（q，et）et=0，得式（15），證畢。

定理2：收益共享契約滿足Φt=φt且Φ—t＜Φt＜1時(shí)能使銷售期期中的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。

證明：要使剩余銷售期內(nèi)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)，使零售商在剩余銷售期做的決策的績效達(dá)到集中決策下整個(gè)供應(yīng)鏈水平。即e*t=edt，根據(jù)式（11）和式（15）得：

F（q-z（et）t|t）p=（1+λ）Φt-λα（1-Φt）（1+λ）φt-λα（1-φt）F（q-z（et）t|t）p（16）

由式（16）得Φt=φt

由引理4可知λα1+λ+λα＜Φt＜1時(shí)，收益共享契約能使剩余銷售期內(nèi)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。令λα1+λ+λα=Φ—t，則Φ—t＜Φt＜1，將式Φt=φt代入式（12）、式（13）、式（14）得

Utr（q，e*t）=［（1+λ+λα）Φt-λα］∏tsc（q，e*t）

∏tr（q，e*t）=Φt∏tsc（q，e*t）

∏ts（q，e*t）=（1-Φt）∏tsc（q，e*t）

證畢。

在銷售期中，零售商的公平偏好并不會(huì)影響促銷努力可變時(shí)的收益共享契約，當(dāng)且僅當(dāng)Φ—t＜Φt＜1時(shí)，供銷雙方獲得多少收益比例則承擔(dān)多少比例的促銷成本依舊能使銷售期中的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)，即在銷售過程中可不變更收益共享契約。

定理3：供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)時(shí)，當(dāng)Φ—＜Φ＜1供應(yīng)商的最大利潤分配Φ—（λ）隨著λ增加而減少，零售商的最小分配Φ（λ）隨著λ增加而增大；當(dāng)Φ∧＜Φ＜1時(shí)，零售商的公平偏好并不會(huì)影響供應(yīng)商的最大利潤和零售商的最低利潤分配。

證明：當(dāng)Φ—＞Φ∧時(shí)，Φ—＜Φ＜1，∏r（Q*，e*）=Φ∏sc（Q*，e*）。

令Φ（λ）=λα1+λ+λα，對其求關(guān)于λ的一階導(dǎo)數(shù)，Φ（λ）λ=α（1+λ+λα）2＞0，Φ（λ）隨著λ的增大而增大，∏s（Q*，e*）=（1-Φ）∏sc（Q*，e*），0＜1-Φ＜1-Φ—?。令Φ—（λ）=1-Φ—=1+λ1+λ+λα，對Φ—（λ）求關(guān)于λ的一階導(dǎo)數(shù)，Φ—T（λ）λ=-α（1+λ+λα）2＜0，因此Φ—（λ）隨著（λ）的增大而減小，當(dāng)Φ—＜Φ∧時(shí)，則Φ∧＜Φ＜1。

∏r（Q*，e*）＞Φ∧∏sc（Q*，e*）=crcs+cr∏sc（Q*，e*）（17）

∏s（Q*，e*）＜（1-Φ∧）∏sc（Q*，e*）=crcs+cr∏sc（Q*，e*）（18）

從式（17）、式（18）可以看出，λ、α對零售商最低利益分配和供應(yīng)商的最大利益分配并不產(chǎn)生影響。零售商的最低分配份額是其促銷成本占整個(gè)供應(yīng)鏈成本的比值，供應(yīng)商的最大分配份額是其生產(chǎn)成本占整個(gè)供應(yīng)鏈成本的比值，證畢。

由定理3可知，收益分享比例的取值范圍影響著供應(yīng)鏈的利潤分配，當(dāng)Φ—＜Φ＜1時(shí)，供應(yīng)商存在最大的利潤分配，并且隨著零售商的公平關(guān)切度的增大而減少，同時(shí)零售商存在最低的利潤分配，隨著公平關(guān)切度的增大而增大。當(dāng)Φ∧＜Φ＜1時(shí)，零售商的公平偏好并不會(huì)對供應(yīng)商的最大利潤和零售商的最低利潤分配產(chǎn)生影響。

5?結(jié)論

當(dāng)零售商的促銷努力可變的情況下，考慮由風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商和公平偏好零售商組成的單周期二級供應(yīng)鏈系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上建立了收益共享契約模型，討論公平偏好對供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)及供應(yīng)商的影響。研究表明：

（1）當(dāng)零售商具有公平偏好時(shí)，滿足獲得多少收益比例就承擔(dān)多少促銷努力成本的收益共享契約依舊能夠使供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)，但必須滿足一定的限制條件。

（2）在供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)情況下，收益分享比例的范圍決定零售商的公平偏好是否對供應(yīng)商最大收益和零售商最低利潤分配產(chǎn)生影響。

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［作者簡介］孫萵（1998—），女，江蘇南京人，昆明理工大學(xué)碩士研究生，管理科學(xué)與工程專業(yè)，研究方向：供應(yīng)鏈。