哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué) 張玉萍

2023年教育部教育考試院命制4套高考數(shù)學(xué)試卷，分別是全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、新課標(biāo)Ⅰ卷、新課標(biāo)Ⅱ卷。高考數(shù)學(xué)試題遵循了高考評(píng)價(jià)體系理念，以“立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)”為統(tǒng)領(lǐng)，以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，試題充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。在對(duì)高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)進(jìn)行全面考查的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念和學(xué)生應(yīng)具備的關(guān)鍵能力，尤其深化對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)、問題解決和可持續(xù)學(xué)習(xí)能力的考查，達(dá)到落實(shí)高考育人的目的（具體考查內(nèi)容詳見表1）。

表1 2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題知識(shí)點(diǎn)分布表

通過對(duì)四套試題考查內(nèi)容梳理和對(duì)比，2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題有如下特點(diǎn)。

一、強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，注重全面

2023年的4套高考數(shù)學(xué)試卷所考查的知識(shí)點(diǎn)基本相同，呈現(xiàn)的先后順序略有差異，基礎(chǔ)性和全面性依然是數(shù)學(xué)試題的主要特點(diǎn)，尤其是選擇題和填空題，從集合、邏輯到不等式，從函數(shù)、數(shù)列到導(dǎo)數(shù)，從三角函數(shù)到向量，從立體幾何到解析幾何，從排列組合到概率統(tǒng)計(jì)，幾乎涵蓋著高中數(shù)學(xué)各章節(jié)的絕大部分知識(shí)點(diǎn)。新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的4個(gè)選項(xiàng)設(shè)問不但角度多，而且層次清晰，依次遞進(jìn)，有的前面選項(xiàng)為后面的選項(xiàng)提供了條件，從不同的角度和不同的梯度全面地考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有一定的區(qū)分度。

例1（新課標(biāo)Ⅰ卷·12）：下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的是（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體

【解析】選項(xiàng)A、B：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)1m大于球體的直徑0.99m，面對(duì)角線長(zhǎng)m大于正四面體棱長(zhǎng)1.4m,所以球體和正四面體能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A、B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)m小于圓柱體的高1.8m，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；選項(xiàng)D：由于圓柱體的高僅為0.01m，所以只需考慮正方體中是否存在一個(gè)截面，使得底面直徑為1.2m的圓內(nèi)含于該平面圖形。正方體中最大的截面是以正方體中的六條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正六邊形，其內(nèi)切圓的直徑為m，因?yàn)閙＞1.2m，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可知選項(xiàng)D正確。

評(píng)析：本題以立體幾何組合體為背景，既考查了正方體、正四面體，又考查了圓柱體，可以說全面考查了簡(jiǎn)單多面體和旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)。作為選擇題的壓軸題目，情境設(shè)置以學(xué)生最熟悉的正方體為載體，考查立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)和空間想象能力，從利用正方體的棱長(zhǎng)到面對(duì)角線長(zhǎng)和體對(duì)角線長(zhǎng)，再到體對(duì)角線所在的正六邊形最大截面解決問題，層層深入，步步進(jìn)階。

二、突出核心，導(dǎo)向應(yīng)用

（一）以數(shù)學(xué)核心概念為紐帶考查數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)核心概念是數(shù)學(xué)課程中的主要概念，其反映的數(shù)學(xué)思想貫穿于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容體系，是數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”。它既具有基礎(chǔ)性，又具有生長(zhǎng)性，高考?xì)v來重視支撐數(shù)學(xué)學(xué)科的主干知識(shí)和核心概念的考查，用核心概念將所考查的知識(shí)有機(jī)組合，構(gòu)成關(guān)聯(lián)、綜合的問題，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)識(shí)客觀世界的基本思想和方法，揭示學(xué)科本質(zhì)，考查學(xué)生的關(guān)鍵能力。

例2（新課標(biāo)Ⅰ卷·7）：記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【解析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式，求出數(shù)列

兩式相減得an=nan+1-(n-1)an-2tn，即an+1-an=2t，對(duì)n=1也成立，故答案為C.

評(píng)析：本題是一個(gè)具有多點(diǎn)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題，表面上呈現(xiàn)給學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的定義和性質(zhì)及充要條件的概念，但試題內(nèi)部隱含著函數(shù)這一核心概念，因?yàn)橐话銇碚f，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看做是一次函數(shù)，前項(xiàng)和公式可以看做是沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，所以{an}為等差數(shù)列，就是關(guān)于n的一次函數(shù)，故{}就是等差數(shù)列，反之{}就是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是一次函數(shù)，那么Sn就會(huì)成為沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)列{an}也一定是等差數(shù)列，從而直接就可以建立命題甲和乙的等價(jià)關(guān)系，即甲、乙互為充要條件。函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)最重要的概念，其蘊(yùn)含的函數(shù)思想貫穿在高中數(shù)學(xué)課程的始終，它是聯(lián)結(jié)兩個(gè)（包含多個(gè)）數(shù)學(xué)對(duì)象的橋梁，從學(xué)習(xí)函數(shù)到運(yùn)用函數(shù)思想解決其他問題是學(xué)生學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的標(biāo)志。

（二）以核心素養(yǎng)為目標(biāo)考查學(xué)生解決問題的能力

2023年高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)；注重引導(dǎo)教學(xué)。通過設(shè)計(jì)出基于真實(shí)問題情境、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)學(xué)科價(jià)值的綜合性問題，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析）的綜合考查。尤其針對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)，設(shè)計(jì)的問題入口寬，思考角度多，解題方法靈活多樣，有效地考查了學(xué)生的思維能力，甄別了學(xué)生的思維品質(zhì)。

例3（新課標(biāo)Ⅱ卷·21）：已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（-2，0），離心率為。

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，過點(diǎn)（-4，0）的直線與C的左支交于M、N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線上。

【解析】（1）由題意求得a、b的值即可確定雙曲線方程

（2）由（1）可得A1（-2，0），A2（2，0）。設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x=my-4，且=1聯(lián)立可得（4m2-1）y2-32my+48=0，且△=64（4m2+3）＞0，則y1+y2=

設(shè)直線MA1的方程為（x+2），直線NA2的方程為（x-2），聯(lián)立直線MA1與直線NA2的方程可得：

將韋達(dá)定理式帶入上式，消去y1計(jì)算可得即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x=-1上。

評(píng)析：本題考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有差異的學(xué)生會(huì)表現(xiàn)出不同的解題策略，首先邏輯推理和直觀想象能力強(qiáng)的學(xué)生會(huì)依據(jù)圖形的對(duì)稱性猜想出兩條動(dòng)直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)一定是定值，可以選擇特殊位置先探究出結(jié)果，點(diǎn)P在定直線x=-1上，再?gòu)奶厥獾揭话?，進(jìn)行有關(guān)任意性的證明，從而降低試題的運(yùn)算量；其次，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力較強(qiáng)的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)解析幾何中“非對(duì)稱結(jié)構(gòu)”的韋達(dá)定理的問題，如果學(xué)生掌握了“非對(duì)稱結(jié)構(gòu)”的運(yùn)算規(guī)則和算理，可以選擇配湊消元、和積轉(zhuǎn)化等運(yùn)算手段解決運(yùn)算問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和直覺思維相對(duì)弱的學(xué)生，就會(huì)半途而廢。由此可見，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生解決問題的真正法寶。

三、重視情境，體現(xiàn)創(chuàng)新

數(shù)學(xué)試題中情境主要包含現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境，2023年高考數(shù)學(xué)試題的情境設(shè)置更加真實(shí)和自然，與以往試題相比，控制了文字量與理解難度。

（一）現(xiàn)實(shí)情境更加貼近學(xué)生的生活

與往年高考試題相比，2023年高考試題的問題情境更加真實(shí)、自然，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)觀念的引領(lǐng)下，體會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看待世界的新角度，并能選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)科學(xué)合理地解決實(shí)際問題。

例4（新課標(biāo)Ⅱ卷·21）：甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi=1）=-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

【解析】（1）考記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，所以P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2A1）+P（B1）P（B2B1）=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

（2）設(shè)P（A）i=Pi，依題可知，P（B）i=1-Pi，則由全概率公式得P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（A）iP（Ai+1A）i+P（Bi）P（Ai+1Bi），

即Pi+1=0.6Pi+（1-0.8）×（1-Pi）=0.4Pi+0.2，將問題轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式。

（3）由于甲第i次投籃次數(shù)Yi服從二點(diǎn)分布，所以E，而前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為

所以當(dāng)n=0時(shí)，E（Y）=0

評(píng)析：本題考查了全概率公式、隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望及數(shù)列遞推關(guān)系等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是一個(gè)具有較復(fù)雜的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的實(shí)際問題，但試題以甲、乙兩人依次投籃為背景，投中者繼續(xù)投籃，未命中時(shí)則換為對(duì)方投籃，與以往的某些高考真題相比較，這樣的情境來源于學(xué)生的生活，容易讓學(xué)生理解題意。通過設(shè)問第二次恰為乙投籃的概率和前n次投籃中甲投籃的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望來考查新課標(biāo)新增內(nèi)容全概率公式，將概率的遞推關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列遞推關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，將復(fù)雜的隨機(jī)變量分布列問題轉(zhuǎn)化為二點(diǎn)分布問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)揭示客觀世界規(guī)律，描述客觀世界秩序的基本方法和手段，同時(shí)體現(xiàn)了“五育并舉，融合育人”的教育理念。

（二）科學(xué)情境的設(shè)置來源于教材

教材蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)素材，尤其是其中的例題和習(xí)題具有典型性、示范性和關(guān)聯(lián)性，所以一些高考試題來源于教材中例題和習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生要重視教材，利用好教材，不搞題海戰(zhàn)術(shù)，充分發(fā)揮教材在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。

例5（新課標(biāo)Ⅱ卷·12）：在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1-α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為（1-α）（1-β）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1概率為β（1- β）2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1- β）2+（1-β）3

D.當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)互斥事件概率的加法公式和相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，在較復(fù)雜的問題情境中分清事件之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

例6（《人教A版》選擇性必修三P51）：在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0或1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1或0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0或1是等可能的[1].

（1）分別求接收信號(hào)0和1的概率；

（2）已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)為1的概率。

評(píng)析：兩道題均以數(shù)字信號(hào)傳輸為背景，由教材例題中具體的數(shù)據(jù)傳輸概率值抽象成高考試題中數(shù)學(xué)符號(hào)，更具有一般性；由例題中一次傳輸?shù)礁呖碱}目中三次傳輸，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，教材考查的全概率公式和條件概率，高考題目考查是事件之間的關(guān)系及其概率運(yùn)算，顯然讓學(xué)生在相對(duì)熟悉的情境中解決實(shí)際問題，體現(xiàn)考試的公平性。同時(shí)高考試題來源于教材，促使學(xué)生學(xué)會(huì)讀書，從教材中主動(dòng)獲取知識(shí)，有利于提高學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力。

(三)數(shù)學(xué)情境為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)探究的空間

高考數(shù)學(xué)試題如何考查學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)，設(shè)計(jì)具有一定廣度、深度和開放性的問題情境是關(guān)鍵。

例7（新課標(biāo)Ⅰ卷·11）：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則（）.

A.f（0）=0 B.f（1）=0

C.f（x）是偶函數(shù)D.x=0為f（x）的極小值點(diǎn)

【解析】法1：利用賦值法，令x=y=0，f（0）=0f（0）+0f（0）=0，故A正確.

令x=y=1，f（1）=1 f（1）+1 f（1），則f（1）=0，故B正確.

令x=y=-1，f（1）= f（-1）+ f（-1）=2f（-1），則f（1）=0，

令y=-1，f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x），又函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，所以f（x）為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令f（x）=0，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)f（x）無(wú)極值，通過舉反例f（x）=0排除選項(xiàng)D.

另解為當(dāng)x2y2≠0時(shí)，對(duì)f（xy）=y2f（x）+x2f（y）兩邊同時(shí)除以x2y2，得到，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及該函數(shù)的奇偶性，可構(gòu)造特殊函數(shù)f（x）=，將抽象函數(shù)具體化，利用具體函數(shù)的圖像排除選項(xiàng)D.

評(píng)析：本題以抽象函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律為問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)豐富的性質(zhì)，首先能夠正面論證和反例排除，就能考察出學(xué)生良好的思維品質(zhì)和習(xí)慣。其次數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但能將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化和形象化更是高階思維和創(chuàng)新能力的體現(xiàn)。

面對(duì)這樣的高考數(shù)學(xué)試題，如何實(shí)現(xiàn)教考的良性互動(dòng)，體現(xiàn)考試評(píng)價(jià)對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)作用，跟上新高考改革的步伐，是一線教師亟待解決的問題。首先，實(shí)際教學(xué)要真正落實(shí)新課標(biāo)理念，落實(shí)大單元教學(xué)，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[2]。要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力、解決問題的能力、實(shí)踐和創(chuàng)新能力。其次，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，尤其是教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)讀書，回歸教材，回歸學(xué)科本質(zhì)。學(xué)會(huì)讀書，幫助學(xué)生發(fā)展可持續(xù)學(xué)習(xí)能力，形成終身學(xué)習(xí)的品質(zhì)，達(dá)到學(xué)科育人的目的；回歸教材要求教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)本質(zhì)滲透給學(xué)生，幫助學(xué)生形成科學(xué)世界觀和方法論，逐步內(nèi)化為學(xué)科素養(yǎng)。最后，在實(shí)際教學(xué)中通過設(shè)計(jì)真實(shí)的問題情境和項(xiàng)目化學(xué)習(xí)等方式引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，關(guān)注現(xiàn)實(shí)，積極參加社會(huì)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決社會(huì)生活中的實(shí)際問題，成為具有理想信念和社會(huì)責(zé)任感，敢于擔(dān)當(dāng)?shù)臅r(shí)代新人。